Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 59
Текст из файла (страница 59)
1у. НзэнтРОпическое БеззихРеВОВ устАБОВиВшееся течение ности, присущие дифференпнальиым уравнениям течения в частных производных. Тем не менее, если ударные и простые волны имеют умеренную силу, возможно удовлетворительное приближенное изучение взаимодействий. Первая задача, которую мы рассмотрим,— это взаимодействие стационарного ударного фронта и следующей за ним стационарной ударной волны.
Мы увидим, что простую волну с достаточной степенью точности можно считать не зависящей от ударной волны позади нее и что движение последней может быть в первэм приближении определено нз решения линейного дифференциального уравнения так же, как и при аналогичном взаимодействии в одномерном течении, рассмотренном в $ 74. Двумерное обтекание крыла приводит к слабым простым волнам, если только крыло достаточно тонкое. Мы изучим два метода возмущений для определения течения. Влиянием ударной волны в рассматриваемом приближении можно пренебречь. Направление такого ударного фронта можно приближенно определить способом, указывавшимся ранее.
й 138. Сравнение слабых ударных волн и простых волн Основой нашего рассмотрения взаимодействий ударных волн с простыми волнами послужит то, что изменения в обеих этих волнах различаются только на малые величины третьего порядка. Рассмотрим сначала последовательность косых ударных фронтов, обращенных назад, имеющих перед фронтом одно и то же состояние т„р„и скорость и,= д,) О, О,= 0 (рис. 178). Мы будем различать ударные волны по значению удельного объема т за фронтом, тогда все другие величины, давление р н скорость (и, о) позади фронта будут определены, если мы условимся, что з ) О, т. е.
что ударный фронт наклонен в сторону течения. Затем мы разложим Р, и и о по степеням т — т,. Для этого сначала воспользуемся уравнением Бернулли (118.08), которое в настоящем случае принимает вид 2 ( ( ) Р + 2 7о (138.01) Дифференцируя это соотношение дважды, мы получаем для; =- авенства о Р ЧВ~4 = тогтР (!38.02) ,7 т(ВИ+(т(п) +(г(ю)е= — ~,д'Р— Г1 с(Р. (138.03) Из соотношения (118.11) в виде (и — д )'+ ~е = — (Р— Р,) (~ — ~,) (138.04) мы получаем после двукратного и трехкратного дифференцн- % 1ЗЗ, СЛАБЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ Н ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ Зйт рования (или после подстановки в него разложений и, О, Р по степеням т — т,) сапа+ с(пз = — с(Р4т, (138.05) + 2 (138.06) С помощью уравнения (138.05) равенство (138.03) приводится к виду Ча1с П= (138.07) Дифференциалы здесь надо, конечно, брать при т = т,.
Соотношение между р и т одинаково для косых и нормальных ударных фронтов, поэтому значения с(р и с1зр известны; в сущ- / I М Рис. 18Ц Обращенный назад ударный фронт. Линия Маха показаны по обеим сторонам. Рис. 181. Обращенная назад простая волна, показанная семейством прямых линий Маха. ности они таковы же, как и при адиабатнческом переходе (см. раздел 172).
Из уравнений (138.02), (138.07), (138.05) и (138.06) определяются значения сси, Фи, сто, сазе, потому что 17~ > 0 для 11 т ( 0 по сделанному выше предположенюи. Затем рассмотрим простую волну сжатия, обращенную налево, состояние перед фронтом которой задается в виде т = -.„ р =р„ из = туз > О, Оз = 0 (рис.
181). Сравним различные участки этой простой волны между начальной прямой линией Маха и прямой линией Маха, несущей постоянный удельный объем т, с различными косыми ударными фронтами, обладающими тем же состоянием впереди и тем же т позади. Разложим снова р, и и ~ на линии Маха, несущей значение т, по степеням т — т,. Так как давление и плотность в простой волне связаны адиабатически, значения с(р и Рр в ней те же, что и в ударной волне. Так как в простой волне справедлив закон Бернулли, то в ней имеют место и равенства (138.02) и (138.03). Соотно- 828 Гл. 14. изэнтРОпичсское БВВВихРеВОЕ устлнОВНВшееся течение (138.08) где А может рассматриваться как функция 0 нли наоборот.
Здесь А и А, суть маховские углы соответственно позади и впереди ударного фронта. А+8 и АВ суть углы между направлением приходящего течения и теми линиями Маха позади и впереди фронта, которые имеют тот же наклон, что и ударный фронт. Поэтому соотношение (138.08) показывает, что ударный фронт в первом приближении делит пополам углы между линиями Маха позади и впереди него. шение (138.05) равносильно характеристическому уравнению для поперечных линий Маха.
При дифференцировании (138.05) получаем (138.06). Ясно, что и значения с1и, йО, дги, дгю для простой и ударной волны одинаковы, так как соответственно равны йр и с1тр. Итак, мы доказали, что разложения величин за фронтом ударной волны и в участке простой волны с тем же начальным состоянием согласуются до членов второго порядка включительно, т. е. равны в первом и втором порядке. Это утверждение, доказанное для разложения по степеням т — ть, очевидно, справедливо для разложений по степеням любой другой величины, могущей служить мерой силы ударной волны или участка простой волны.
Это же самое можно выразить иначе, сказав, что ударная поляра и эпициклонда для одинаковой критической скорости, проведенные через одну и ту же точку (д„О) в плоскости (и, О), имеют касание второго порядка. Поэтому, если заменить состояние за фронтом ударной волны, представляемое точкой на ударной поляре, состоянием на эпициклоиде, имеющим ту же энтропию, что и состояние перед фронтом ударной волны, то соотношения для ударного фронта удовлетворятся с точностью до членов второго порядка относительно силы ударной волны. Хотя состояние позади фронта слабой или умеренно сильной ударной волны и может быть определено по формулам для простой волны, положение ударного фронта должно определяться отдельно. Мы знаем, что ударный фронт сливается с линией Маха, когда сила ударной волны равна нулю. Для того чтобы найти положение ударного фронта малой или умеренной силы, мы применим разложение угла К который ударный фронт образует с приходящим течением.
Разложение р по степеням угла 8 между направлением течения позади и впереди ударного фронта может быть выведено из соотношений (121.02) н 188=О/и. Сравнивая результат с последней формулой (116.08), справедливой для простых волн, а поэтому и для ударных волн, мы находим равенство Р=-,' А,+ г (А+8)+..., $ !аа. ЗАтухАюший удАРный ФРОнт 329 9 139. Затухающий ударный фронт То обстоятельство, что ударный фронт с точностью до ве. личин второго порядка относительно его силы дает тот же переход, что и простая волна, может послужить для приближенного определения влияния на ударный фронт простой волны, находящейся позади него, в то время как впереди него течение постоянно.
Метод рассмотрения вполне аналогичен тому, с помощью которого рассчитывалось влияние простой волны на одномерный ударный фронт (см. $75). о Пусть постоянное сверхзвуковое течение воздуха со скоростью и= 1/ =да ) О, з = О сперва отклоняется Простая ударным фронтом, наклон которого осана т1у>сох положителен. Для у < ' С предположим, что отклоненное постоянное течение снова отклоняется в простой волне, прямые лн нии Маха которой тоже имеют по- и ложительный наклон осу>т1х. Пусть простая волна встречает ударный фронт в точке х = О, у = О. Надо определить течение позади ударного фронта для у) О.
Так как течение впереди фронта сверхзву- ~-'ас. >82. взаимодействие между ударным фронтом и ковое, то там оно не меняется простой волной позади но направление и сила фронта из- него. меня>отея под действием течения, находящегося позади него 1см. $ 143). Если ударная волна слабая или хотя бы умеренная, то можно приближенно отождествить переход в ударном фронте с переходом в простой волне. Это значит, что в таком приближении течение позади ударного фронта такое же, как если бы оно отклонялось в первый раз не ударным фронтом, а простой волной сжатия. Такая простая волна сжатия образует одну простую волну вместе с волной, заданной позади ударного фронта для у ( О, а значит и для у > О.
Другими словами, в рассматриваемом приближении ударная волна не влияет на течение позади себя. Это течение в точности является заданной простой волной, продолженной до ударного фронта для у )О. Поэтому течение определится в каждой точке, если будет известно положение ударного фоонта. Это положение, завися>нее от находящейся сзади простои волны, определяется следующим образом. 330 Гл.
Ич изэнтРОпическОе БезВихРеВОе РОГАИОВНВшееся течение Предположим, что простая волна, являющаяся Г-волной, может быть описана так: х=а(а) — гз1пм(а), у=Ь(а)+«созе(а). (139.01) линейное дифференциальное уравнение для г= «(а). Его решение определяет ход линии фронта.
Подробности см. в [55). Упомянем только, что уравнение (139.02) весьма упростится, если мы разложим р по степеням ю — ю и сохраним только члены первого и второго порядка. Из соотношения (138.08) и е = А+ 0 — 90', м, = А, — 90' мы получаем с точностью до членов первого порядка 8=90 +,+ — '( —,). 2 (139.03) Подстановка в (139.02) дает в нашем приближении 1 ВУ«ВОЗ .
а+На ВЬ вЂ” (м — м,) — + — г=з!п- 2 аа Ва 2 Ва + соз "— = Г" (а), 2 аа (! 39.04) что может быть проинтегрирована явно, как г =, [и (:) — аа] 2" (~) й Г.+ г„(139.05) Здесь а, Ь и угол м между прямыми линиями Маха и положительным направлением оси у [см. (109.01)) суть заданные функции параметра а. Скорость и=осоз0, о:=оз!П0, а также и р и т суть тогда известные функции и и постоянных н,, с„, как объяснялось в $109.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
