Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Далеко не очевидно, что разложение по целым степеням в возможно. Предположим, что имеется разложение, начинающееся с члена нулевого порядка, после которого идет член, пропорциональный а'-. Покажем правильность этого предположения. Подставляем разложения л(х, у) — лоо(х, у)+ от~"'(х, у)+..., и<о>+ вв >т»>+ 0 н<о> „> ве он>, (152 05) 369 в'дифференциальные уравнения(151.01 — 151.03) и в начальные и граничные условия (152.02) и (152.04). Ясно, что ф~), равная (о()(х, у) =- — р 17,уо, (152.06) есть функция тока для постоянного параллельного ',течения впереди тела и что и(0> 17 о(0> 0 Р(о> Рм Р(о> р (152 07) Чтобы получить члены следующего порядка, выразим сначала р' ' через й ' из соотношения (1) (1) — го(1 р,'р = и((и + Ыв (152.08) [см.
(102.05)[, которое следует из предположения о безвихревом и изэнтропическом характере течения. Тогда из (152.05) получаем — сор Ро=и 2 (1)!~ (0) (1) [ (0) (1) ( 1 52.09) Подставляя разложения (152.05) в (151.03), получаем '[то =У(рои +Р и' ) ='Уро(1 ~о) и Фл = Урот1 (152.12) (152.13) 24 икн ик.ят о я 1яя тячяння вдоль тонкого талл воли(яник откуда по (152.03) и (152.07) Р = Ротр)ои )(10.
(1) т (1) илн, в сокращенных обозначениях, зо ~о Из уравнения (151.01), используя (152.05), получим и — э =О, и) (и У х или, пользуясь соотношениями (152.11), Из (152.02) выводим начальное условие 4(>=ф~'>=О для х=О.
(152.10) (152.11) 370 ГЛ. Т). ТЕЧЕНИЕ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ Процесс разложения всех величин. по степеням о автоматически определяет граничное условие для функции ф(). Пред(() положим, что ф' ' определена как непрерывная функция с непрерывными производными прн у > 0 вплоть до у=О. Это предположение оправдывается только тем, что его можно успешно применять при вычислениях. Тогда разложение граничного условия (152.04) по степеням о дает ф(о)(х, о Г(х))+о'ф(')(х, о 1'(х))+... = О. Подставляя (152.06) и разлагая ф(')(х, о 1') по степеням о, получим — ооРодоУЗ(х)+ооф("(х, О)+... =О, откуда ф''(х, 0) = — —,родоуо(х). 2 (152.14) Этот результат является в то же время оправданием того предположения, что член „первого" порядка в разложении ф(х, у) пропорционален о'. Уравнение (152.12) тесно связано с волновым уравнением для движения с цилиндрической симметрией; абсцисса х играет роль времени.
На самом деле потенциальная функция ф~ ), отве(и чающая ф(), удовлетворяет волновому уравнению, но граничные условия для ф(') проще, чем для ф('). Уравнение (152.12) с граничным условием (152.14) и начальными условиями (152.13) может быть решено в явном виде. В сокращенном обозначении й(х)= — т'о(х), х> О, 2 (152.15) й (х) = О, х < О; решение ф'' есть н) Х вЂ” 5~Я ф (х У) = Ро Чо ) )/ (х — ".) — в' у'7( (о) (о о. (152.16) о Эта формула применяется даже в том случае, когда наклон профиля не обращается в нуль в вершине 1" (0) ФО.
Можно проверить непосредственно, что дифференциальное уравнение (152.12) и начальное условие (152.13) при х = 0 удовлетворяются. Чтобы показать, что и граничное условие (152.!4) тоже в (вь твчвнив вдоль тонкого талл ввлшвиия удовлетворено, воспользуемся соотношениями и' (0) = к (0) = О получающимися из (15Ы5) и 1'(0) =0; тогда Ф (ху О) = — ро(70) (х — $)уг (6)(К о х Ро(72) к (4) г) 4 = Ро(7ок (х) ю откуда следует (152.14). Члены первого порядка в скоростях суть х — г у и (х,у) ~/ (х — $)2 — 22 у' (152.17) к-чу о (х, у) у (7, (х 5) (1) 1 ап д) (х — ц2 — 22 у2 о Они обращаются в бесконечность на оси у=О. Для примера рассмотрим случай конического тела Г(х) = =-т)х, х > О, (у =сопв1. Находим из (152.16) )(') (х, у) .= — 1 р,(7,6~ (х ~' х — г~~ у — з' у агссй — ) (152.18) для х> яву, „(')(х, у) =0 для х <з,у; таким образом, выражение (7") не регулярно при у = О, так как сомножнтель в скобке ведет себя как х + з, у !и у.
Решение Ф") (х, у), получающееся для любого профиля г'(х), ведет себя примерно так же, как функция, даваемая формулой (152.18). На конусе Маха, проходящем через вершину, х=з,у, очевидно, имеем 1Р =О, и )=о =О, П) (1 (1) 24* если даже наклон профиля 1" (0) в вершине не обращается в нуль. Другими словами, течение, задаваемое функцией Ф = ф + в у для х > з,у, непрерывно связано с течением (0) 2 1 (1) Ф = 1рв для х < з,у . Отсюда видно, что сила ударнои волны, начинающейся в вершине, с точностью до членов иервого порядка обращается в нуль. Этот результат сильно отличается от того, который был получен при решении соответствующей ГЛ, О!. ТЕЧЕНИЕ Е ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ 3?2 двумерной задачи, где сила ударной волны была в первом приближении пропорпиональна наклону профиля в вершине.
Изложенная теория является упрощенным вариантом теории Кармана и Мура, на который указал Феррари, см. [153 — 162[ и [169 — 175[. Для того, чтобы подтвердить полученное приближение, мы могли бы получить в разложениях члены более высокого порядка. Совсем не очевидно, какой степени о соответствует следующий член. Отдельные указания на такие члены следующего порядка можно найти в литературе (см. Маккол [155[, Буземан [167[, Чнен [161[, Лайтхил [154!).
Не пользуясь членами высшего порядка, можно пытаться найти лучшее приближенное описание течения, удовлетворяя граничным условиям для [ ' не на оси х (что совместимо с идеей (1) о разложении величин, входящих в задачу по параметру толщины о), а на действительной поверхности тела. Это есть метод Кармана и Мура; он, вероятно, дает лучшие результаты, чем только что изложенный, но для систематического пользования он труден. Карман и Мур заменяли тело другим телом, состоящим из конуса в вершине и последовательности усеченных конусов.
Относительно пределов применимости приближенного метода, изложенного здесь, см. [162[. й !53. Сопротивление В заключение вычислим сопротивление воздуха движению тела. Предположим, что, когда х стремится к бесконечности, радиус поверхности стремится к конечному пределу и наклон стремится к нулю: !'(х) У', Г' (х) 0 при х — о. (! 53.0! ) Нас интересует только сила Р, происходящая от избыточного давления р — р„ где р, †атмосферн давление.
Имеем Р= 2я ~(р — ро)у=" ((х = 24222~ (р — ро) 72'(х) а)х; (!53 02) 4(Х о о здесь интегрирование выполняется по поверхности тела. Из [Р)Т р =Ро ! — ) и закона Бернулли получается приближенно ( Ро) Р=ро — о Ро)72(о — ЗРЯ(~ ) . (153.03) 2 (1) ! 4 (1) 2 2 % 153. СОПРОТИВЛЕНИЯ 373 Член низшего порядка в разложении т".=-В Р +...
есть 4 (2) Тс4~~ =- — р,1пп 244 ~ ~д,ип)(х, В 1'(х))+ ° о о + — ' 1э"1 (х В )х(х))]'] А' (х) ох. (153.04) Из (152.17) и (153.03) получаем — д,и(' (х, у) = д, ])тх(х — а,у) атсс)),— + Х вЂ” ХцУ лх б) — л" (х — Хо Р) ]/ (х — 1)4 — В~~ у~ о Х о откуда — 17 и")(х, В У) — д'!йР(х)1п †+(х)!п —— о АР (х) — х" ($) ) х — $ о (153.05) по предположению (153.01).
Остающийся член равен г ~ ) = 2 яр,д, / Уг' (х) ()тР (х) 11п х — — ! и 2 А (х)]— о А — с(1 — — А '(х) ]14'(х)] ) 44х. (153.06) о Из (152.17) находим В т)1н (х, В 1') — 1 ' (х) д,/г (х). Член низшего порядка, который получается, если подставить это выражение и (153.05) в (153.04), есть с точностью до постоянного множителя !п — „~)тх(х) х'(х) 41х== — 1п —, [74'(х)']„=0 о ГЛ, ЧЕ ТЕЧЕНИЕ Е ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ Второй член можно проинтегрировать по частям н сократить с четвертым; остающиеся члены можно объединить и привести к симметричному виду тч~'~= — е(Зов' — ~ ~ Уг (х) А (1) 1п!х — 1) дхо($, (153.07) о о как показывают вычисления, приводимые ниже. За исключением несколько иного истолкования я'(х), настоящая формула согласуется с формулой, предложенной Карманом [153) (см.
Лайтхил [154) и ср. также [!55 — !62]). Дополним вывод (153.07) из (153.06). Подставляя й'(х) =. =7(х), получаем ~ ~~'(х)~'($)!и ( х — 1~ Ыхд1= 2 ~7'(х) ~~'(1)!и (х — 1) о($ сКх = о о о о =-2) ~'(х)7"(х) 1пхо(х — 2 (7'(х) [ х х х) о(ог(х = О $ х О о = — 2)' 7'(х)~(х)!пхдх+2~ 7(х)~ Ы1Ых, о о потому что х л /' у(х) ур ~ у( ) у(1) З=х О + ~ (х — 1) У' (х) — у' (х) + у (1) (х — З)о О х [ ~ ( — 1) У' (х) — У (х) + У (1) 1 — У' (х) + у' (1), „ х — 1 х — 1 х Г (х) — Г (о) ~ 1+ У(х) х — о х О Б.
КОНИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ й 154. Качественное описание Коническое течение — второй тип течения, рассматриваемый в этой главе, допускает явное решение дифференциальных уравнений. Коническое течение является установившимся, нзэнтропическим, безвихревым течением с цилиндрической симмет- В 1ас клчвственноп описания 376 рией вокруг оси х, как и течение, изучавшееся в разделе д, но, кроме того, все величины и, р, р, д сохраняют постоянные значения на конусах (считаемых бесконечными) с общей вершиной, началом. Течение, удовлетворяющее этому условию, может осуществиться, например, около конического носика снаряда, встречающего сверхзвуковой поток воздуха').
Пусть снаряд есть тело вращения с острой вершиной, как рассматривалось в предыдущем параграфе (рис. 205). Обтекание такого снаряда аналогично обтеканию клина, и, как и для клина, здесь надо различать два случая (см. э 123). Рис. 207. Искривленный ударный фронт прн сверхзвуковом обтекании конуса с большим углом раствора. Рис. 200 Конический ударный фронт и коническое течение при обтекании достаточно малого угла. 0 Течение, в котором при отсутствии цилиндрической симметрии р, р и о постоянны на лучах, проходящих через центр, подробно изучалось Бузе- маном и другими 1176 — 183~ с помощью схемы возмущений, содержащей конусы с малым углом раствора. Если угол раствора вершины снаряда не слишком велик, то предполагается, что отклонение течения производится „привязанным" ударным фронтом, начинающимся в вершине (рис.
206). Если носик снаряда представляет собой участок конуса, то ударный фронт и течение позади него являются коническими, пока волна разрежения, приходящая от загибающейся к оси части снаряда„ не начнет взаимодействовать с коническим течением и ударной волной и не изменит их характер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
