Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Об этом будет сказано более подробно в $116. Опишем здесь геометрическое построение для политропического газа. Проводим полную эпнцнклоидальную дугу Рис. 122 Построение простой волны разрежении длн обтекания изогнутой стенки, через точку (и„оа) =(!1е, О) в плоскости (и, о), отвечающую. заданному начальному состоянию. Точка А„расположенная на расстоянии да от О, отмечает начало А изгиба.
Угол в точке О, стягиваемый дугой эпнцнклоиды 5А„есть йе = ы . Каждой точке Р на изгибе К соответствует точка Р, на Г, лежащая на пересечении прямой ОР„параллельной касательной к К в Р, т. е. направлению стенки, с линией Г . Тогда прямая линия Маха С+, проходящая через Р, будет перпендикулярна к направлению Г в Р„т. е. параллельна к линии ТР„где 1" есть точка касания катящейся и неподвижной окружностей. 266 Гл.ж. изэнтРОпическое везвихРевое плОскОе течение Скорость с) вдоль С параллельна линии ОР„н ее величина дается длиной ОР,. Если каждой точке Р на изгибе отвечает изображение Р, иа Г, то дуга А,В, линии Г представляет неполную простую С, Рис.
133. Неполная центрнрованная простая волна (воздух, 1 = 1,4). волну, из которой течение идет после В параллельно прямой <1енке со скоростью, равной длине отрезка ОВ,. Если, однако, изгиб слишком велик, т. е. если конец В, л .дуги Г, где Г касается предельной окружности д=д, отвечает Рис. )с4. Полная центрнрованная простая волна (воздух, т = 1,4). -точке изгиба между А и В, то простая волна заканчивается иа линии Маха С+, проходяшей через В, которая в этом случае касается изгиба в В; после этой линии Маха следует кавитация (см. $ 109), и течение в зоне волны П асимптотически .принимает направление предельной линии Маха.
э И2. ВОлны сжАтия 267 и о в Применяя безразмерные величины —, —, —, и, можно С ~ С 1 С э 1 выполнить наше построение при помощи одной дуги эпнциклоиды Г, зависящей только от и. Графически выполнение этого построения (например, прн помощи дуги Г, начерченной на прозрачной бумаге) совершенно очевидно. ВВсе предшествующее рассмотрение относится к изгибу К, имеющему непрерывно поворачивающуюся касательную.
Но все результаты можно перенести и на тот идеализированный случай, когда постепенный изгиб заменяется углом (рнс. 123). Тогда течение идет вдоль стенки до К, а в К внезапно поворачивает в новом направлении. Поворот, разрывный в самой точке К, в течении сглаживается в непрерывный поворот, происходящий плавно; его производит центрированная простая волна через которую проходит семейство характеристик С~, выходящих из общего центра К. Предыдущий анализ остается в силе, за исключением того, что угол, покззывающий направление течения вдоль изгиба, теряет смысл. На рис.
124 показана полная центрированная простая волна, в которую входит постоянный поток в направлении оси х через звуковую линию Маха, проходящую в направлении у, где эв = ы, =О. На этом же рисунке показаны линии тока, прямые характеристики С+, выходящие из центра, и криволинейные характеристики С .
Полная простая волна граничит с двух сторон с постоянными состояниями: одним — звукового течения н другим — кавитации. На рис. 123 показана неполная простая волна, граничащая с двумя постоянными течениями. Неполная волна отвечает сектору, начерченному жирными линиями, который вырезан из полной волны; состояния по обе стороны неполной волны— постоянные. В областях постоянного течения прямые линии Махи С+ параллельны, а продолженные поперечные линии Маха С являются параллельными прямыми, выходящими из области простой волны; те и другие пересекают линии тока под постоянным углом Маха. й 112. Волны сжатия. Течение в вогнутом углу и около выступа Простая волна, рассмотренная в предыдущем разделе, была волной разрежения вокруг изгиба стенки, направленного выпуклостью наружу. Но возможны и волны сжатия, тоже вокруг выпуклого угла или изгиба стенки, как это сразу видно, если, например, рассмотреть течение, получающееся при обращении волны разрежения (рис. 125).
В предыдущих разделах мы выбрали те решения дифференциальных уравнений, 268 ГЛ Щ. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ которые дают волны разрежения вокруг К, и рассматривали ту ветвь эпициклоиды, исходящую из точки А, в плоскости (и, о), которая дает ббльшие значения да= из+от и поэтому меньшие значения р н р.
Но для заданного изгиба или угла мы Рис. 125. Простая волна разрежения (верх) и простая волна сжатия (середина), которые могут повернуть течение, имеющее ско- рость Ча вокруг изгиба стенки К могли с таким же успехом выбрать Г+-ветвь эпициклоиды, проходящую через точку в плоскости (п„оа) годографа, что отвечает уменьшению скорости д при уменьшении угла течения 0, а поэтому и возрастанию давления и плотности. Все наши рассуждения и формулы остаются существенно теми же при выборе дуги характеристики Г„, представляющей сжатие. а нз. ВОлны сжАтия зб9 Для волн сжатия характеристики С, вдоль которых остаются постоянными и„ о, р, с, р, являются линиями Маха, наклоненными не по течению, но против течения, как показано на рис. 125 (центр). Что произойдет в действительности при обтекании угла или изгиба стенки †возникн волна сжатия нли волна разрежения, — зависит, как будет объяснено в следующем разделе, от условий на других частях границы.
До сих пор мы предполагали, что течение поворачивает вокруг выпуклого изгиба. Тем же способом можно рассмотреть случай, когда течение поворачивает в вогпу- Сл с,' толг изгибе. В „нормальном" случае, когда пря- ГО1 мые линии Маха, исходящие из стенки, наклонены по течению„мы имеем волну сжатия; в „исключительном" случае, когда прямые линии Маха, вы- с' ходящие из стенки, на- ел клонены против течения, получается волна разрежения. Такая исключи— т //г тельная волна разрежения расс иатривается как обращение некоторого „нормального" течения. От- Рис. 1ле. пРостая волна сжатия (верх) и простая волиа разрежения (ииз), кото- метим, что в обоих слу рые поворачивают течение в вогнутом чаях прямые линии Маха изгибе.
в конце концов образуют огибающую, так что течение может описываться простой волной только в окрестности стенки, тем меньшей, чем больше кривизна изгиба. Позтому в предельном случае острого угла вта окрестность стягивается в самую вершину; и в любой, самой малой окрестности угла непрерывное течение невозможно. В общем случае появление огибающей илн пересечение хаг рактеристик показывает, что на некотором расстоянии от угла должен возникнуть разрыв. Мы рассмотрим течении в вогнутых углах или изгибах стенок в следующей части с помощью теории ударных волн.
Весьма интересно течение около волнистой стенки, или вдоль стенки, прямой всюду, кроме одного „выступа". В нормальном случае, как мы покажем в следующем параграфе, прямые линии Маха, исходящие нз начала выступа, наклонены 270 гл.ж. изэнтпопИЧБСКое БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТечениЕ вниз по течению. Если выступ имеет вид, показанный на рис. 12?, то получающаяся простая волна есть сначала волна сжатия, потом волна разрежения и, наконец, опять волна сжатия.
Конечная скорость течения совпадает с начальной. й 113. Сверхзвуковое течение в двумерном канале Причины, по которым течение вокруг или внутри изгиба является при нормальных обстоятельствах простой волной, у которой прямые линии Маха наклонены вниз по течению (если смотреть от изгиба) становятся ясными, если рассматривать такое течение, как предельный случай течения в канале, одна стенка которого отодвинута в бесконечность. Рассмотрим Рис. 127. Течение в простой волне около выступа прямой стенки. двумерный канал, ограниченный двумя стенками, начинающимися в виде прямых и параллельных линий, между которыми пРоходит постоЯнный свеРхзвУковой поток со скоРостью с)я. Когда поток проходит мимо точек Р+ и Р на стенках, где начинается изгиб, он отклоняется от прямого направления.
Чтобы определить, где каждая частица газа меняет свою скорость, надо начертить линии Маха, исходящие из точек РР и Р, наклоненные по течению, т. е. С+-линию из точки Р+ на правой стенке и С -линию из точки Р на левой стенке. Каждая частица движется со скоростью с)„пока не встретит одну из этих двух линий „перехода"; это следует из единственности решения гиперболических дифференциальных уравнений (см. Э 24). После маховской линии перехода течение является простой волной по основной теореме гл.
П, $ 24. Поэтому должен возникнуть вполне определенный тип волны. Пусть теперь одна из стенок удаляется в бесконечность, тогда линия Маха на остающейся стенке будет наклонена по течению. Это и происходит при обычных условиях. Покажем ниже, при каких особых обстоятельствах прямые линии Маха наклонены против течения. 5 НЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
