Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Тогда там снова может быть задано давление, но, повидимому, положение маховского ударного фронта не может быть определено без прямого учета вязкости. Важную иллюстрацию трудностей, возникающих в проблеме единственности, представляет собою течение в канале с заостренным углом поворота, как на рис. 191 и 192. Приходящий параллельный сверхзвуковой поток меняет свое направление в ударном фронте 5, если только угол поворота не слишком велик. Как мы видели в Э 123, имеются два ударных фронта, сильный и слабый, совместимые с условиями в углу.
Согласно нашим предыдущим рассуждениям выбор между сильным и слабым ударными фронтами зависит от граничных условий на выходном конце канала. Можно так построить канал, что для заданного числа Маха приходящее постоянное течение будет отклоняться в новом направлении сильной ударной волной и даст постоянное параллельное течение на выходе. Но то же приходящее течение может быть отклонено в новом направлении слабым ударным фронтом, который начинается во Поэтому возможно, что для определения течения, содержащего один ударный фронт, надо задать давление на выходном конце или наложить другое подходящее условие. Чтобы иллюстрировать это, мы рассмотрим течение, в котором ударный фронт полностью перекрывает сечение канала, в месте, где стенки канала не параллельны, а сходятся друг к другу, как в выхлопном участке сопла.
В этом случае очевидно, что положение ударного фронта связано с его силой, а сила в свою очередь связана с давлением в выходном сечении. Естественно поэтому, что положение ударного фронта может определяться давлением в бесконечно удаленной точке выхода. Не очевидно, однако, чтб следует задавать в бесконечно удаленном выходном сечении, если имеется много махов- 343 ГЛ. !Т. ИЗЗНТРОПИЧЕСКОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ УСТЛНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ входящем углу, и искривляется около противоположного угла. Тогда угол между ударной линией и направлением приходящего течения будет меньше, чем в случае сильного фронта. Из тупого угла будет исходить волна разрежения, и возникнет сложная картина течения с отражениями и взаимодействиями (рис.
192). Существует большое количество возможных течений, включающих конфигурацию Маха и совместимых с заданным приходящим в канал течением. Эта математическая неопределенность показывает, что истинное явление выбирается из всех мыслимых по условию на выходном конце, так как все перечисленные здесь течения ведут себя различно на выходе.
Возникнет ли течение, совместимое с граничными условиями, зависит, кроме того, от его устойчивости. Конечно, существуют неустойчивые течения (см., например, 1142, 1451); в частности, нередко утверждают, что течение, содержащее сильный косой ударный фронт, неустойчиво. Однако доводы, выдвигаемые в пользу этого утверждения, не кажутся неоспоримыми. Наоборот, кажется возможным, что течение, показанное на рис.
192, будет устойчивым, если оба участка канала будут сделаны слегка расходящимися в направлении течения, так как известно, что сильный ударный фронт, перекрывающий симметричный расходящийся канал, устойчив. В случае неустойчивости может быть другой устойчивый тип течения, наблюдающийся в действительности и удовлетворяющий граничным условиям; с другой стороны, может случиться, что устойчивого течения вообще нет, если неустойчивое однозначно определено граничными условиями. Тогда, если все же существует предельное установившееся течение, оно не удовлетворяет тем граничным условиям, которые для него предполагались, и надо искать новые условия. Необходимо упомянуть еще об одном явлении, встречающемся в некоторых течениях, которое надо исключить, чтобы математически определить течение. Это — возможность отрыва струи от стенки.
Отрыв может происходить непосредственно за тем местом, где ударный фронт встречает стенку и совместим, конечно, только с косым ударным фронтом, т. е. с фронтом, не пересекающим стенку под прямым углом. Отрыв струи в реальном течении зависит, повидимому, в основном от вязкого пограничного слоя, образовавшегося до точки отрыва. В заключение мы подчеркиваем, что этот раздел написан для того, чтобы показать несовершенство теории и необходимость дальнейшего математического и опытного изучения вопроса. Глава 1Г ТЕЧЕНИЕ В СОПЛАХ И СТРУЯХ й 144.
Течение в сопле В $ 113 и 115 мы рассматривали двумерное течение в канале или в струе, выходящей нз канала. Изучим теперь более подробно установившееся течение в двумерных и трехмерных соплах и струях. Строго говоря, течение в сопле должно быть рассмотрено как установившееся, изэнтропическое, безвихревое течение с цилиндрической симметрией относительно оси х и определено из дифференциальных уравнений (16.06) и (16.14) при надлежащих граничных условиях. Но большое практическое значение имеет приближенный анализ, избегающий трудного рассмотрения краевой задачи.
Наиболее важный тип каналов есть свило Лаваля, играющее основную роль в работе турбин, аэродинамических труб и ракет. Сопло Лаваля состоит 'из сужающейся „входной" части и расходящейся „выхлопной" части. Когда газ, покоящийся в резервуаре под высоким давлением, вытекает из такого сопла, возникают две возможности. Первая состоит в том, что газ, расширившись во входной части, сжимается в выхлопной и остается всюду дозвуковым по скорости течения.
Это происходит, если отношение давлений внутри и снаружи остается ниже некоторого „критического" значения. Когда отношение давлений превосходит это критическое значение, осуществляется другая возможность; течение становится сверхзвуковым в горловине и продолжает после этого расширяться. й 145. Течение в конусе Тот важный факт, что течение в расширяющемся участке ведет к разрежению, если оно сверхзвуковое, и к сжатию, если оно дозвуковое, лучше всего может быть понят при рассмотрении течения в двумерном угловом секторе или в конусе.
Так как течение в секторе изучалось в гл. 1Ч, э 111 и 117, мы можем ограничиться случаем конуса. Предположим, что течение — установившееся, изэнтропическое, радиально ззо ГЛ. Ч. ТЕЧЕНИЕ И СОПЛАХ И СТРУЯХ направленное и что его скорость >у, плотность р и давление газа р зависят только от расстояния г от вершины. Тогда уравнение неразрывности может быть записано в виде (г' р д), = О> или г'рр=-сопз1. Обозначая площадь, вырезаемую конусом на сфере радиуса г= — сопз1, буквой А = А,га и поток массы через единицу площади за единицу времени буквой О, мы имеем Ар>1=6.
(145.01) гч АВ рв 12 ав в,ч а г в чав твв ~вппаиаюл Рис. 1уЗ. Скорость течения д в соп.,е, зависящая от площади поперечного сечения А (для воздуха) .=- 1,4). Так как течение безвихревое, то единственное дополнительное уравнение, которое нужно, чтобы определить течение, есть уравнение адиабаты рр "=сопз1, (145.02) помимо закона Бернулли р'д'+(1 — р. ) с =с (145.03) с с' = тр,1р 1см. уравнение (14.08)]. В последующем критическая скорость с = >ув будет всегда рассматриваться как фиксированный параметр, тогда по уравнениям (145.01 †1.03) значения давления н плотности р, р.
при критической скорости будут тоже фиксированными, так же как и критическое сечение А , отвечающее с = с. (эти критические величины вполне определены, назависимо от того, достигаются ли они действительно в течении). Тогда предшествующие уравнения могут быть записаны таким образом, что с/св, р)ре, р)рв, А/Ав будут выражены через фда = д/се или с,>са: В 146. сонно лАВАля 331 (145.04) Поэтому мы можем считать любую из величин А, о, г независимой переменной (для фиксированных с„= да, рьо ра и А ) и выразить через них все другие величины.
Для дальнейшего мы выведем из (145.01 — 145.08) соотношения о'А с р ач — + — + — =О, А Р т Вр 2 ос 1 — р;тес (145.06) (145.07) (145.08) р . 1с рт с 1 тес]о+ (1 — р.т) сдс = — О, ВА (Ва 1) СВ откуда находим ф 146. Сопло Лаваля'1 Переход из дозвукового течения в сверхзвуковое становится возможным при следующем видоизменении условий. Участки конусов или подобных им труб с общей осью помещаются рядом и соединяются, как на рнс.
194, образуя сопла Лаваля со входной частью, горловиной и выхлопной П Относительно етого параграфа см. ]137 — 142] и ]103]. Последнее соотношение показывает, что прн возрастающей площади А скорость д увеличивается, когда д > с, и уменьшается, когда д <" с. Кроме того, так как увеличение скорости отвечает уменьшению плотности, отсюда следует, что течение расигиряется в направлении возрастаюигей плон]ади, когда оно сверхзвуковое, и сжимается, когда оно дозвуковое. Из этих формул может быть выведено другое важное следствие.
Величина А как функция о имеет минимум Аа для д= = с7в = с, Течение пРи заданных с.„Р„, Аа в той части конУса, где А < А, невозможно, а сходящееся течение, начинающееся с А >А , останавливается при достижении критической площади А =А . В конусе невозможен переход из дозвукового течения в сверхзвуковое. 352 ГЛ. Ч. ТЕЧЕНИЕ В СОПЛАХ И СТРУЯХ оьнг. 194. Сопле Лаваля ческого течения. В частности, мы заключаем из (145.08), что если вообще происходит пере- Рнс.
19В. Изображения линий тока в сопле (для у ) о) в плоскости годографа. содержащие огибающую Г-характеристику. Рис. 195. Поверхности в сопле. на которых и, р и р предполагаются постоянными. ход из дозвукового течения в сверхзвуковое, то только на той поверхности, где А минимально, т. е. в горловине, течение становится звуковым и там о=о =с и А=А,= =А . Предположения, на которых это основано, не вполне совместимы с безвихревым характером течения. Тем не менее как опыт, так и уточненное теоретическое рассмотрение т) В.гидравлической' трактовке Рейнольдса вместо кривых поверхностей взяты плоскости, перпендикулярные к оси, что, естественно, внушено рассмотрением течения в конусе. частью.
Тогда дозвуковое расширяющееся течение во входной части может, проходя горловину, стать расширяющимся сверхзвуковым в выхлопной части. Точную теорию течения в конусе можно изменить так, что она будет годиться для приближенного расчета сопла Лаваля, части которого не обязаны быть коническими. ОпиВ„пе ппп полипа Впмппп СЕННая НИЖЕ ПрнбЛИЖЕННЕЯ трактовка является небольшим видоизменением „гидравлической" трактовки Рейнольдса (1886). Вводится ряд поверхностей вращения, пересекающих сопло перпендикулярно к стенкам'>, затем предполагается, что течение везде перпендикулярно к этим поверхностям и все относящиеся к нему величины на этих поверхностях постоянны. Если обозначить через А площади этих поверхностей, вырезаемые стенками, т.
е. площади сечений, то для этого течения формула (145.01) тоже справедлива. Можно принять н формулы (145.04 — 145.08), выведенные из (145.01 — 145.03) для кони- а нб. Сопло лАВлля (см. [1421), основанное на более полном анализе дифференциальных уравнений, показывают, что гидравлическая теория дает очень хорошие приближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
