Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Предполагая, что Ф зависит только от ~у, Ф=Ф(д), мы выводим из (103.17) Ф=~) р-'у 'ау. Из (103.03) имеем х=,чр '~у 'и, у=яр,у 'о и г= кр д Беря и > О, мы можем получить д как функцию Уг 'г д = 11(к 'г) и и =х~ ~(~1;я |г), э=уг Я(я ~г). Этн формулы представляют чисто радиальное течение.
Важно и то, что обращение равенства г=-Уср '7 можно произвести однозначно, только если д ) св или д ( се, потому что производная (р 'д '),=р ' (с ' — д ) [см. (103.13)] обращается ') Си. ниже дискуссию по вопросу истечений из сопла, 5 !44. Ь |ос твчвння, 245 внуль при у=с и,следовательно, при д=сь. Здесь с есть критическая скорость, введенная в э 15. Следовательно, рассматриваемый поток или чисто дозвуковой, или чисто сверхзвуковой. Очевидно, что величина р д, рассматриваемая как функция о, имеет минимум при о = с„, поэтому для обоих течений гЪгч=йй 'О . ДРУгими словами, и дозвУковое, и свеРхзвУ- ковос течения могут находиться во внешней области круга г=г, где скорость становится звуковой, тогда как ускорение дед/Иг= рс'оь(д' — с') ' обращается в бесконечность.
Таким образом, окружность г=г„есть предельная линия для течения (см. ЯЗО и !05). 3. Складывая функции Ф для чисто радиального и для чисто вращательного течений, получаем функцию Ф=А а+й ( ь 1д 'дц Чо и функцию тока Далее, ( кос+йг и) Ч» у=(й,и+йр 'о)~у ' и г= )ггйь+йя Якобиан,У (см. (103.08)) согласно (103.18) и (103.13 — 103.14) равен у й2( — 1 — 1) — 1 -Я йь — Я йь — 4+ й2 — 2 — 2( — ь — в) Так как это выражение изменяется от конечного отрицательного значения до бесконечности, когда о меняется от скорости л звука с, до предельной скорости д, то ясно, что з' 0 для некоторого значения д, ) с,.
Отсюда следует, что решение представляет две ветви течения, из которых одно чисто сверхзвуковое, а другое частью дозвуковое и частью сверхзвуковое. То и другое имеют место вне круга г=г„который служит предельной линией (рис. 108). Линии тока у = сопз1 для обоих течений, очевидно, представляют собой спирали, встречающие предельную окружс ность под углом агсзш —.
Это можно проверить прямым вы- Ч числением выражения для функции тока. 24Б Гл, пе иээнтРОпическое. ЕеэвихРеВОе плОскОе течение 4. Только что рассмотренное спиральное течение показывает возможность перехода течения газа из области, где оно дозвуковое, в область, где оно сверхзвуковое, и наоборот. Простой пример течения, которое является сначала дозвуковым, потом сверхзвуковым и, наконец, опять дозвуковым, был дан Рннглебом 178]. Такие течения получаются из решений Ф, чг Рис. 108.
Линии тока спирального течения, показываюпгие переход от дозвукового течения к сверхзвуковому иа круге г = г и предельный круг г = гь или р, ф, являющихся произведениями функций от г7 на функции от 0. Простейший случай описывается функциями ф = 1гг7 ' з1П в, р = й р ' г7 ' соз а, удовлетворяющими уравнениям (103.11). Из (103.17) находим чз = Йд ~ р-'гу — зг7г7 соз ч, откуда по (103.03) х=lг ~ р 'г7 зг7г7+Мр |ту ' соз'а. у =йр 'гу 'сов о з)п0. В 1ал. течения, получАемые метОдОм ГодОГРАфа 247 Для малы12 значений 17 мы имеем й — 1 — 2 я — 1 — 2 72 — 1 — 2 х — — р д соз20, у — — р д з!п20, г — — р д 2 о 2 а а и поэтому 28. у — ~ 29, 1-1%р,/ — ). Таким образом, на больших расстояниях линии тока приближенно являются параболами, г — х = сопз1.
Далее, положительная часть оси х оказывается линией тока, потому что у = О Рис. 10я Линии тока течения Ринглеба с пре: дельной линией й и кругом К, на котором происходит переход от дозвукового течения к сверхзвуковому. х=О и ф=О при 0=0 и 0=к. Поэтому может показаться, что газ течет вокруг отрезка положительной оси х. Но это неверно, потому что течение достигает предельной линии раньше, чем оно поворачивает около края (фиг. 109). Якобиан л' находится из (103.18) 1=ьтр '(с 'соз'0 — и ').
Следовательно, предельная линия находится из условия, что ~соза~=су с. Эта линия состоитизчетырех ветвей. Две ветви подходят к оси х перпендикулярно, две другие стремятся К бЕСКОНЕЧНОСтк, КОГда Х вЂ” со. Этн ВЕТВИ ВСтрЕЧаЮтСя В уГЛу, где д2=2ст — дс — '. Для политропического газа мы находим, Й1' что в углу д=)'2с„с=)/(3 — -,),'2с„поэтому там ~соз0)= — 1 = сд = — 'р' 3 — т. Простое рассмотрение показывает, что '2 248 Гл. Пс изэитРОпическое ВезВихРеВОе плОскОе течение существуют линии тока, проходящие вблизи угла, Но не пересекающие предельной линии, вдоль которой теченде — сначала дозвуковое, потом сверхзвуковое и, наконец, опять дозвуковое (рис. 109). Можно получить много других частных случаев из частных решений уравнения (103.15).
За деталями мы отсылаем к литературе, приведенной в библиографии. й 105. Роль предельных линий и линий перехода Метод преобразования годографа для получения решений уравнений газовой динамики применим только тогда, когда ни один из якобианов, ни у пх у Рис. ттд. Предельная линия в плоскости (х, у) и критическая линия в плоскости (и, о). для искомого течения и(х, у), о(х, у), ни у= х„р, — х,р„ для решения х(и, э), у (и, э) линейного уравнения годографа, не обращается в нуль. В 9 ЗО мы описали, как ведет себя отображение годографом, если либо т'=О, либо у = 0 вдоль „критической" кривой.
Описание установившегося двумерного течения можно дополнить, изучив ход линий тока и потенциальных линий вблизи критической кривой. Пусть якобиан л' обращается в нуль для решения х(и, э), У (и, о) линейных уравнений годографа вдоль критической кривой в плоскости (и, и). Тогда отображение плоскости (и, и) а 1%. пРедельные линии и линии пеРеходА 249 на плоскость (х, у) образует складку в плоскости (х,у).
Край складки, предельная линия, является, как было показано, огибающей одного семейства С-характеристик, в то время как характеристики другого семейства имеют на ней угол. Линии тока и потенциальные линии делят пополам углы между двумя С-характеристиками, как будет показано в 9 106. Поэтому они не касаются края и являются, следовательно, изображениями кривых, пересекающих критическую линию в плоскости (и, о) в исключительном направлении. Следовательно, согласно утверждениям 9 30 линии тока и потенциальные линии в пло- у у: соин Рис. 771. Мьховсеае линия перехода С+ в плоскости (х, у) и крайняя характеристика Г~ в плоскости (и, о).
скости (х, у) тоже имеют угли на предельной линии. Так как исключительное направление в плоскости (и, и) есть характеристика, то отсюда следует, что особенностью критической кривой в плоскости (и, и) является то, что изображения линий тока и потенциальных линий проходят через нее в характеристическом направлении, причем именно в исключительном направлении. Иногда это свойство может помочь определению критической кривой: если замечено,.что изображения потенциальных линий и линий тока в плоскости (и, п) касаются характеристики или друг друга, то присутствие критической кривой в плоскости (и, и) или предельной линии в плоскости (х, у) гарантировано.
Так как потенциальные линии и линии тока имеют на предельной линии углы, то их кривизна там бесконечна. В действительном течении предельная линия никогда не может встретиться, так как на ней течение должно было бы менять направление на обратное, что физически невозможно. 250 ГЛ. 1Р. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ На самом деле, раньше чем будет достигнута предельная линия, образуется ударная волна.
Рассмотрим теперь другой случай, когда вдоль „кривой перехода" обращается в нуль якобиан 7 в плоскости (х,у) для решения (и, о) уравнений течения. Эта кривая перехода, как было показано в э 30, есть С-характеристика. Соответствующая Г-характернстнка есть край складки отображения плоскости (х, у) на плоскость (и, о). Другая С-характеристика есть линия перехода и имеет исключительное направление. Поэтому линии тока и потенциальные линии пересекают линию перехода в неисключительных направлениях. Следовательно, изображения линий перехода и потенциальных линий в плоскости (и, о) касательны к Г-характеристике, образующей край складки. Линии перехода встречаются в действительном течении, например при истечении из сопла, как будет показано в гл.
ту, 5 146. Б. ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ й 106. Характеристики. Линии Маха и угол Маха Отныне мы будем прежде всего заниматься сверхзвуковым течением, предполагая, что 17 ) с ) с )О. Для этого случая теория основывается главным образом на характеристическом преобразовании дифференциальных уравнений. Напомним следующие факты из э 23.
С-характеристнкн уравнений (102.03) н (102.06) удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению 1см. (23.07)11 (сз — и') с(уз+ 2ит1с(уйх+ (с' — О') дх' =-0 (106 01) или с' (с(х'+ 11у') = (иску — одх)з, которые дают два корня ~+, " для частного 01у/ах. Г-характеристики суть кривые в плоскости (и, о), удовлетворяющие уравнению 1см. (23.08)), (с' — и') 1ьи' — 2ио11ис(о+ (с' — о') сЬ' =- 0 (106.02) или ст (с(и'+ до') = (иаи+ оа1о)'.
Уравнения (106.01) для С-характеристик зависят от частного вида течения, тогда как Г-характеристики суть два фиксированных семейства кривых в плоскости (у, о); мы опишем их подробно в $ 107 и 108. Когда определены корни уравнения (106.01), " , 1 , это уравнение можно расщепить на два: С+. у„="+х„, С: у =~ х . (106.03) 5 !Об. ХАРАКТЕРИСТИКИ. ЛИНИИ И УГОЛ МАХА 251 Как показано в 5 23, уравнение (106.02) расщепляется на два: Г: и„= — ", о„, Г; ир — — ~„и . (106.04) Из этих четырех характеристических уравнений немедленно получаются равенства и„х +о„у =О, и х„+о у„=О, (106.05) выражающие тот важный факт, что если (и, о) и (х, у) представляются на одной координатной плоскости, то направления С-характеристик одного рода перпендикулярны к Г-характеристиказт другого рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
