Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(о)1 , О 4 1.оо) Нас особенно интересует распределение давления вдоль профиля. Полагая 1 =х, получаем из (141.17) р=ро+РВЧо ~+ гоо 1 (х)+ .1 . (141.21) Отсюда для полных результирующих составляющих силы в направлении х и б в направлении у мы получаем а р= о ) [ру„]+ Ых = о а =о РВЧоЬо) ~(У" (х)) т («'„(х)) ~о(х+..., (141,22) 6 = — ) [Р) дх=-- — 2ВРВ(~оЬВЬ+ .. (141 23) о где Ь дается (141.02).
Мы видим, что лобовое сопротивление Р есть величина второго порядка относительно параметра толщины о. Подъемная сила 0 в величина первого порядка относительно е, если только Ь не равно нулю, т. е. если хорда, соединяющая лобовой и хвостовой углы (О, О) и (а, Ь), не имеет направления течения. Зги формулы для подъемной силы и лобового сопротивления впервые были выведены Лккеретом 1124).
Тем же способом, каким были получены члены первого порядка для всех интересующих нас величин можно вывести 22 (. к„. к. е ЗЗЗ ГЛ. ИА ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ВЕЭВИХРЕВОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ и члены высших порядков. Члены второго порядка были даны Буземаном (125 — 127]. Оказывается, что член третьего порядка для лобового сопротивления у симметричного профиля исчезает.
Члены третьего и четвертого порядков для подъемной силы и лобового сопротивления были даны Доновым [1281. Для вывода этих членов надо учитывать изменения энтропии в ударной волне и отклонения соотношений в ией от соотношений для простых. волн. Так как сила ударной волны в первом приближении постоянна, то и изменение энтропии в третьем приближении постоянно. Следовательно, течение после ударного фронта в третьем приближении еще нзэнтропично и поэтому остается безвихревым (см. 5 13).
Вихревой характер движения проявляется только в четвертом приближении. Замечательно также то, что подъемная сила в третьем приближении и лобовое сопротивление в четвертом приближении зависят только от наклона профиля в углу, а в следующих приближениях — от кривизны в углу. Кроме того, эти величины зависят и от формы профиля как целого. ф 142. Другой метод возмущений для крыла О =ри, 4„=- — ро, (142.01) (142.02) и — о =О.
у х Здесь надо выразить р через В~ +ф' по соотношениям (142.01) и по уравнению Бернулли (102.01). Так как мы предположили, Мы указывали выше, что есть другой метод разложения течения по степеням параметра толщины, основанный на разложении всех величин в заданной точке (х,у). Этот метод гораздо сложнее метода, изложенного выше. Тем не менее мы изложим его, поскольку дело идет о членах первого порядка, потому что он приводит к линейному волновому уравнению и может быть обобщен на случай трехмерного течения, тогда как предыдущий способ, повидимому, не имеет аналогов (см. гл. Ч1, раздел А).
Так как мы будем заниматься только членами первого порядка, можно с самого начала предположить, что течение изэнтропическое и что энтропия такая же, как в невозмущенном воздухе впереди крыла. Следовательно, задачу о течении можно формулировать с помощью функции тока у (х, у) (см. 5 102), выбирая ее так, чтобы она обращалась в нуль в вершине профиля. Дифференциальные уравнения имеют следующий внд (см.
(102.09) и (102.03)): в ые ЛРугОя метод ВОзмущения для кРылл 339 что течение сверхзвуковое, то число Маха Л4,= ~' больше единицы. Граничные условия на профиле суть ф (х, В 1' (Х)) = О. (142.03) Кроме того, следует добавить „начальные" условия на неизвестной ударной линии. Чтобы избежать усложнений, получающихся от разложения в ряд условий на ударном фронте, мы изберем несколько окольный путь. Сначала предположим, что наклон профиля в вершине равен нулю 1'ь(0) =- О. (142.04) В этом случае ударная волна начинается только на некотором расстоянии от профиля, и это расстояние увеличивается, когда параметр толщины уменьшается. Отсюда получим „начальные" условии (142.05) ф= — рВд у, ф„=О при х=О ф==рВЧВУ+'ф + , (() И = д,.+ В (Р -~-..., О = В О(() +..., = О+Вт")+.-.
(142.05) Из соотношения (102.05) имеем ~ "о Л4о(( чо в)) 2 (1] (142.07) а из (142.01) (- ' '="'." 1 — Л4,) и") =-,ф',", ~") =--т ф„'. (142,08) без упоминания о разрыве. Результаты, полученные таким путем, будут потом применяться в случаях, когда наклон г'„ не равен нулю в вершине. Этот способ правильно дает члены первого и второго порядка. Разлагаем по В значения величин ф, и, о, т в каждой точке (х, у), учитывая, что ф = д,у, и = — д„ о =- О, й =--р„ р =р, для В = 0; индекс (0) относится к невозмущенному течению впереди крыла.
Разложення имеют вид 34О ГЛ Рл ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧСИИГ Подставляя разложения (142.06) в (142,01 — 142.02) и пользуясь (142.07 — 142.08), мы получаем для Ч! ~ уравнение нлн согласно (!41.05) (142.09) т. е. классическое волновое уравнение. Граничное условие (142.03) дает по (142.06) соотношение р, Ч, В Ув(Х) + ВЧЩ (Х, В»'=(Х)) +... == О. Разлагая функцию ф'' по В, мы получаем р, Ч, »'= (х) + В ро У (х, 0) +... =- О, следовательно, Ф~~ (- ° О) '= — рВЧ0Г (х). (142.10) Это есть граничное условие для коэффициента разложения фн~.
Подчеркнем, что этому условию надо удовлетворить на оси у =О, а не на профиле. Это требование типично для всех случаев, когда граница сама меняется с параметром. Однако оно не является дополнительным условием или искусственаым приемом, а естественно вытекает нз метода возмущений. Остается еще начальное условие (142.05), которое дает соотношения со! (О, у) = О, о!о (О, у) = О.
(142.11) Общее решение волнового уравнения хорошо известно но = — 7'(х — ~о у)+8.(х+х, 'у). (142.12) Граничное и начальное условия (142.10 — 142.11) удовлетворяются в нашем частном случае следующим образом: фн~ (х, у) =- — р ЧВЗ'-(х + (,,'у) для у-О. (142.13) Здесь»'+(х) = »' (х) =0 для х(0. Для ио! и ою мы находим из (142.08) и (141.05) =-+ соЧВ» (х+ со у) для у == О. =-+ЧВ» ° !х со у). Эти выражения согласуются с теми, которые получились первым способом. ЫЗ. ФАкты и пРедположения О кРАеВых услОВиях 341 Е. ЗАМЕЧАНИЯ О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ В 143.
Факты и предположения о краевых условиях Основной вопрос механики и математической физики следующий: как то или иное явление определяется дифференциальными уравнениями и заданными граничными условиями? Для проблем, рассмотренных в предыдущей части, уклоняясь от прямой постановки этого вопроса, мы искали такие граничные условия, которые обеспечивали бы существование и единственность решения задачи об установившемся течении.
Следует сказать, что мы старались скорее угадать ответ, не1кели найти его, и таким образом были далеки от ясной математической трактовки вопроса. Каждая физическая задача, будучи сформулирована математически, содержит идеализированные предположения, которые частично могут быть оправданы существованием н единственностью решения и, кроме того, „устойчивостью", т.
е. непрерывной завнсимость4о от исходных данных. Возникающие трудности часто коренятся не в физической действительности, а в несовершенной математической идеализации. Строго говоря, не существует установившихся явлений, отвечающих такой идеализации, нбо эти явления должны рассматриваться как предельные случаи неустановившихся явлений, возникающих из заданных начальных состояний при заданных граничных условиях. Но самое существование таких предельных установившихся состояний совсем не очевидно и, вероятно, не может быть выведено из дифференциальных уравнений без учета вязкости; даже и в этом случае строгое доказательство, повидимому, превышает возможности современного анализа. Но будем исходить из предположения, что предельное установившееся состояние существует.
Тогда возникает вопрос: можно ли определить это состояние непосредственно путем решения дифференциальных уравнений установившегося течения при надлежащих граничных условиях, без учета того переходного режима, для которого данный установившийся режим является предельным г Только в том случае, когда ответ на этот вопрос существует, можно считать теорию установившегося состояния удовлетворительной. Во многих классических линейных задачах математической физики граничные условия, присущие установившемуся состоянию, могут быть сформулированы непосредственно, так как они совпадают с граничными условиями для неустановившегося течения.
К сожалению, в динамике жидкости положение гораздо сложнее. Во многих важных случаях граничные условия, определяющие неустановившееся 342 ГЛ ВЕ ИЗЗНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ течение, теряются в асимптотическом процессе, ведущем к установившемуся предельному случаю, поэтому надлежащие граничные условия приходится искать при помощи более сложных рассуждений. На самом деле, поиски этих условий не во всех случаях были вполне успешными. Существуют случаи, когда ни математический анализ, ни физическая интуиция не могут дать надлежащего ответа.
Эти трудности можно иллюстрировать на газодинамических задачах простейшего типа. Пусть, например, надо найти течение в бесконечном канале, который сначала содержал в различных частях газы при различном давлении, разделенные перегородками, внезапно убранными в момент 1 = О. Результат возникающего процесса взаимодействия распространится по всему каналу и в конце концов дойдет до каждой его точки. Поэтому мы не можем ожидать, что асимптотическое установившееся состояние определится условиями, господствовавшими в удаленных областях первоначально. В частности, если есть только одна перегородка, разделяющая две части покоящегося газа с различными давлениями, мы имеем простой случай, уже изученный в З 80; возникающее при удалении перегородки постоянное течение не удовлетворяет условиям, которые были в газе вначале; скорость этого постоянного течения на концах, разумеется, не равна нулю, а также давления и плотности там отличаются от начальных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
