Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Очевидно, что при изучении течения в двумерном сопле можно руководствоваться тем же методом, и можно подумать, что, переходя к линейным дифференциальным уравнениям, характеризующим течение в плосноспги годографа, удастся развить точную теорию. Но этот способ оказывается непрактичным, потому что изображение области сопла в плоскости (и, о) не простое — оио образует складку. Чтобы убедиться в этом, надо только представить себе, как идут изображения линий тока в плоскости годографа. Рассмотрим точку в дозвуковой области на линии тока с отрицательной составляющей скорости о; э станет положительном на той же линии в сверхзвуковой области.
Так как в =0 вдоль всей оси сопла, мы приходим к диаграмме, показанной на рис. 196, отвечающей части течения с у)0. Мы замечаем, что изображения линий тока пересекаются, поэтому изображение поля течения в плоскости годографа не простое, и функции, представляющие х, у в их зависимости от и, о, имеют особенность на огибающей линий тока. Из теории, развитой в гл. 11, $ 30, и в гл. 1Ч, $ 105, мы знаем, что эта огибающая, край складки, является Г-характеристикой.
Очевидно, что для течения в сопле обе Г-характеристики, начинающиеся в точке и = с„,, э =-О, являются такими краями. Угловая область между ними трижды покрывается изображением. Линии, соответствующие этим двум краям, кривые перехода в плоскости (х, у), состоят из двух линий Маха, выходящих нз той точки на оси, где достигается критическая скорость.
(Дальнейший анализ показывает, что нз этой точки исходят четыре, а не две линии Маха.) Хотя пользоваться составляющими скорости нельзя, можно перейти к функции тока и потенциалу скоростей как новым независимым переменным. Тогда удастся глубже изучить течение в сопле, причем не только в двух, но н в трех измерениях (см.
11421). Предположим, что задано распределение осевой скорости вдоль оси, Разлагая составляющие скорости и расстояние от оси по степеням функции тока, которая предположена меняющейся на оси, и подставляя эти разложения в должные дифференциальные 'уравнения, можно прийти к некоторым простым формулам. Члены первого порядка совпадают с теми, которые получаются гидравлическим методом.
Среди формул следующего порядка мы отметим только соотношение Ч я, =- Чл ~1 + -~- 'я У я ) гл. г, тачанив в сопллх и стггях дающее скорость течения д,„в точке В'на стенке, выраженную через скорость дд в той точке А, где потенциальная поверхность, проходящая через !р; пересекает ось; х„, есть кривизна стенки сопла в точке %; а у„, есть расстояние этой точки от оси, измеренное вдоль потенциальной поверхности. Результаты, полученные этим способом, повидимому, хорошо согласуются с теми, которые получил Тэйлор путем разложений по у до членов пятого порядка, или теми, которые получаются методом конечных разностей !14!] и !144).
ф 147. Различные типы течения в сопле Несмотря на свою большую простоту, гидравлическая теория сопла описывает многие специальные типы течения, возникающие в сопле при различных условиях. Для лучшего понимания того, что происходит, надо предположить, что выхлопная часть присоединена к большому ириемнику, в котором может поддерживаться постоянное давление.
Затем представим себе, что давление в приемнике р, меняется, а давление в резервуаре ири входе в сояло р, сохраняется неизменным. Далее, мы предположим, что скорость течения д, в резервуаре равна нулю, т. е. его поперечное сечение бесконечно велико. Тогда нз (145.03 — !45.04) можно определить критическое давление р... р, =- (1 — 1.-) " ' р,. (147.01) Г!усть р есть' давление в „сечении" с площадью А; тогда по формулам (145.04) отношение А!А..
есть вполне определенная функция отношения р,'рв, где р, и Ав суть критическое давление и критическая площадь сечения. В то время как критическое давление рв известно, критическая площадь не определена заданным состоянием в камере. Чтобы представить совокупность течений, совместимых с заданным состоянием в камере и с различными состояниями в приемнике, удобно пользоваться графиком семейства функций, получаемым нз (145.04) для различных значений параметра А.. (рис. 197), Все эти кривые имеют линии р = 0 и р=р, асимптотами н являются петлями, идущими от А =Ав до А = ..
Для каждой из этих кривых имеются два значения р, относящиеся к каждому А > А..., причем большее р относится к дознуковому Ь мт, вдзлнчныв типы твчвния в сопла 353 состоянию, меньшее — к сверхзвуковому; при А = А. оба состояния становятся тождественными, а при А с А, те чение вообще невозможно, На рис. 198 показано давление р как функция абсциссы х вдоль оси заданного сопла.. Оно получено подстановкой значениЯ А как фУнкции х в А = Аеу 1 ~ 1 . ' Рч/ Соотношение между давлением и площадью вдоль каждого течения в сопле от камеры до приемника представлено кривыми на этом графике. Если давление в приемнике р, равно давлению в камере Р,, то вообще не будет никакого течения.
Когда р„ только Рис, 7Р7. Соотношение между давлением и поперечным сечением длл разлнчных течений и сопле при различных давленинх в приемнике, отР, доР, немного меньше, чем р,, возникает течение с малой скоростью (па рпс. 197, р„=р,). Чтобы определить поток, мы помещаем точку р =-р,, А =- Аа на плоскость (А, р), где А, есть выходное сечение. Через эту точку проходит кривая А =-А 7'1 — ~ ГР т Ф Р с надлежащим значением Аем Ал,=Ам(р,, А,). 1Лы следуем этой кривой, пока А не примет значения А, для горловины сопла. Участок кривой от А, до А, представляет течение от горловины до выхлопа, тогда как течение от резервуара до горловины представляется участком от А = А, до А = о на той же ветви кривой. Течение остается везде дозвуковым.
Очевидно, что этот способ описания течения, характеризуемый индексом г= 1, годится только если кривая А = А.;.,7'1 — ), проходящая ,Р.. через точку (р,, А,), пересекает линию А =А„т. е. если Л,>Л„ 23е Ззи ГЛ. У. ТЕЧЕИИС В СОПЛЛХ И СТРУЯХ где Ае = Ал,(р,, А,) есть критическая площадь, связанная с рассматриваемой кривой, и если А, есть сечение сопла в горловине. Когда давление в приемнике р„ понижается, А уменьшается, пока для некоторого давления А„ =- А, не будет достигнуто значение р„ = — рл. Для р„ =-рл течение станет звуковым в горловине, но езце останется дозвуковым повсюду, кроме нее.
Если теперь давление в приемнике р, становится ниже рл. то получается течение совсем другого типа, как это показано Рис. 1у8. давление как функция поло:кения по оси сопла лля различных течений при различных давлениях в приемнике. на рис. 197 и 198. От камеры до горловины течение дозвуковое, представляемое верхней дугой кривой, А =-= А,7'1 — ~, прн- Г'р Т ходящей из А = — -со и относящейся к А, = А,. Эта часть течения не зависит от давления в приемнике н определяется только значениями А, и ре [или р, по (147.01)] .
Г1осле прохождения горловины течение становится сверхзвуковым и представляется нижней ветвью той же самой кривой А =-А,7'( — ~7; эта /р~. кривая пересекаетлиниюА=А, в определенной точке, где р=рч поэтому рл определяется из А =А,7(М. Другими словами, течение гладкое с постепенно уменьшающимися давлением и плотностью и постепенно возрастающей скоростью от входа до выхлопа, причем звуковая скорость достигается в горловине.
Если давление в приемнике р„ оказывается равным Р„ то мы получаем то, что называется идеальным течением в сопле. Расчет сопла для заданных р, и р„ обычно а 148. Вдленыв ВОлны В сопллх н сГРгях 557 состоит в таком выборе Л, н А,, чтобы в наших обозначениях р,=р„' ' '==~('-") В нашем мысленном опыте мы при постепенном понижении р, будем еще иметь р„> р раньше, чем достигнем р„= р, . Как на самом деле течение, пройдя горловину и достигнув сверхзвуковой скорости, приспособится к заданному давлению в приемнике р,й Ответ состоит в том, что сначала течение после горловины идет по нижней ветви соответствующей кривой Л ==А,~~ — 4, но в некотором сечении расширяющейся части 4рт сопла появляется ударный фронт, в котором газ сжимается н замедляется до скорости ниже звуковой.
Затем газ вновь сжимается и течение замедляется; соотношение между давлением и плотностью представляется теперь верхней ветвью кривой А = ЛВ~~ — ~, ПРоходящей через А, и р, с надлеи4ащнм Обра- /7 Д зом пониженным значением р,. Положение и сила ударного фронта автоматически приспособляются к тому, что давление на выходе равно р,. Место на диаграмме, где находится ударный фронт, отвечает скачку со сверхзвуковой ветви кривой с А4, = = А, на верхнюю ветвь кривой„проведенной через р,, А, . Если давление в приемнике р, делается меньше, чем р.„то ударный фронт движется от горловины к выхлопному концу.
Он достигает выхлопного конца для значения р, = — р, ) рВ Другими словами, для р, < р невозможно приспособление потока в сопле при помощи ударной волны к давлению в приемнике. ! 1адо найти еще один тип течения, имеющий место нрпр,<р,. Конечно, мы можем теперь ожидать, что в соиле течение такое нсе, как в идеальном случае р,=р„. Вся кривая А= Гут == Л,~~ — ~ ~точнее, дозвуковая ветвь А, < А < сО и сверхзвуковая ветвь А,< А < А,) описывает течение в сопле. Приспособление давления к внешнему давлению р„происходит а струе Вне сопла. Имеются два типа явлений, смотря по тому, является ли р4>р,) р, или р, С р,; в промежуточном случае, р„=-р,, получаегся идеально приспособленное непрерывное течение. 7а 148. Ударные волны в соплах и струях Чтобы понять, как ведет себя течение в струе, лучше сначала вернуться назад к ударным волнам в сопле при р4(р„...
р,. В простейшем описании фронт такой волны будет 355 ГЛ. У. ТЕЧЕНИЕ В СОПЛАХ И СТРУЯХ искривленным диском, перегораживающим сопло перпендикулярно к его стенкам. Но настоящая форма такого ударного фронта иная. Ударный фронт на самом деле косой и поэтому меняет направление течения скачком, т. е. ведет к отрыву струи. Это положение представлено на рис. 199. Таким образом, фронт начинается на стенке, наклонно к ней, как коническая поверхность н сопровождается отрывом струи. Ударный фронт пересекается „маховским ударным диском", перпендикулярным к оси, который приблизительно представляет ту упрощенную картину, которой мы пользовались в предыдущем разделе. Позади маховского и падающего ударного фронта развиваются отраженный фронт о' и поверхность контактного разрыва ел.
Когда давление в приемнике р„ падает до значения р„ место Сптппа сопла пп" /Зу ОТРЫВЕ ПсрсмсщасТСЯ К Крауо Жь Грапааа струи СОПЛЕ Н ОСТЕЕТСЯ ЗДЕСЬ, КОГДа р„становится меньше р„тогда как выходящий из края ударный фронт делается длиннее (рис. 200). Когда давление утас, И9. Отрыв струи и ударивя вприемникЕ опускается дор, а сила ударной волны, выходящей из края, обращается в нуль. Когда давление в приемнике делается еще меньше, начинается ряд новых явлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
