Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Область(С) содержит, кроме того, кривую Я, отвечающую стационарным маховским отражениям. Точки между линиями Е и Я отвечают прямым, а выше 51 — обращенным маховским отражениям. Область (Р), заштрихованная косо (/(/(/~), ограниченная кривой Ев, представляет назависимую вторую ветвь тройных ударных конфигураций, определенную впервые Полячеком [114[. Отметим, что махоеские отражения существуют только для области 2/(1+у) < х < —, или (2+2и)Я1+2в) < М' < со, 6 !22 КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ З17 Прямое, но довольно длинное алгебраическое вычисление приводит к следующим соотношениям: угол ре между падающим ударным фронтом и направлением приходящего течения находится из равенства 2р 1+все 1 Р2х (132.01) (1 + Рх) г (1 — Рх)х Кривая Ог, характеризующая стационарное отражение, дается квадратным уравнением — =ЪХ Ес„ с. г,ч г,г га 1,з !б 1,г >,о ', е (х — 1) — —,, (1 — рхх) 1.~$(х — 1) — — (1 — рхх) 1= 1 — $ 2 Ц 1 + р2 (132.02) где )/ (Рх+ г) (1+ Р с) Относительно вывода этих формул отсылаем к [112) и 1114].
До сих пор мы описывали простейшую из возможных тройных ударных конфигураций. Обращаемся теперь ко второму вопросу: как характеризовать собственно процесс отражения, учитывая твердую стенку и разрешая течению отклоняться от стационарного только в переносном движении. Другими Рис. 172. Возможеые маховехие отражееен = 1 (1 — р' х). Уравнения Е и Ер находятся из х 1+ г -Р 11+ 2г — (1 — 2Р2) 121 Ю (И*+ 1) 11 т (1+ г) !т) (132.03) (132.04) 318 ГЛ !Ч.
ИЗЗНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ словами, мы возвращаемся к исходному положению: падающая ударная волна проникает в зону покоя и отражается от твердой стенки. Это положение характеризуется только параметрами, зависящими от состояния (О) и от падающей ударной волны. В качестве этих параметров мы выбираем отношение да= $ давлений перед фронтом и после фронта падающей удар- !71 ной волны и угол между падающей волной и стенкой иа. При сравнении теоретических результатов, полученных для тройной ударной конфигурации с опытом, надо отождествлять угол аа !Ео 00 00 7О' 00' 00' 90' За" го' 70 О' 70 "9 ОВ 07 об 00 09 Гт Ол О!и 0 Рис. 773.
В области (1!'1!' ! 1) Возможны правильные отражения, а в области (1!11)1) ма- ховские отражения. с местным углом между падающей волной и нормалью к маховской ударной волне в точке разветвления; маховская ударная волна часто искривляется, н поэтому ее направление в точке разветвления не точно перпендикулярно к стенке. Течение, в котооом состояние (О) покоится, получается из течения со стационарной точкой разветвления путем вычитания скорости в области (О) из всех остальных скоростей. Результаты, выражавшиеся раньше через с и - — = 37 х, нетрудно пре- до образовать к переменным с и аа. Мы займемся прямым маховским отражением, принадлежащим „главной ветви".
Область точек иа прямоугольнике (с,аа), отвечающая этим конфигурациям, обозначена вертикальной штриховкой (111!11). Эта область ограничена кривой, точки которой отвечают стационарным маховским отражениям. Кривая дается следующим уравнением (см. (411)! с(й~ аа — т~ ~ ' с(наста — Т ' ~ = О. (132.05) (а+ ил) (1 + раб) (1+ ил")т а аз. соотношения мажах ллвлвниями 319 Например, для слабой падающей ударной волны р,=р, мы получаем с1п4 ао — ( — 1] с1д~ ао — — — — О, (132.06) 1 — 9'~ 1 — эв откуда 1яз "О = 1 — 1' во = 42', для т = 1,4, 1 ' = —.
Далее, наклонной штриховкой (//////) мы показали область значений 1 и вь для которых возможно правильное отражение (см. рис. 161); рис. 173 соответствует для ", =- 1,4. Ясно, что обе области перекрываются, потому что стационарное маховское отражение может быть истолковано как правильное отражение. Для 7 < 3,59 (см. [115] и (114], стр. 11) границы касаются в определенной точке, находящейся при Р~1Ро - 2,61 для т = 1,4. Теория не выясняет, какое отражение на самом деле происходит в общей области — маховское или правильное.
Согласно данным опытов, положение следующее. Если сила падающей волны постоянна, а угол а изменяется от 0 до 90', то отражение остается слабым и праоильным приблизительно до тех пор, пока не будет достигнуто стационарное маховское отражение. Отсюда начинается маховское отражение. Где точно происходит этот переход и происходит ли он непрерывно или скачком, определенно, повилимому, не установлено. Надо сказать, что в то время как маховские отражения с сильной падающей волной как будто хорошо согласуются с изложенной теорией, при слабой падающей волне они количественно расходятся с ней.
Этот факт следует из большого опытного материала, который Нейман, Зигер, Смит и другие собрали и сопоставили с результатами обширных вычислений (см. (114] и [122]). Обобщенная теория, которая будет изложена в 134, повидимому, ие может объяснить этих расхождений. В 9 136 мы сделаем выводы из наших рассуждений. 9 1ЗЗ. Соотношения между давлениями Как при маховском, так и при правильном отражении большой интерес представляют получающиеся давления.
Будем рассматривать „отношение отраженного давления" р,/р, позади и впереди отраженной ударной волны о'. Эта величина меняется, когда меняется угол падения от а,=О' до а,=90' при постоянной силе падающей волны Р' Ро Зло ГЛ.!Ч ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ Как замечалось в э 125 (см.
(125.01)), мы имеем для лобо- ВОГО СТОЛКНОВЕНИЯ Ра = 0 (2Р2 + ]) — Р,2 Рз Ра (133.01) р2 — + ! Р! Ра КогДа аа УвеличиваетсЯ, отношение Рз!Р! сначала УменьшаетсЯ, но с приближением аа к крайнему значению это отношение может стать больше того, которое получается при лобовом падении (см. замечания на стр. 308). При появлении в течении маховской конфигурации это возрастание в конце концов прекращается, и отношение рл!р! снова уменьшается, приближаясь к 1, когда аа подходит к 90', так как в этом случае отраженная волна становится звуковой. ф 134. Видоизменения и обобщения Описанная выше тройная ударная конфигчрация является математически простой моделью течения, с которой неожиданно хорошо согласуются некоторые явления.
Но существует обширный экспериментальный материал, который явно расходится с маховской теорией. Одно 2 б э б ° 'б в том, что истинная карФл л тина течения может соот- ветствовать тройной удар- Я, ной конфигурации только и! локально, в бесконечно малой области. Есть, одна- У ко, другая возможность Рве.
туев тройная ударная яонфнтура- ПрИМИрИтЬ НабЛЮдаЕМЫЕ ния, видоизмененная волной разрежения. факты с математическими моделями течений, содержащих три ударные волны. Как указывалось в $ 129, описанное выше течение есть только одно, простейшее, среди бесконечно многих возможных течений с тремя ударными волнами. Условие отражения на стенке, т. е. параллельность течения стенке, может удовлетворяться во многих картинах течения с тремя ударными волнами и контактным разрывом, проходящим через точку разветвления, если допустить„кроме того, центрированные в У волны разрежения и сжатия.
Полный успех, по крайней мере, й !ЗЕ ВИДОИЗМЕИЕНИЯ И ОЬОБШЕИИЯ 321 если говорить о согласии со всем опытным материалом, еще не достигнут; самое непосредственное обобщение, т. е. маховская картина, осложненная центрированными простыми волнами, может быть, будет достаточной для объяснения некоторых явлений, наиболее необьяснимых в рамках простой теории.
Рис. 175. Обтекание „наконечника стрелы" Такие волны могут быть вставлены в область (2) (рис. 174), если течение, пересекая отраженный ударный фронт между областями (1) и (2), поворачивается в сторону точки разветвления и является сверхзвуковым в области (2), если рассматривать ее из этой точки. Тогда и область (2) разделяется на две В йз области: (2') и (2"), и течею. Р л "Р из (2') в (2"), поворачивается дальше, в сторону точки раз- (а) ветвления. Упомянутые выше условия, повидимому, могут быть удовлетворены, если угол П1 падения аа достаточно блик О0 Рнс. 1Ж Тройная ударная конфигузок к 90 .
рация с угловой зоной вместо конТакая конфигурация может тактного разрыва. возникнуть, если течение отклоняется на „наконечнике стрелы", т. е. на клине, наклон которого на некотором расстоянии резко меняется (рис. 175). Наблюдаемое на самом деле обтекание „наконечника стрелы", повидимому, согласуется с этим истолкованием (заметим, что простая волна едва ли даст след на теневой фотографии) Другое, более радикальное видоизменение простой модели Маха состоит в предположении, что существует не одна 21 Р. Ктчант и К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
