Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Аналптические основы Следующим по простоте после одномерного является двумерное, или плоское, установившееся безвихревое и иззнтро. пическое течение (см. 5 10, 13 и 16). Его теория развивается параллельно теории, разработанной в гл. В!. Напомним аналитические основы, развитые в $ 16. При наших предположениях течение характеризуется двумя составляющими и, о скорости Ч как функциями декартовых координат х, у на плоскости; р, р, с тоже зависят только от х и у.
От я и с они не зависят и связаны с ~7'=и'+о' уравнением Бернулли л ф + 21 = ф= сопз1 (102.01) [см. (16.02)[, что для политропических газов может быть переписано в виде р' (и'+ о') + (1 — рР) с' = с = рА7а (102.02) [см. (14.07 — 14.08)[.
Как мы видели в 5 16 [см. (16.06 — 16.07)[, дифференциальные уравнения движения выглядят так: о„— и =О, (102.03) (ри) +(ро) =О. (102.04) [см. (16.04)[. Уравнения (102.04) с помощью (102.05) можно переписать в виде (с' — и') и — ио (и + о„)+ (с' — о') о = 0 (102.06) см. (16.08)], где с' есть заданная функция д'=и'+Ф по 102.01) или (102.02).
Дифференциал р, как функция и и о, выведенный из (102.01), дается следующим выражением: та'р= — с ~уй~= — с '(ийи+ исайи) (102.05) ГЛ. Рл ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ЕЕЗЕИХРЕЕОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ Вводя потенциал скорости р(х, у) по формулам т =и~ Э у (102.07) 1см. (16.10), (16.11)1, приводим (102.06) к уравнению второго порядка (с' — р'„) ~р„„— 2р р р +(сз — р') ср = О. (102.08) Если ввести функцию тока р(х, у) так, что (102.09) А. МЕТОД ГОДОГРАФА й 103. Преобразование годографа Прежде чем обратиться к нашему основному предмету, дадим краткое изложение метода преобразования годографа, уже упоминавшегося в гл.
П, 5 21. Большая работа, произведенная на основе этого метода, предложенного Чаплыгиным 174,75), первоначально относилась к дозвуковому течению и не может быть описана здесь сколько-нибудь подробно. Дифференциальные уравнения (102.03), (102.06) линейны и однородны относительно производных и и о; их коэффициенты зависят только от и и о. Поэтому эти уравнения можно привести к двум линейным дифференциальным уравнениям, в которые х и у входят как функции составляющих скорости и и о, если не обращается в нуль якобиан (103.01) 7'=и„о,— и о„ (см.
5 21). С помощью соотношений и„=7у,, и„= — /х„о„= — /у„, о =рх„ 1см. (16П2)), то уравнение (102.03) станет уравнением второго порядка для р. Общая математическая теория должна исследовать течение, ставя и решая надлежащие краевые задачи для дифференциального уравнения (102.08). Мы произведем исследование с этой общей точки зрения в конце главы, в разделе Е. Но до сих пор реальные результаты получались главным образом при изучении частных видов течения. Поэтому основной предмет этой главы составляет нахождение частных решений; этн решения полезны, так как их можно приспособить к сравнительно простым граничным условиям.
а 103. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГОДОГРАФА 241 уравнения (102.03) и (102.06) преобразуются к двум линейным дифференциальным уравнениям: х. — у„=О, (с и )У +ип(х +у„)+(с — Оо) х„=О. (103.02) Из первого уравнения следует, что существует функция Ф= Ф (и, ю), определяемая соотношениями (103.03) Ф„=х, Ф, у.
При подстановке Ф во второе уравнение имеем (с' — из) Ф + 2ие Фио+ (с' — ОВ) Ф О. (103.04) Попутно заметим, что функция Ф(и, ю) получается из потенциала ио преобразованием Лежандра (см., например, [32), стр. 39) Ф=их+Оу — р, (103.05) и так как производные от О(х, у) равны и= р„, О=р~, это равенство можно записать еще и так: р= (ор дХ+~р Ыу=ХО +у~р — Ф. Стоит упомянуть также, что можно ввести функцию 1е (ри, рп), связанную преобразованием лежандра с функцией тока ф(х, у), %' (р и, р ю) = р иу — р Ох — ф (х, у).
(103.06) Соотношениям (о,= — рп, цо =ри отвечают обратные %',„=-у, %;,= — х. (103.07) Уравнение (103.04) является линейным дифференциальным уравнением для Ф(и, о), поэтому если найдено несколько его решений, то множество других решений получается путем сложения. Каждое решение, определенное в некоторой области плоскости (и, ю), отвечает течению, в котором и и в заданы как функции х и у, если не равен нулю якобиан у = Ф „Ф, — Ф'„, = х„у, — х,у„, (103.08) и х и у могут быть поэтому введены как новые переменные по (103.03). Уравнение (103.04) эллиптическое для дозвукового течения и гиперболическое для сверхзвукового течения.
Якобнан 7 для дозвукового течения не обращается в нуль никогда, если только не равны нулю все производные Ф„„ =- О, 16 Р. Коооот и К. Фоиооиоо 242 Гл ж изэнтРОпическое БезВихРеВОе плОскОЯ течение Фи„=О, Ф =О. Ибо по (103.04) мы имеем (с' — ит) Ф, + 2ио Ф Ф + (си — и') Ф' = — (си ит)(Ф Ф Фи 1 ии ии их~ и потому, что и' + и' = д' ( Б', левая сторона является здесь положительно определенной квадратичной формой в Ф„ и Фии.
Подобным же образом доказывается, что для дозвукового течения не равен нулю якобиан ~. Поэтому задача о дозвуковом течении по существу равносильна решению дифференциального уравнения (103.04). Выгода, достигаемая при этом за счет линейности, возмещается усложнением граничных условий; границы в плоскости (и, э), отвечающие заданным стенкам в плоскости (х, у), сами зависят от решения задачи. С другой стороны, задача о сверхзвуковом течении не вполне эквивалентна решению уравнения (103.04), потому что якобианы / и й могут менять знаки, как мы это видели в 5 30 и снова покажем в 5 105.
Как мы разъяснили в $ 30, годограф течения не прост, если у меняет знак; в этом случае картина течения в плоскости (и, и) перекрывает некоторые области течения два нли три раза. Если / меняет знак, то функции х (и, и), у (и, и) не представляют течения во всей плоскости (х, у), потому что изображение в плоскости (х, у) обладает складкой, покрывающей некоторые части два или три раза.
Край такой складки называется „предельной линией". Эти особенности мы обсудим более подробно в $ 105. Несмотря на возможность таких особенностей, методом годографа можно изучить много специальных важных видов течения, дозвуковых и сверхзвуковых. Для этого удобно пользоваться как потенциалом О, так и функцией тока р вместе с функциями Ф и %'. Рассматриваемые как функции и и э, они удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям, получающимся из равенств и х+ри х ' ри + ри 1 'р„и„+ф,ю = — рп, р„и + р,п =ри вместе с (102.03) и (102.06) путем исключения и, и, з, и В результате получается линейная система р(п р„— и,,)+(и~~„+ и Ь,) =О, (103.09) рги(иО +Пр )+(Пи — Ст)(ПЭ вЂ” и~~ )=О.
Если ввести в плоскости (и, тт) полярные координаты д, З по формулам и =- и соз й, о = ~у з 1п ч, (103.10) Б 103. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГОЯОГРАФА то уравнения (103.09) получат вид Р70= 770~ ~7~0 (01 ) 1'0' (!03.!!) откуда путем исключения могут быть найдены уравнения для р и ф. Отметим, что связанные с 7 и ~р преобразованием Лежандра функции Ф, %" удовлетворяют сходной системе — 17%' = Ф (1 — Гр0/гр), 1 — Ч", = — дФ, (103.12) которую легко вывести из (103.03), (103.07), (103.10) и соот- ношения 01 (Р 7) = (1 — —,) р 0(7, (103.13) которое непосредственно следует из (102.05). Связь между величинами О и Ф, выраженная по (103.05), принимает по (103.03) вид ' 1Г=17Ф вЂ” Ф, О =дФ (103.14) которые следуют из (!03.11), (!03.14) и (103.15) н определяют функцию течения ф, если найдено решение Ф.
Для дальнейшего отметим, что якобр!ан з', даваемый (103.08), принимает в полярных координатах вид 17 1!'Ррд (17 70 + 7ев) (700 17 70) ~ > (103 18) что легко проверить. 160 Уравнение (103.04) преобразуется к виду сЗФ вЂ” (17' — ГВ)) 17 'Ф +17 ~Ф ) =О, (103.15) что может быть получено и путем исключения 1Р из (103.12). Связь между величинами ф и %', выраженная по (103.06), принимает по (103.07) и (103.13) вид 10 — ! '11 = Р 17 1А'Рр — Ф = (! — 00) 17 %'0 — %'. (103.16) Часто более удобно применять соотношения 17 ')1 = р (17 Ф вЂ” Ф), — р(7Ф +Ф ) (103.17) 244 Гл 1у.
иззнтРОпическОБ БезнихРевОе плОскОе течение ф 104. Частные виды течения, получаемые методом годографа Рассмотрим теперь частные виды течения: 1. Простое решение уравнения (103.15) есть Ф =яй=яагсфо/и, По (103.03) мы имеем х= — кщ ', у=вшу ', так что д =угг, и= улуг, о= — Фхг Эти соотношения представляют круговое течение (циркуляцию) с угловой скоростью угг ~. Соответствующая функция тока находится по (103.17) = — й ~р у-'ду. 2. Другое простое течение находится по у=ув, так как в атом случае может быть определена функция о = р ®, удовлетворяющая уравнению (103.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
