Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 66
Текст из файла (страница 66)
РЕАКТИВИАЯ СИЛА ный в камере, сопле и ограниченный извне поверхностью 5, равна импульсу М, переносимому за единицу времени через 5. Мы обозначим через А проекцию поверхности5 на плоскость, перпендикулярную к оси; тогда Р==рА, и внутренняя реактивная сила равна Г, .— М+рА. (149.02) Противореактивная сила, очевидно, равна (149.03) Рм =РмА, оиа считается положительной, когда действует в направлении потока. Рассмотрим полную реактивную силу Р Р, Рм М ' (Р Рм')А (!49.04) как функцию положения отверстия, считая, что сопло может быть обрезано нли продолжено в любом месте. В частности, мы интере- гкмм суемся тем положением отверстия, рис ~ц си„„а,„,„и„ при котором полная реактивная АВ1омгме реаггишную смлу. сила максимальна.
На этот вопрос можно ответить. Реактивная сила максимальна, если давление в опгверстии сопла как раз равно аггг,асосфернозсу давленсгго. Тогда она определяется переносимым импульсом (149.05) макс. Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим две различные поверхности 5, на которых давление постоянно: р=-р, и р=ра. Изменение [М+рА)Р' суммы переносимого импульса Р1 и силы давления, очевидно, равно осевой составляющей давления на стенки сопла на отрезке между двумя поверхностями Я.
Следовательно, устремляя эти поверхности друг к другу, мы найдем с1 (М+ рА) == ра'А. Таким образом, сг'Р=- (р — р,) агА. Гл. т. течениЕ В СОплАХ и стРуях Отсюда видно, что с имеет экстремум, если р = р, или дА =О. Можно показать, что Р имеет минимум в горловине, где дА =О, и максимум при р==р,. Определенная таким способом реактивная сила зависит еще от формы контура сопла.
Мы ищем условие того, что эта форма даст максимальную реактивную силу (из всех максимальных по условию р= — р,) при заданном потоке массы. Положение выхлопного края при фиксированном контуре сопла, дающем максимальную реактивную силу, будет характеризоваться индексом пг. Поверхность 5, проведенная через этот край, будет оВ,; скорость гу„ на о определяется формулами (145.04) потому условию, что давление р,„на о„равно р„.
Максимальная реактивная сила дается интегралом (149.06) где В есть угол между направлением течения и осью и гг6— элемент потока массы 0 за единицу времени. Ясно, что г",В ==. д,„6 и Р ==4г б, если только гг=-О на 5 . Другими словами, шаксилгальная реакгпивная сила будет в свого очередь наиболыией' при заданном потоке шассы, если скороспгь на выхлопе посгпоянна и гглгееггг осевое направление. й 150. Совершенное сопло Сопло, дающее на выхлопе постоянный осевой поток, может быть названо совершеннылк Совершенное сопло, в котором течение обращено, есть совершенный диффузор. Двумерное совершенное сопло может быть спроектировано без затруднений. В самом деле, если задано расходящееся течение на выхлопе, то его можно сделать совершенным, насаживая еще один участок сопла, в котором течение принимает постоянную осевую скорость. 1(амгдая линия тока такого течения дает совершенное сопло.
В действительности конструктор ракеты, конечно, не будет стремиться к „совершенству" в этом смысле, потому что потеря в реактивной силе, когда давление на выхлопе не равно атмосферному и течение там не осевое, искупается простотой проектирования. Тем не менее, бывают случаи, в частности при больших числах Маха, когда это совершенство желательно.
Возможность построения совершенного двумерного сопла для спрямления потока, указанная Прандтлем и Буземаном [3), [100), [!39], была разъяснена в гл. 1Ч, В 113. Й !ао. совепшенное поило Приближенный метод построения совершенного трехмерного сопла был дан Франклем'). Однако то, что идеальные диффузоры и сопла существуютз), совсем не очевидно. В выхлопном сечении сопла ударный фронт должен начинаться в точке, где достигнута желательная скорость. Построение диффузора, в котором не образуется ударного фронта на краю входного отверстия, будет описано в й 157; при этом во избежание появления ударного фронта контуру днффузора дают осевое направление на краю; при должной форме конту.ра ударных волн можно избегнуть совсем з).
Если контур диффузора на краю наклонен внутрь течения, то там возникнет коническая ударная волна. Ее форма была определена А. Ферри [174~ с помощью метода характеристик для нахождения течения позади фронта. Интересно, что если угол между направлением контура и осью на краю равен всего 5', то образующинся ударный фронт стремится стать перпендикулярно вблизи оси и образует диск, на котором происходит маховское отражение. Ферри дал также расчет отраженного ударного фронта. Согласно утверждению Ферри, если угол на краю возрастает, то диск вблизи осн, где имеется сильный ударный фронт, становится намного больше, а отраженный ударный фронт исчезает. Надо отметить, что можно построить совершенный диффузор другого рода, вставляя на входе веретенообразное тело, что было предложено Осватичем [сак $1!3, рис. 131 и [1741).
)) Сч. статью Кнзенко [140[. [Авторам осталась недоступной оригинальная статьятфранкля.) См. также Буземан [139[ и [!42[. з) Как показано В. И. Чеком внеоп>бликоваиной статье. З) Крайняя чувствительность течения к изчснеиияч в форме коты>ра строго доказана аянеаризованныч рассчотренпеч диффузора в неоптбликованной статье Луллоффа. Глава 1Т ТЕЧЕНИЕ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ Течение в одном измерении н установившееся нзэнтропическое течение в двух измерениях доступны систематическому изученшо благодаря особому виду соответствующих дифференциальных уравнений н существованию простых волн. Течение в трех измерениях, даже тогда, когда по соображениям симметрии его можно свести к двум измерениям, является математической задачей более сложного вида. Возможно, что обширные численные расчеты специальных случаев дадут ключ к общему теоретическому подходу.
Но при настоящем положении вещей надо удовлетвориться теоретическим анализом некоторых частных задач н численными расчетами для отдельных случаев, если только не оправдана приближенная лннеарнзацня задачи. В этой главе мы рассмотрим три различных типа течения: в разделе А †течен с цилиндрической симметрией вдоль тонкого снаряда, в разделе Б — установившееся коническое течение, в частности обтекание конического препятствия, и в разделе  — неустановившееся течение со сферической (или цилиндрической) симметрией. Л. УСТЛНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ В 151. Цилиндрическая симметрия.
функция тока В гл. Ч мы дали только качественное описание некоторых течений с цилиндрической симметрией. В этом параграфе будет дано более специальное математическое рассмотрение другого типа течения с цилиндрической симметрией, а именно применение основанного на лннеаризацин метода возмущений к обтеканию вытянутых тел. Надо сказать, однако, что до сих пор еще не существует строгого доказательства применимости этого метода н оценки границ его пригодности.
2 !ВЕ ТЕЧЕНИЕ ВЛОЛЬ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАШЕНИЯ 367 Течение с цилиндрической симметрией (см. $ 16) характеризуется тем, что все величины зависят только от абсциссы х вдоль оси и от расстояния у от оси и что вектор скорости в любой точке лежит в плоскости, проведенной через ось и эту точку. Осевая н радиальная составляющие скорости обозначаются буквами и и и. Тогда дифференциальные уравнения установившегося безвихревого течения следу1ощие (см. (16.06) и (16.13)]! (15! .О! ) (151.02) и,— в =О, Х (ури),+(урэ)„=-=0, где р — функция скорости Г! ===- у'Г!'-'+в'-', заданная законом Вернулли (14.02) и адиабатическнм уравнением (7.04), Вместо потенциальной функции у(х, у) мы предпочтем применять стоксову фуннцшо тока з(х, у), определенную так, что (см.
(16.15)1 (151.03) О Уасо Π— УРн й 152. Сверхзвуковое течение вдоль тонкого тела вращения Если вытянутое тело встречает сверхзвуковой поток, то получающееся течение может быть найдено в виде разложения по степеням толщины тела, точно так же как находилось обтекание тонкого крыла в з 142. Зададим поверхность тела уравнением у = — 2 Г'(Х), Х Сь О.
(152.01) 1 О= — р2122у2, О1,= — -О, х ! О. (152.02) Скорость д„плотность р2 и давление р, приходящего течения связаны условием Л42= — 'ЧР" > ! (152.03! 2 где скорость звука ГВВ дается как с„=тр2!р,. Функция 1'(х) предположена положительной при х > 0 и Г'(0) =О. Впереди тела при х<.0 скорость течения постоянна и направлена по оси; здесь постоянны также давление и плотность, а число Маха больше единицы.
Попытаемся разложить решение по степеням параметра толщины В способом, подобным тому, который применялся в $ 142. Предполагая течение имеющим цилиндрическую (осеву1о) симметрию, будем искать функцию тока Р!(х, у), удовлетворяющую уравнениям (151.03) и (151.01). Тогда условия, налагаемые на состояние впереди тела, могут быть сформулированы так: Гл. Те тГчение В трех измеРениях Условие того, что поверхность тела является линией тока, принимает вид ( (х, в 1'(х)) = О, х > О. (152.04) Можно ожидать, что на переднем заостренном конце тела получится ударная волна, если угол конической поверхности' меньше некоторого предела (см.
Э 154). Чтобы избежать трудностей, связанных с рассмотрением ударного перехода, предположим сначала, что наклон профиля у=-в 1'(х) равен нулю в вершине, 1" (0) =О. В этом случае ударный фронт возни- Ряс. 205. Сверхзвуковое обгеканне вопя- нутого тела вращения. кает на некотором расстоянии от поверхности тела, Чем меньше параметр толщины, тем дальше начнется ударный .фронт. Поэтому пренебрежем влиянием ударной волны на начальные условия и предположим вместо этого, что течение изэнтропическое и безвихревое и что скорость, плотность и давление в плоскости х = О, проходящей через вершину, имеют то же значение, что и в набегающем потоке. Полученные таким путем результаты применяются потом к случаю 1" (О) Ф О, что верно только с точностью до членов низшего порядка относительно в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
