Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Угол между этим последним направлением и положительным направлением оси и есть в то же самое время угол между прямой линией Маха и положительной осью о (рис. 115). Семейство прямых характеристик может быть задано в виде х = а (а) — г з1п ю (о), у = Ь (а) + т соз е1 (о) (109.01) с произвольными функциями а(о), Ь(а) и (а) от параметра о. Здесь г есть абсцисса вдоль прямой линии о = сопз1, и ю согласно 5 108 есть угол меж- Р"'.
По Трп пр""и' л"ппп Маха ду прямой характеристикой С , одна линия тока и одна попе- и положительным направлеречная характеристика С а пептрп- нием оси у. Значения и и и роваппой простой волне, отвечаюптей отрезку Г -характеристики. на каждой из этих линий определяются соотношениями, представляющими Г-характеристику, отвечающую простой волне, в частности для политропических газов соотношениями (108.12). Тогда значения 1 и, следовательно, с, р и р на этих линиях находятся по уравнению Бернулли (102.01). То, что течение, построенное таким образом, действительно удовлетворяет дифференциальным уравнениям (102.03) и (102.06), следует из общей теории гл. 11, й 29, но может быть, конечно, проверено и непосредственно. Если все прямые характеристики проходят через одну точку, называемую центром (т. е.
если а (о) и Ь (о) постоянны), то волна называется центрированной простой полной (рнс. 116). Если пересекать простую волну, монотонно изменяя параметр о, то изображение точки в плоскости (и, о) не должно монотонно пробегать соответствующий отрезок Г-характеристики. Более того, изобра>кение точки может коснуться звуковой окружности д = с„и перейти с Г -ветви на Г -ветвь, и наоборот.
В таких переходах С+ и С меняются ролями, как прямые линии Маха. 6 109. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 259 В дальнейшем мы рассматриваем простые волны, для которых соответствующий отрезок Г-характеристики проходится Рис. 117. Три прямые линии Маха С+ (О, 1, 2) в простой волне, отвечающие участку (Π— 1 — 2) Г -характеристики. ф С, Рис. 11й.
Простая волна, переводящая одно сверхзвуковое течение в другое через звуковую линию. монотонно, нли угол ю прямых линий Маха с осью у монотонно изменяется с о. Здесь параметр о можно отождествить с углом ю. Если скорость частицы газа 7 увеличивается при прохождении простой волны и, следовательно, давление р, а также с и р уменьшаются, то волна называется волной )уасщи- 17* таа ГЛ. РЛ ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕБОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ рения или разрежения; если скорость уменьшается, то волна называется волной сжатия. Рассмотрим отрезки простых волн, ограниченные двумя прямыми линиями Маха и простирающиеся неограниченно в одном Рис.
119. Волна сжатия. направлении. Такие отрезки содержатся в качестве составных частей в более общих видах течения. На рис. 11? представлена волна разрежения, отвечающая отрезку Г -характеристики; волна, показанная на рис. 118, Риг. 190. Полная простая волна, покрмтап С+-ли- ниими Маха, отвечающими полной Г-дуге. превращается из волны сжатия в волну разрежения и отвечает отрезкам кривых Г+ и Г . Течение на рис. 119 есть волна сжатия, отвечающая отрезку Г -характеристики. Во всех зтнх случаях угол ю убывает в направлении течения. На рис. !20 показана полная простая волна, отвечающая всей дуге Г В по. Фокмклы лля линии токи н попсгсчных линия млхх 26! В полной простой волне течение на одном конце †звуковое, а направление течения перпендикулярно к линии Маха С .
л На другом конце скорость д — предельная, а давление, плотность и скорость звука равны нулю„граничащая с этим концом зона есть поэтому зона кавитаиии. Так как иа этом конце угол Маха равен нулю, то каждая из линий Маха С+ и С стремится к линии тока. Приближение к кавитаяии в Г -волне происходит в пок лнтропическом газе, когда а — м приближается к — —, по- 2!к ' тому что тогда угол Маха А согласно равенству (108.14) обращается в нуль. Угол Ь для направления течения, даваемый для Г -волны равенством В =м+ А' [см.
(108.02)[, меняется от л значения 0в =ма до З=м~ — — + —. Поэтому полное из2н 2 менение угла равно Π— В,=- ~' 1) (109.02) ! л Так как и ( —, то мы имеем [ ч' — йв [ — ° Значения 2 2 ( — ) ! Х к — — !) — для равных т даются в табл. И, ф (16.
Р ф 110. Формулы для линий тока и поперечных линий Маха в простой волне а вдоль поперечной линии Маха в Г+- илн Г - волне согласно (106.11) имеем — х=1д(!! + А). (110.02) «х Уравнение каждой линии тока нли поперечной линии Маха можно найти в том случае, когда задана одна из линий тока или одна из поперечных 'линий Маха соответственно. Мы воспользуемся представлением (109.01) и положим, что х=а(в), у = Ь(в) задает начальную линию тока или поперечную линию Маха; тогда параметр г будет измерять расстояние точки от этой начальной кривой вдоль прямой линии Маха, проходящей через точку.
Вдоль линии тока мы имеем по определению 6 — =!йе, ву Их 2ба ГЛ. ПС ИЗЗНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ Распределение «« и А вдоль начальной кривой х= а(О), у= Ь(О) мы выбираем так, чтобы выполнялось соотношение (110.01) или (110.02). Удобно пользоваться углом а, определенным соотношениями (108.02), и рассматривать А как заданную функцию а, которая для политропического газа дается равенством (108.14). Предположим, что а=в(О) дано на начальной кривой. Тогда (110.01) и (110Я2) могут быть записаны в виде соз (а+УгА) х, + В!п (в+ЙА)у, = О, (110.03) где й= + 1 для линии тока и Ф = + 2 для поперечной линии Маха, причем верхний знак относится к Г+-волне, а нижний — к Г -волне. Подставим в равенство (110.03) выражения Х =а — Гв СОВв — Г В!Па, а а а а (110.04) у,=Ь,— Гв,з«на+Г,СОЗв которые получаются из (109.01) путем дифференцирования. Замечая, что функции х=а(В), у=Ь(В), представляющие начальную кривую, удовлетворяют равенствам (110.03), мы получаем г,=ге!8./гА.
в, (110.05) и, интегрируя; получаем в«а) г=г,ехр ) с!яяАЫв (110.08) вО с произвольными значениями г, и а,. Отметим, что А есть известная функция в, а в(В) задается. Для политропических газов согласно (108.14) получаем + С1яА =«а '!д«а(в — аВ), (110.07) + с!я2А =+ — (с1яА — 1пА)= 2 — — — «а С!д аа (а — в )~ . «Пни!в — а! 2" э Позтому из (!10.06) можно получить уравнение линий тока г=йсоз Р «(в — вВ) (110.08) з Р з (11009) Г=ЙСОБ р(а — в )З!П з «а(в — в ), Б иь течение ВОкРуГ изГББА или уГлА 263 т. е.
уравнение поперечных линий Маха, с соответствующей постоянной Й. Из равенств (110.08) и (1!0.09) можно сделать интересный вывод, а именно, что прн стремлении к кавитации, ы — ю„— —, как расстояние между линиями тока, так и рас- 2Р ' стояния между поперечными линиями Маха неограниченно возрастают. Для линий тока в центрированной простой волне„ где а = =6=0, соотношения (110.05) допускают простое физическое истолкование. Мы отождествим параметр О вдоль линии тока с временем 1. Тогда г= Г есть радиальная скорость и ы,= а— угловая скорость. Сравнивая (1!0.04) с (108.06), имеем Г=д, Гы= — С в согласии со смыслом 8 и с — составляющих скорости в направлении прямой линии Маха в перпендикулярном направлении. й 111.
Течение вокруг изгиба или угла. Построение простых волн Одним из важнейших простых течений, которые могут быть представлены простой волной, является сверхзвуковое течение вокруг изогнутой стенки или острого угла. Предположим (см. рнс. 121), что течение приходит с постоянной скоростью д, вдоль стенки, которая прямолинейна до точки А, затем плавно изгибается вдоль отрезка К и продолжается прямолинейно после точки В. Предположим далее, что в области, примыкающей к прямому участку стенки до А все величины в течении постоянны. Тогда возникает вопрос: как течение огибает угол? Или как течение продолжается вдоль изгиба К и вдоль прямой стенки после В? Если приходящее течение дозвуковое, то течение в задаче— потенциальное и управляется эллиптическим дифференциальным уравнением, решение которого в каждой точке зависит от граничных условий, даже в отдаленных точках границы.
Но мы занимаемся случаем сверхзвукового течения, Тогда решение гораздо проще. Оно может быть получено соединением решений в трех областях, где оно имеет существенно различный аналитический характер. Имеются зона 1 постоянных значений в приходящем течении, простая волна, следуя которой в зоне П течение поворачивает, и, наконец, зона Ш тоже с постоянным течением, которое может быть или параллельно прямой стенке после В (если в простой волне осуществляется полный поворот, предписываемый стенкой), или может быть 264 гл.щ. изэнтРОпичсскОе БезвихРевое плОскОе течение з1п Ао — —— со то (111.01) с направлением приходящего течения, т. е. с прямой частью стенки. Этот угол 'А, известен, потому что задана скорость звука со в состоянии 1.
Течение начинает изменяться на одной Рис. 121. Обтекание изгиба, происходящее в простой возне разрежения. из двух возможных линий Маха, из которых одна наклонена вверх, а другая — вниз по течению. Сначала рассмотрим первую возможность, когда переход происходит по линии Маха С А Тогда прямые линии Маха суть С+-линии, и простая волна, прилегающая к постоянному течению, отвечает отрезку Г волны, если, как это показано на рнс.
122, угол 6 в направлении течения уменьшается. Прн этом скорость течения, очевидно, возрастает (см. рис. 122), а волна является волной разрежения. Чтобы построить простую волну, мы должны только использовать то обстоятельство, что изогнутая часть стенки есть линия тока и в каждой точке Р на изгибе направление стенки совпадает с направлением течения. Известная скорость течения (ио, чо) на маховской линии перехода С+ представляетси точ- А кой в плоскости (и, ю), через которую проходит Г - характеристика, отвечающая простой волне.
Вдоль этой Г - характеристики и, и, д суть известные функции 6, следовательно, известны и с, А, р н р на ней. Для политропических газов угол зоной кавнтацин (если течение привело к расширению до нулевой плотности прежде, чем осуществился поворот). Построим решение во всех подробностях. Во-первых, зона 1 постоянного течения оканчивается на линии Маха, являющейся характеристикой С' нлн С", образующей угол А, определенный по З !Н. ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ИЗГИБА ИЛИ УГЛА 265. е! как функцию З можно определить, обратив формулы (108,02), в которых А есть заданная функция ы по (108.14), если задано ы,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
