Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Тогда угол Маха А А, находится нз (106.06) так: сйп А,= со! г7о (116.01) 278 Гл.47 изэнтРОпическое БезВихРеВОе плоскОе течение диаграмм мы видим, что максимальный угол, на который мо- жет быть повернуто течение в Г+- или Г -волне, есть (116.06) он может быть достигнут только в идеальном случае полной простой волны, где течение начинается при звуковой скорости л с„и кончается прн предельной скорости 47. Табл. 11 на стр. 279 дает численные значения максимального угла для различных значений т. Если начальная скорость (74 больше, чем критическая скорость с,, то наибольший угол, на который можно повернуть течение до кавитацин, очевидно, меньше. Для больших значений о нли малых углов Маха А можно со найти из (116.04), (116.05) максимальный возможный угол ~ О,— О повоРота течениЯ по пРиближенной фоРмУле 1 — о — 1) — =- 2 со ) оо Т вЂ” 1 Чо' Для многих случаев, когда величины в простой волне меняются не очень сильно, достаточно пользоваться разложениями по степеням Π— О,.
Можно предположить, что приходящее течение происходит в направлении х, т. е. О,=О, н что простая волна есть Г -волна с прямыми С+-характеристиками. Полагая 1 ~о= (к Ао= (116.07) мы получаем разложения 1 ( 4+2 212+~4) Оо+ 2 (1 — Во) и174=-1 — Гоа+ (1+21 ~о+ Фо) О'+..., 2(1 Ио) о/Чо= О соО + с!Со — — 1+ ~ (Го+~,') О+ — ~ — (1+8о ) Ио — ((в 2 Г о ) ] О + Р~ро=--1+ —,(Е,+1,')О+ -(1+Гоо) Ко+2г'+ +~ ) О'+..., (116.08) ПЕРЕХОДА В ПРОСТЫХ ВОЛНАХ % Пз. ФОРМУЛЫ Таблица 1 ВЕЛИЧИНЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮШИЕ ПОЛНУЮ ПРОСТУЮ ВОЛНУ (даа воздуха 7 =- 1,406) в град.
! ш — ш. в град. с, 0,00 01 02 03 04 129,32 67,64 60,65 56 14 52,73 2,437 2,151 2,083 2,035 1,996 219,32 143,79 134,80 128,90 124,37 0,000 515 569 603 629 4,178 3,661 3.373 3,175 49,9э 45,52 41,82 39,09 36,55 120,64 114,60 109,73 105,57 101,91 3,024 2,801 2,636 2,506 2,399 649 682 707 728 745 34,30 29,58 25,70 22,40 !950 98,62 91,47 85,35 79,90 74,89 761 793 819 841 860 16,92 14,60 12,48 10,55 8,78. 876 891 905 917 929 5,66 3,09 1,10 0,39 0,00 70 80 90 95 1,00 950 968 985 993 1,000 1,218 1,144 1,071 1,036 1,000 Таблица 11 УГОЛ ПОЛНОГО ПОВОРОТА ! 0 — Зг! ТЕЧЕНИЯ В ПРОСТОЙ ВОЛНЕ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ , 'л ЗНАЧЕНИЙ Т 1,00 ( 1,20 ! 1,23 ( 1,30 ( 1.40 3,00 ~ 7,00 1,67 2,00 о ~ 221,8", '!800' 159,2'>1304' 900' 37,3' ! 13,9 05 07 09 11 13 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 1,964 1,909 1,863 1,823 1,755 1,683 1,621 1 565 1,513 1,465 1,420 1,376 1,335 1,295 2,307 2,123 1,979 1,861 1,760 1,672 1,593 1,521 1,455 1,394 1,282 1,181 1,088 1,043 1,000 70,19 65,71 61,38 57,13 52,92 44,39 35,22 24,27 16,96 0,00 280 ГЛ !Р.
ИЗЭНТРОПИЧЕСКОГ БЕЗВИТРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ „р,=!+<в+!,-')в-+ ' !!+г,') (!,'.+ +(1 2РЪ) Г-~) О~ ! йо+ =Во+,+ ' <!+г,')е+„,; <!1б.ой) 1 — ИЗ последний угол дает наклон А+0 линии Маха к оси х. В. КОСЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ й ! !7, Качественное описание Как н в случае одномерного течения, предположение о непрерывности течения в двух или трех измерениях часто несовместимо с граничными условиями; здесь, как и в одномер. иом течении, могут возникнуть разрывы. Однако мы снова встречаемся с тем благоприятным обстоятельством, что многие явления в настоящем течении можно представить сравнительно простой моделью ударного фронта, т.
е. поверхности, иа которой скачкообразно, но в согласии с законамн сохранения меняются плотность, давление и скорость, Чтобы показать, как из непрерывных граничных условий могут автоматически возникнуть разрывы, рассмотрим течение во входящем углу или в вогнутом изгибе стенки и продолжим анализ несколько дальше, чем в $112. Допустим, что постоянное двумерное сверхзвуковое течение, идущее вдоль прямой стенки, вынуждено повернуть в вогнутом изгибе стенки К.
В принпнпе наше предыдущее построение простой вт)лны остается справедливым вблизи стенки. Имеется прямая линия Маха, проходящая через точку в плоскости (х, у), где совершается переход из постоянного течения в простую волну. Ио в отличие от течения вокруг выпуклого изгиба, последовательные прямые Маха в простой волне теперь повертываются так, что внутри течения возникает огибающая. Эта огибающая .в общем случае имеет угол. Математически неоднозначное состояние между двумя ветвями огибающей физически невозможно (и н е определены не единственным образом).
Как показывает опыт, эта трудность в действительности обходится путем образования ударного разрыва, т. е. поверхности, иа которой скачкообразно изменяются и, в, Р, р, Г, 5. Так как авг 5 1!7. КАЧЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ течение двумерное, то поверхность характеризуется пересечением с плоскостью (х, у) или ударной кривой. Эта ударная кривая Я начинается с нулевой амплитуды в углу образующей и проходит между двумя ее ветвями. Рис.
И5. Огибающая Е прямых характери- стик, исхпдящих От изгиба К. Как мы теперь увидим, из условий на ударной волне следует, что различные частицы, проходя через ударный фронт ~ из воны постоянной энтропии, претерпевают различные изменения энтропии, н течение позади ударного фронта перестает Рис. 1Ж Прямая ударная линия я течсиии виутри угла тт'. быть нзэнтропнческим. Поэтому позади фронта следует учитывать непостоянство энтропии. Однако во многих практически важных случаях (которые допускают сравнительно простой анализ) изменение энтропии или постоянно, или пренебрежимо мало, так что простые дифференциальные уравнения 282 ГЛ. ПС ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ВЕЗВИХРЕВОС ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ изэнтропического течения (102.03) или (102.06) остаются при-менимыми по обе стороны ударной линии 5.
Когда ударная линия 5 в прямая, а состояние по обе стороны от 5 в постоянное, это условие обычно выполняется. Типичен для этого положения и имеет важное значение сам по себе предельный случай, когда изгиб стягивается в резкий угол поворота К; течение, шедшее с постоянной сверхзвуковой скоростью парал.лельно одной стороне угла, скачкообразно поворачивает в направлении другой стороны и снова идет с постоянной скоростью. Внезапное изменение направления и скорости течения происходит по прямой удар- .и ной линии 5, если угол, на который поворачивает стенка, меньше предельного (см. э 122).
В этом слу,ф чае косой ударный фронт разделяет две области постоянного течения, У и П, и усложнения, связанные с переменностью энтропии не возникают. Это качественно изображено на рис. 136. Наши замечания примерке. Тзу. сверхзвуковое оэтеканне пимы также и к двумерному канна, накннее нве ухарные волны обтеканию клина или головы несущего крыла. Такое течение может быть получено соединением двух течений, каждое из которых отвечает углу, образованному линией тока, приходящей в вершину клина, и одной из его сторон. Трехмерный сверхзвуковой поток прн обтекании конического снаряда будет рассмотрен ниже, в гл.
Ч!, разделе Б. Прежде чем перейти к количественному рассмотрению, мы установим общие соотношения для ударных волн. й 118. Соотношения для косого фронта волны. Контактные разрывы Условия на разрыве в двумерном и трехмерном течениях также могут быть выведены из законов сохранения массы, импульса и энергии, как и для одномерного течения. Для этого надо рассмотреть небольшой участок поверхности разрыва, выразить в интегральной форме законы сохранения для объема сплюснутого цилиндра, окружающего этот участок, и затем устремить этот объем к самой поверхности разрыва.
Вместо того, чтобы подробно выполнять этот переход, мы .воспользуемся нашими предыдущими результатами и просто 8 !!8. СООТНОШЕНИЯ ЛЛЯ КОСОГО ФРОН!Л ВГВ!НЫ перенесем на косой фронт то, что было получено для прямого фронта в гл. П!. Начнем с нескольких общих замечаний. Во-первых, достаточно малый участок поверхности разрыва 5 может рассматриваться как плоский с любой степенью точности.
Во-вторых, за достаточно малый промежуток времени нормальная составляющая скорости ударного фронта 11 может считаться постоянной. В-третьих, в достаточно малой окрестности почти плоского участка 5 и в рассматриваемый момент 1 состояния (О) и (1) по обе стороны приближенно постоянны. Но законы сохранения не содержат производных р, р, Г), 1/; поэтому можно допустить, и нетрудно это допущение обосновать, что при выводе условий на ударной волне из законов сохранения для малого объема результат будет таким же, как если просто считать 5 плоской, У постоянной и оба состояния (О) и (1) постоянными.
После этих подготовительных замечаний условия на ударном фронте легко свести к одномерному случаю„ если отнести явление к координатной системе, движущейся с надлежащей постоянной скоростью по отношению к первоначальной системе, и учесть, что согласно галилееву принципу относительности система соотношений на разрыве инвариантна относительно любого постоянного переносного движения. Мы можем поэтому получить требуемые уравнения, выбирая ударный фронт в качестве координатной поверхности, или, что то же самое, рассматривая ударный фрон!я как стационарный, независимо от того, является течение установившимся или нет. Поскольку начало координатной системы можно перемещать с постоянной скоростью адольф, мы имеем одну лишнюю степень свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
