Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 68
Текст из файла (страница 68)
С другой стороны, если угол раствора в вершине превосходит некоторое предельное значение, то „привязанный" ударный фронт невозможен. Вместо этого устанавливается „оторванный" ударный фронт впереди снаряда (рис. 207). Для снарядов с одним и тем же углом раствора расстояние такого ударного фронта растет с толщиной тела снаряда и 376 ГЛ. Ч). ТЕЧЕНИЕ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ отодвигается в бесконечность при бесконечном возрастании толщины тела.
В частности, для предельного случая бесконечного конуса с большим углом раствора оторванный ударный фронт невозможен. Привязанный ударный фронт возможен при достаточно малом угле раствора. Тогда ударный фронт тоже является бесконечным конусом, а так как он образует везде одинаковый угол с приходящим течением, то состояние позади него постоянно, т. е. постоянна его сила.
Следовательно, течение позади этого фронта изэнтропическое. Его можно продолжить так, что состояние воздуха будет постоянным на каждом концентрическом конусе между ударным конусом и конусом препятствия. Угол между каждым таким конусом и направлением течения стремится к нулю, когда конус приближается к препятствию. Для того общего случая, когда ударный фронт привязан к вершине, течение можно исследовать математически. Этим случаем мы и займемс..' . й 155. Дифференциальные уравнения Чтобы построить такое течение математически' ), положим, что х есть абсцисса вдоль оси, у — расстояние от оси, и и э— составляющие скорости г[ в направлении оси и в перпендикулярном направлении соответственно.
Тогда дифференциальные уравнения изэнтропического течения, выведенные в з 16, имеют вид [см. (15.13 — 16.14)]. ю„= и, (155.01) са ) пл 2 т та+[1 сз) ~у+ 0 (155 02) где с может быть выражено через и и и по закону Бернулли: р.' (й+ й) + (1 — р') с = с (155 03) Из основного предположения о коническом течении теперь следует, что и, о и поэтому с зависят только от отношения ". о == (155.04) у О См. также [1661.
т) См. фундаментальные работы Буземана, Тэйлора и Маккола, Буркарда [!63 — 167[. ь) В русской литературе такое течение называется авгиомодельиым. Причина такого характера зависимости — в том, что в задачу о коническом течении не входит ни одной постоянной с размерностью ллины, так как конус препятствия бесконечен. Другие автомодельные течения рассмотрены в разделе В этой главы. Центрироваиная волна разрежения тоже автомодельна.
(Прим. перел.) а !22. диФФеРенциАлъные уРАВнения 377 Дифференцирование (155.07) по 2 дает 1 (155.08) и,=— Это соотношение вместе с (155.07) и (155.05) приводит к ра- венству и Ю Еии (155.09) Подстановка (155.07 — 155.09) в (155.06) дает ( — )( )2 ио 1 — — )+(1 — — ~ ои — оэ — 2 — о =0 ") ~ ") " ии с2 и нли 2 (и+Сии ) ото„„= 1+о~— (155.10) Следует отметить изящное геометрическое истолкование уравнения (155.10), данное Буземаном. Это уравнение можно записать в виде Х~ =- (155.11) где Й есть радиус кривизны интегральной кривой в плоскости (и, о) в точке Р=(и, о), тогда как смысл М и 77 ясен нз рнс. 208. Каждый участок решения о =- э (и) уравнения (155.10) представляет течение, если только выполняется условие о„„ФО, (155.12) Тогда уравнение (155.01) получает вид о+ Н,=О, (155.05) тогда как (155.02) сводится к следующему: ( - — ":) — '"-" — — —:: 1 — — 1и,— —,о,— (1 — —,)ао,+о=О.
(155.06) С2 ) Уравнения (155.05) и (155.06) — два дифференциальных уравнения первого порядка для функций и и о от с (обыкновенные!). Ясно, что зта пара равносильна одному уравнению второго порядка для одной функции. Это уравнение второго порядка приобретает вид, особенно удобный для рассмотрения, если о вводится как функция от и. Из (155.05) имеем С= — Ц (155.07) 378 ГЛ, Ть ТЕЧЕНИЕ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ (155.13) и/и =а.
Согласно (155.07) оно приобретает вид и„= — и/и. (155.14) Точка интегральной кривой, в которой выполняется это усло- вие, может быть названа „конечной точкой". Нормаль к инте- гральной кривой в конечной точке, очевидно, проходит через вершину. ф 156. Конические ударные волны Соотношения, управляющие переходом через коническую ударную волну, очевидно, те же, что и для плоской волны; кривизна фронта в ннх не входит.
Если ударный конус прямой, как предполагалось, то прн условии, что течение — коническое по одну сторону фронта, скачки и, и, р и энтропии будут постоянными вдоль каждого луча; следовательно, то же самое потому что тогда могут быть введены как независимые переменные х ну, с помощью равенств э„= — а = — х/у. Этим определяется луч в плоскости (х,у), к которому относятся значения и и и. Этот луч в плоскости (х, у), очевидно, параллелен нормали к кривой о= п(и) в точке (и, в) плоскости годографа.
Полученные таким образом течения до известной степени аналогичны центрированным волнам разрежения для двумерного течения. Но в то время как в случае двумерного течения простые волны представлялись в плоскости годографа двумя се- О мействами фиксированных характеристик (эпициклоид), изображению рассматриваемого здесь Хата ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРафа н р Р"'"'"" отвечает гораздо большее много- образие кривых, именно однопа- и раметрическое семейство, прохои дящее через каждую точку. В дальнейших параграфах нам понадобится выражение того условия, что течение происхоРмс.
288. Геометрическая ие- Дит вДоль заДанного конуса. терВретация урмаВЙеиия (18п111 Это условие заключается, оче- видно, в том, что течение имеет направление луча х/у =а, определенного конусом в плоскости (х, у), а (вя. коничвскиа кддрныв волны 379 мы будем иметь и по другую сторону. После прохождения ударного фронта течение можно считать нзэнтропическим. Другими словами, конический ударный фронт совместим с предположением о коническом течении. Пусть течение, характеризуемое величинами р„р„и„фо, пересекает такой ударный фронт. Заметим, что это возможно и-.. - т -.о. - о. =В 4+'! - о- уковая„т.
е. да ) с,. Скорость д( = (и„ю() непосредственно после ударного фронта находится на петле ударной поляры в плоскости (и, ф) (см. $ 121). Наклон луча, производящего ударный конус, перпендикулярен к прямой линии, соединяющей Ударнош (иа, оа) и (и„о(). Положения ко- фронт (а(' нусов, отвечающих случаям (а): т(( > па и ((а): э( ( ю„показаны на рис. 209. Когда течение проходит через (а,,ц)(а( ударный фронт, то в соответствии с дифференциальным уравпением (155.10) наклон интегральной кривой определяется (ио ио( так, чтобы луч, заданный уравнением (155.13), совпадал бы с направлением течения после фронта в плоскости (и, ф). Так Рис. 20у. Воямод(ин(е переходы как этот луч, с одной стороны, в коническом ударном фроите для должен быть нормальным к инте- еяучаев (а): а(- аа и (а): ах(а гральной кривой и, с другой стороны, перпендикулярным к прямолинейному отрезку, соединяющему (и„па) с (и„ф(), то интегральная кривая должна начинаться в точке (и„ э() в направлении этого отрезка.
Ее начальный наклон дается уравнением (156.0! ) и а и,— аа Рассматривая конический ударный фронт, Тэйлор и Маккол [163, !651 ограничивались случаем (а), когда ф,) оа, ио = = (уа >0 и фо = О. Этот случай (рис. 210) имеет место тогда, когда постоянный осевой поток отклоняется коническим снарядом. Сообщим вкратце, как подходил к этой задаче Буземан. Скорость течения после ударного фронта (и„ ф() определена условиями на фронте (третье условие обеспечивает то, что постоянная Бернулли и поэтому са одинаковы до и после фронта).
Надо найти такое решение уравнения (155.10), чтобы ГЛ. Щ. ТЕЧЕНИЕ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ зао интегральная кривая проходила через точку (иы пг) на ударной поляре. Начальный наклон О„этой кривой определяется (156.01). Решение продолжается так, чтобы а = х1у увеличивалось и тем самым, по (155.07), ~„уменьшалось до той точки, в которой Рис. 210. Течение через конический ударный фронт прн От) Оо Рис.
2П. Течение через конический ударный фронт прн От < ОО. течение н луч имеют одно направление. Эта „конечная точка" характеризуется условием (155.14). Она зависит от выбора точки (и„ ог) на ударной поляре, построенной для (д„ О) как двойной точки. Множество конечных точек, которое может быть Рис. 212. Яблокообразная кривая, показывающая все возможные конечные скорости, которые могут быть получены после прохождения конического ударного фронта нз состояния с заданной скоростью.
достигнуто из (де, О) как начальной точки, образует кривую, которую Буземан называет „яблокообразной" из-за ее особой формы (рис. 212). В этом построении задается ударная волна и определяется конечное направление. Если задано конечное направление, то соответствующую точку на яблокообразной кривой можно найти пересекая ее лучом данного направления, 9 !Зт. 3АдАчи, соденжАгцие коническОе течение за1 выходящим из начала. В общем случае имеются два пересечения, из которых то, которое отвечает более слабой ударной волне, чаще осуществляется в действительности. Значения давлений и углов, вычисленные на основе изложенной здесь теории, исключительно хорошо согласуются с опытом (см.
1165, 166]). Конические течения были подробно табулированы Копалом (1681. и 157. Другие задачи, содержащие коническое течение Другая задача, разрешимая методами, применявшимися к коническому течению, такова: труба, ограниченная поверхностью вращения, должна быть построена так, чтобы сверхзвуковой Рис. 2!3. Течение в диффузоре Рис.214. Годограф течении в диф- с цилиндрической симметрией. фузоре. поток, входящий в нее с заданным числом Маха, сначала непрерывно сжимался н замедлялся, затем сжимался и замедлялся скачком в ударном фронте, после чего шел бы дальше в осевом направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
