Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В самом деле, при прохождении фронта нормальная составляющая И всегда становится меньше, а касательная 1. не меняется. П) Дозоуноеое течение Рис. 141. Пололгеиия линий Маха С впереди и позади косого ударного фронта. Рис. 140. Линия Маха существует только впереди нормального ударного фронта. 19 Р. Курант н К. орнамента Дальнейшее важное замечание касается относительного расположения линий Маха и векторов течения.
Для нормальной к течению ударной линии имеются две линии Маха: С и С в области сверхзвукового течения впереди 5. В зоне (1) позади 5 течение дозвуковое, поэтому позади нормального ударного фронта линий Маха нет (рнс. 140). Последнее утверждение справедливо и для косых ударных волн, пока е1, < с на т. е. пока течение в области (1) дозвуковое. Когда а1,=-с появляется линия Маха, перпендикулярная к скорости течения в зоне (1). Если т1,)с,, то в зоне (1) есть две линии Маха.
Важно показать, что их положение таково, как на рис. 141 (Отметим, что сумма углов, образуемых С и С с г1, равна 180'.) Другими словами, позади ударного фронта 5 направления Маха (если они существуют), образующие одинаковый маховский угол с направлением течения, лежат в тупом углу 290 гл.
1ч изэнтропическОе еезеихРСЗОР плОскОБ течение между 5 и вектором г)т скорости течения. Это утверждение, очевидно, равносильно тому, что о < Ап где о есть острый угол между направлением течения в (1) и линией Я. Для дОКаэатЕЛЬСтВа МЫ ВСПОМНИМ, ЧтО Ети А, = —, Е1П о = —, т. Е. сг, Фг тт чт надо показать, что с, больше Мг. Но, это получается сразу, если свести косой ударный фронт к нормальному, отнеся движение к координатной системе, движущейся со скоростью 1,. Тогда ноРмальные составлЯющие Лг„1тгг скоРостей течениЯ не изменяются, так же как и скорости звука с„с„зависящие только от давления и плотности. В новой координатной системе скорость течения позади ударной волны есть М„и, так как волна нормальная, то течение дозвуковое, т. е.
М, < с,. й 121. Ударные поляры для политропических газов Количественный анализ косых ударных волн может производиться или путем геометрических построений на плоскости, или соответствующими аналитическими методами. Предположим, что ударная линия Я в плоскости (х, у) прямая и что оба состояния (О) и (1) отвечают Ж постоянному течению; предположе- ния, справедливые,в малом".
Кроа 0 ' ме того, предположим, что разрыв Р стационарен и что газ политропиьс ческий. Как утверждалось выше, заданному состоянию (О) отвечает одно- параметрическое семейство возможРис. 142 Углы течения и направление глареого фронта. ных состоянии (1) достигаемых ударным переходом. Так как состояние характеризуется двумя переменными, то возможные состояния (1) даются соотношением между этими переменными, представляемым геометрически в виде кривой. Такие кривые, называемые ударными поля- рами, могут вводиться множеством способов, смотря по выбору переменных для определения состояния (1). Будем характеризовать направление ударной линии углом р между ударной линией и направлением приходящего потока. Угол между вектором и приходящего потока и вектором пг уходящего потока, т.
е. угол поворота течения в ударной волне, будем обозначать через 0. Помещая координатную систему так, чтобы скорость приходящего течения была параллельна оси х, и применяя предыдущие обозначения М и 1. для % !ге удАРные ПОляРы для политРОпических ГАЭОВ 291 составляющих скорости о1 нормальной и касательной к О, мы имеем по = Чо~ 'оо = 0> И,=Л,совр+И,япр, о,=Л,яп — М,сов р, ~о=~1=~уосовр, Л1о=дов1пр (121.01) г Р сс Основное соотношение Прандтля (119.06) дает ДГ, = — ' 1чо Рис. 1И.
Ударная поляра для до) с,. Рис. 144. Ударная поляра для ло 'с,. Применяя (119.01), (106.06) и формулу Прандтля в этом виде, мы получаем соотношения сг и = (1 — рг) до сова р+ — * Чо =Чо (1 — р') [в1пгно — в1пгАо)до (121 02) о = (с1о — и) с1д ~, 19* где опущен индекс (1), характеризующий состояние позади фронта. Эти уравнения показывают, что для заданной критической скорости с, и заданной скорости до приходящего течении угол р между ударной линией О и вектором скорости приходящего течения оо определяет вектор скорости уходящего течения о1. Когда р меняется, точка (и,о) в плоскости годографа описывает ударную поляру, связанную со значением до и с крити- 292 Гл.
1к изэнтРОпическое БезвихРеВОе плОскОе течение ческой скоростью с и представляемую уравнением (121.02) с углом р, как параметром. Исключая угол р из уравнений (121.02), мы находим (121.03) Рос. 145. Ударная поляра в плоско- д сти (0, р), показывающая углы 0, д и 0. для ударной волны, в которой у-ая составляющая скорости о принимает положительное значение или без этого ограничения (121.04) ю' = (д, — и)' и†и Здесь сз й — — — * = (рз+ (1 — р') 01пз Ао) туо (121.05) Чо есть та скорость течения, которая получилась бы в нормальной ударной волне, и ~у= (1 — р') Чо+й = (1+(1 — 1д') 01п'Ао) туо.
(121.06) 1Заметим, что в уравнении Бернулли (102.02) са известно, когда задано состояние (О).) Кривая в плоскости (и,о), даваемая уравнением (121.04), или ударная поляра, введенная Буземаиом 131,— это хорошо известный „декартов лист", имеющий двойную либо изолированнУю точкУ в и=тУоо и=0 с асимптотой и= с1'. д сз На ударной поляре только та часть, где из+ел<туз= —, отвечает ударным переходам.
Это геометрическое место всех точек (и, э), характеризующих состояние (1), которые могут 0 1зь удАРные НОляРы для пОлитРОпических ГАВОВ 293 быть связаны с состоянием (О), стационарным ударным переходом. Ветвь и< дя представляет состояния позади ударного фронта, когда (О) задает состояния впереди фронта; ветвь и) Оя относитсЯ к состоЯниим впеРеди фРовта, когда задано состояние (О) позади фронта. Однопараметрнческое семейство возможных ударных переходов из состояния (О) может иллюстрироваться ударной полярой в плоскости (О, р), показывающей давление по другую Рис. 14о. Соотношение между углом ударной линии и углом течения О, если дана скорость течения по одну сторону ударного фронта. Случаи 0 = О и 0 ( О отвечают положениям. когда скорость и = дя, о = О дана соот- ветственно впереди и позади фронта. сторону разрыва, и углом О, на который поворачивается поток (состояние (О) снова предполагается заданным, т.
е. известны, напРимеР, да, Р, Р, или да, Р, с ). В паРаметРическом виде, считая и параметром, мы находим из (118.09) и (121.03) уравнения Р Ро=роЧо(ЧР и) (121.0?) 1й О .Чо — и (121.08) Эти уравнения определяют изображение декартовой петли на плоскости (О, Р), где и — параметр. Эта ударная поляра (О, р) представлена на рис. 145. Петля дает возможные состояния позади ударного фронта, когда состояние (О) впереди, нижние 294 ГЛ. Рд ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ветви дают состояния впереди фронта, когда состояние (О) позади. Полезна и другая ударная поляра, представляющая связь между 0 н р.
Это соотношение дается уравнениями (121.08) и (121.02). Поляра показана на рис. 146. Ветвь р>А„0)О относится к косому фронту 5, когда задано состояние (О) впереди, а ветвь р < А„0 <О, — когда состояние (О) позади. Конечно, можно рассматривать и другие ударные поляры, как, например, дающие связь между р и р. й 122. Рассмотрение косых ударных волн с помощью ударных поляр С помощью ударных поляр можно установить количественные соотношения в ударных волнах.
Воспользуемся ударной полярой в плоскости (и, о), связанной с св и дс; с ее помощью можно построить косой ударный фронт следующим образом. Рис. 147. Определение ударной линии с заданным углом поворота 0 по ударной поларе в плоскости (п, о). Рис, 147 показывает такую ударную поляру для определения состояния позади ударного фронта, когда де > с„; она имеет двойнУю точкУ Р, = (д„ О), конечнУю точкУ вектоРа с)а. Для каждой точки Р на ударной поляре мы находим скорость позади ударного фронта как вектор ОР. Угол 0, на который поворачивается приходящее течение, есть угол между ОР и осью и.
Направление ударной линии 5, образующей угол р с приходящим течением, перпендикулярно к линии, соединяющей двойную точку Р, с точкой Р, в согласии с тем, что й 122. УДАРНЫЕ ПОЛЯРЫ И КОСЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ сэб Ряс. 149. Звуковое возмущение и слабая ударная волна для 0 = О. Рис. 148. Ударные линии в слабой ударной волне близки к линиям Маха. ударной линией и вектором Ч, больше, чем угол б между Ч и Чс Течение после ударного фронта дсоэсет быть сверхзвуковылс, о ) с, или дозвуковым, о < с, причем первое бывает у сравнительно слабых, а второе у сравнительно сильных ударных волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
