Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(99.04) а е=ео, и= — р(ео) для Р> —. ео (99.08) Если, однако, е, > е„, то деформация испытывает скачок от Пусть теперь стержень расположен вдоль положительной оси х > О, и удар сообщает концевому сечению х=О скорость и, < О. Тогда центрированная простая волна побежит вперед. В ней и+у(е) постоянно, и так как и=О, у(е) =О, при К= 0 х > О, мы имеем по всей волне и+ р (е) = О. (99.05) В частности, деформация, произведенная ударом в концевом сечении, такова, что ио = — 9 (ео) (99.06) Величина р(е) называется скоростью удара, так как — р(е) есть та скорость и„которую надо сообщить концу стержня, чтобы произвести в нем деформацию е. Влияние удара распространяется со скоростью смещения я„ откуда мы имеем е е=О, и=О для 0 < о < —.
(99.07) ео Если е, < е, то деформация испытывает скачок от е =0 до а е = ео в момент г = — (у частицы с начальным положением а), ео тогда как скорость меняется скачкообразно от и = 0 до и= — ~(.) После этого состояние больше не изменяется: 234 Гл. ш. Олномзгное течение а в=О до в=в в момент г= —, а скорость — от и=О до Ф Ко и = — ~ (г ). После этого проходит центрированная простая волна разрежения, которую можно описать в параметрическом представлении так: и= — 1(г), —,=К(г) для г < г <г,. (99.09) Следовательно, для каждого момента в интервале а в < ~<--- в('„) е(;) однозначно определены значения г и и, потому что д(г) уменьшается прн возрастании г по предположению (97.08).
После того как достигнута деформация, полученная при ударе, гь = — в (и,), состояние не изменяется: ~ е(,) (99.10) Движение, конечно, можно описать, задавая его и для фиксированного момента времени 1 1г Такому описанию отвечает рис. 89. Особенно интересен разрыв в голове волны. Мы не дали ему имени „ударная волна", так как он „звуковой" и движется с характеристической скоростью смещения. Его можно рассматривать как вырожденный участок простой волны, происходящий от того, что все характеристики а= я(г) 1 для 0 « г < е имеют одинаковый наклон и поэтому совпадают. Рассмотрим теперь начальный удар, сообщающий положительную скорость и, н поэтому деформацию сжатия г, < О. Этот случай соответствует поршню, внезапно вдвигаемому в трубку, наполненную газом.
В газе, как мы знаем, получается ударная волна. В упруго-пластическом материале сжатие распространяетсн в виде простой волны с разрывом в голове, т. е. так же, как распространяется и растяжение. Описание волны сжатия можно получить из описания волны растяжения, подставив — и вместо и в формулы (99.05— 99.10). Простая волна, выведенная из (99.09), такова, что значения г и и однозначно определены для каждого момента а а в промежутке времени — < 1 < ), это снова следует е(-',) кбь) ' из того, что п(ь) уменьшается, когда ь уменьшается от — г, до ь, по предположению (97.08).
В весьма общем случае начальный разрыв, как указывалось, распространяется в виде простой волны тогда и только 0 100. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ РАЗГРУЗКИ 235 тогда, когда характеристическая скорость смещения д впереди разрыва больше, чем скорость смещения в состоянии позади разрыва. Для рассматриваемого материала мы видели, что в случае растягнвающего и сжимающего ударов это соотношение между скоростями смещения имеет место, потому что д(0) уменьшается, когда [0[ увеличивается, начиная с 0„ В газе, однако, д'(0) увеличивается при уменьшении 0(рис. 104), поэтому внезапно приложенное сжатие распространяется в газе, как ударная волна. Надо упомянуть, что существуют материалы, для которых предположение (97.07) не выполняется и при достаточно больших деформациях Г1д1Г(0 меняет знак, Тогда, если удар достаточно силен, смещение распространяется в виде простой волны, за которой следует ударная волна; состояние перед ударной волной определяется так, что характеристическая скорость его смещения совпадает со скоростью перемещения ударной волны.
й 100. Ударные волны разгрузки Есть еще один интересный случай распространения ударных волн в упруго-пластическом веществе. До сих пор мы предполагали, что скорость, сообщенная одному концу, поддерживается неопределенно долго благодаря сохранению деформации и надлежащего напряжения 0=0(00). Важно, конечно, выяснить, что произойдет, если это напряжение будет внезапно снято. Влияние этого нового разрыва, конечно, не может распространяться в виде простой волны, потому что характеристическая скорость смещения меньше до разгрузки, чем после нее. Поэтому надо ожидать, что влияние разгрузки будет распространяться в виде ударной волны.
Ударная волна будет иметь особенно простой внд нз-за явления гистерезиса1 если пластический материал разгружен из напряженного состояния, он не будет после разгрузки подчиняться тому же соотношению между напряжением и деформацией, какое имело место до момента приложения нагрузки. Опыт показывает, что при разгрузке напряжение линейно зависит от деформации н что 110/а'В=Е, как в упругом состоянии (рис.
106). Поэтому, когда напряжение возвращается к нулю, в веществе сохраняется „остаточная" деформапия. То же справедливо для перехода при ударной разгрузке. Пусть [О) и [0) — разности значений 0 и В впереди и позади ударного фронта. Тогда согласно сформулированному свойству разгрузки Г1 О/д 0 = Е [О[ = Е [0) . (100.01) гл. кк одномк нок течения Условия иа ударном разрыве в представлении Лагранжа были выведены в $62. Первые два из них можно записать так: [и] = — а [а], [о] = — р, а [и], (100.02) где а есть скорость смещения в разрыве, р,а — поток массы через единицу площади, проходящий через разрыв спереди назад.
Исключая [и], находим (100.03) [о] = алая [е]. Следовательно, а'=Евра или а=яа. Таким образом, скорость смещения а разрыва совпадает с характеристической ско- ростью смещения упругого состояо ння яа. Третье условие на разрыве, выражающее сохранение энергии, может быть применено для определения энергетического баланса; но сама ударная волна определена первыми е двумя условиями. В этом смысле „ударная волна разгрузки" по харак- Рис. 10о. График напряженке — деформация, показы- геру проще, чем ударные волны в гавакпцнй явление гнстере- вовой динамике. акса прнраагруаке Основное свойство газодинамиче- ских ударных волн состоит в том, что оии непрерывно изменяют условия в газе, увеличивая энтропию. Можно пытаться рассматривать изменения энтропии по аналогии с деформациями, остающимися после процесса разгрузки. Но эта аналогия не ведет особенно далеко. Изменения, остающиеся в упруго-пластическом материале, связаны с нелинейной фазой процесса; в отличие от газов, они происходят и при постепенной разгрузке.
Поэтому остаточную деформацию нельзя приписывать ударному переходу как таковому. й 101. Взаимодействия и отражения Ударная волна разгрузки может нагнать бегущую впереди простую волну, и тогда произойдет более сложный процесс взаимодействия. Благодаря простой природе ударной волны это взаимодействие можно рассмотреть подробно. Это было сделано, но мы воздержимся здесь от сообщения результатов, заметив только, что остающееся конечное изменение состояния материала может быть полностью определено. Волновое движение в упруго-пластическом материале изучалось еще и в другом направлении. Движение в стержне ко- 6 101.
ВЗАИМОДЕИСТВИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 231 печной длины можно рассматривать как последовательность отражений. Удобно ввести в качестве новых независимых переменных скорость и и скорость удара р = 1р (е). Тогда уравнения (98.02) н (98.04) преобразуются к линейным уравнениям ат = д1„, а„= 81„, (101.01) где л'может рассматриваться как функция р. Если фиксирован другой конец стержня, х=-1, то на нем скорость и=0, поэтому область в плоскости (и, р) есть заданная полоса ие(и(0, 0(р.
Рис. 107. Графическое представление движения' стержня клк последовлтельность отраженных волн в плоскости (и, т) и в плоскости (а, 1). Надо помнить, что в плоскости (и, р) изображение постоянного состояния есть точка, а изображение простой волны есть лнния. Изображение области взаимодействия между прнходящей н отраженной волнами есть треугольник.
Движение, отвечающее этому треугольнику, может быть определено приблнженным методом с помощью характеристик. Доказано, что прн последовательных отражениях деформация возрастает. Следовательно, характеристикн, которые в первой простой волне совпадают, образуя упругий фронт разрыва, будут, продолжаясь при отражении, попадать в нелинейную область н расходиться. Поэтому отраженная волна имеет непрерывный фронт. Характеристика, получающаяся при отражении нз одной линии с в = я,, показана пунктиром на рнс. 107. В заключение надо сделать еще одно замечание.
Характер соотношения между напряжениями и деформациями в действнтельности установлен не так хорошо, как для газов, и меняется от вещества к веществу. Можно сделать различные 2зе ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ приближенные допущения. В частности, соотношение О=О(е) можно выбрать так, чтобы сделать возможным явное интегрирование дифференциальных уравнений. Предположение, что ЬЕЕ, <ь+ 1 оказалось, например, очень подходящим для этой цели. В частности, при этом допущении задачу об отражении можно решить в явном виде и определить конечное состояние, к которому стремится материал при неограниченном возрастании времени. Глава Л" ИЗЗНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ й 102.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
