Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Аналогичная картина создается в том случае, когда вначале, при 1=-0, в канале существовало установившееся течение, а затем канал как-либо деформировали или ввели в него какие- либо препятствия (как в аэродинамической трубе). Эффект возмущений в конце концов распространится по всей трубе и создаст на отдаленных концах граничные условия, отличные от тех, которые там были раньше. Надо, однако, отметить, что достаточно слабые возмущения формы канала в тех местах, где начальное течение было сверхзвуковым, никогда не достигнут конца канала, расположенного выше по течению.
В этом случае надо удерживать для установившегося течения на этом конце исходные граничные условия. Чтобы получить надлежащие граничные условия, надо найти предельное течение в некоторой точке х, когда 1 стремится к бесконечности, и затем устремить ~ х ~ к бесконечности. Говоря математически, трудность в формулировке граничных условий связана с тем, что предельные переходы 1- ОО н ~х~-~-со в общем случае нельзя менять местами.
Особая природа граничных условий, свойственных установившемуся течению, состоит в том, что они зависят от природы решения: их внд меняется в зависимости о того, является лн решение везде дозвуковым или везде сверхзвуковым, или э 143. ФАкты и ОРедположения О кРАеВых услОВиях зез частично дозвуковым н частично сверхзвуковым, а также связан с тем, содержит ли решение ударные волны.
Разъясним различные возможности на простом примере канала, входное сечение которого состоит из двух параллельных стенок, направленных по оси х и имеющих ординаты у=О и у=6. Предположим, что выходное сечение тоже образовано двумя параллельныт4н стенками. Результаты наших рассуждений, очевидно, будут справедливы для случая обтекания препятствия, такого, как крыло, помещенного в канал, или препятствия в свободном потоке.
Можно характеризовать течение функцией тока, и предположить, что она принимает на стенках предписанные значения ф=-О и ф=ф,. Этим граничным условием больше не придется пользоваться. Предположим, кроме того, что при — ОО, т. е. на бесконечно удаленном конце входной части, течение имеет постоянную скорость и„постоянное давление р, и постоянную плотность р,. Тогда значение функции тока ф, на стенке есть фВ=р, ин Поэтому можно характеризовать течение „входным числом Маха" М,= — '. Рассмотрим сначала случай, когда постоянное течение всюду дозвуковое, чего можно ожидать при достаточно малом входном числе Маха.
Тогда дифференциальное уравнение функции тока эллиптическое. Для эллиптических дифференциальных уравнений следует во всех случаях задавать такие же условия, как н для уравнения потенциала. Если бы ф была гармонической функцией, она полностью задавалась бы тем условием, что она равна О и ф, на стенках н остается ограниченной на выходе и на входе. Итак, мы предполагаем, что те же условия определяют функцию тока для сжимаемой жидкости. Тогда распределение скоростей будет однородным по входному и выходному сечению на бесконечности.
Во многих других отношениях течение будет вести себя как потенциальное. Так как решения эллиптического дифференциального уравнения, днфферевцируемы достаточное число раз и являются аналитическими функциями, то течение в канале полностью определено, если оно задано в сколь угодно малой его части; в частности, оно не может иметь постоянную скорость на малом участке, если скорость непостоянна во всем поле течения.
Этот факт следует отметить, так как он несправедлив для сверхзвукового течения. Рассмотрим теперь противоположный крайний случай, когда течение во всем канале сверхзвуковое. Тогда дифференциальное уравнение имеет гиперболический тип. Ему аналогично не уравнение потенциала, а волновое уравнение, в котором времени соответствует расстояние вдоль оси канала.
Следовательно, мы предполагаем, что течение однозначно определено, если 344 ГЛ Рл ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ВЕЗВНХРЕВОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ на входное сечение наложены два начальных условия, а на выходное — ни одного. Так как течение там не предписано, то мы не можем ожидать в общем случае, что скорость будет равномерно распределена по сечению. Непрерывное чисто сверхзвуковое течение возникает, если стенки канала имеют надлежащую форму. Мы можем-создать даже такое положение, когда в выходном сечении получится постоянная повсюду скорость, применяя конструкцию, описанную в $113.
С другой стороны, мы знаем нз предыдущего рассмотрения, например в $ ! 17 и 123, что непрерывное сверхзвуковое течение не может существовать, если стенки канала сильно искривлены н принуждают к образованию ударных разрывов. Дазеукаеае течение Рис. Уеу. Область дозвукового течения, в которучо погружена область сверхзвукового течения. Пока- заны линии Маха в сверхзвуковой области. Прежде чем обратиться к случаю, когда возникают ударные волны, мы рассмотрим „смешанные" непрерывные течения, частью сверхзвуковые и частью дозвуковые.
Предположим сначала, что течение на входе дозвуковое. Тогда есть различные возможности смешанного течения. Пусть стенки канала плоские, кроме некоторого выдающегося в канал выступа на известном участке (рис. 189). Если входное число Маха не намного меньше единицы, то течение становится сверхзвуковым в области, прилегающей к выступу, и остается дозвуковым в выходном сечении. В этом случае мы предполагаем, что надо налагать те же условия, что и при чисто дозвуковом течении. Неизвестно, существуют ли решения при произвольной форме выступа и может ли малое изменение формы повести к сильному изменению течения; но есть веские основания для такой неустойчивости (см.
[95, 96]). Когда входное число Маха увеличивается, трудно сомневаться, что при данных граничных условиях непрерывное течение перестает существовать, как только входное число Маха достигает некоторого критического значения, меньшего единицы. В 143. ФАКТЫ И ПРЕРПОЛОВКЕИИЯ О КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ 345 Разовьются ли разрывы при возрастании входного числа МахаР На этот вопрос пока не ответили нн опыт, ни теория.
Было доказано (см. [97[), что ударные волны не начинаются, как в одномерном течении, в вершине начинающейся „предельной линии"; Гертлер [97[ также показал, что две конечные сверхзвуковые области в смешанном течении не могут слиться, когда входное число Маха увеличивается. Как образуется разрыв, в какой степени нужна вязкость для его объяснения, достаточно ли одной неустойчивости не- вязкого установившегося течения, чтобы объяснить происхождение ударной волны,— все эти важные вопросы остаются еще не решенными.
Возможно также, что смешанное течение в канале целиком переходит нз дозвукового в сверхзвуковое около выступа и потом остается сверхзвуковым. Такое течение получается в сопле на выхлопе (см. гл. Ч). Для такого смешанного течения, как для чисто дозвукового, нужно только одно граничное условие на входе, но на выходе, как и для сверхзвукового течения, не пригодно ни одно условие. Однако неизвестно, однозначно ли определено течение этими данными. Проблема единственности для такого смешанного течения рассматривалась Франклем [87 — 90[ с помощью методов Трикоми [86[. Франкль смог доказать единственность решения вне отверстия, если течение дозвуковое впереди отверстия н сверхзвуковое — позади него. Течения, являющиеся сверхзвуковыми во входной части канала и дозвуковыми в его выходной части в связи с его устройством, могут рассматриваться как обращения течений, переходящих нз дозвуковых в сверхзвуковые.
Непрерывные течения такого типа могут осуществляться только при специальном устройстве стенок канала (см. $ 113). Течения, обладающие только конечными дозвуковымн областями из-за выступающих наружу частей канала (расширений), повидимому, не рассматривались. До сих пор мы предполагали, что течение непрерывно. Но мы знаем, что это предположение в общем случае не оправдывается и что надо рассматривать течения, содержащие ударные волны. Весьма важно знать, при каких обстоятельствах установившееся течение, содержащее ударные волны, однозначно определено граничными условиями и условиями на входе, а когда нужны дополнительные условия на выходе. Ударный фронт а сверхзвуковом течении, входящем в канал, как следует нз предыдущего, начинается в углу огибающей линий Маха (см.
$ !!7). Ударные фронты, начинающиеся в таких углах, конечно, могут быть продолжены однозначным образом до встречи. Предположим, что онн встречаются под 346 гл гк. Нзэнтвопичвскок ввзвихяквоа таким углом, что возможно „правильное отражение" (см. $ 125 и 126). Тогда возможно однозначное продолжение и за точку пересечения до встречч с противоположными стенками.
Когда эта встреча происходит под таким углом, при котором возможно слабое правильное отражение, то продолжение снова определено, если считать, что осуществляются только слабые отражения. Поэтому течение может продолжаться однозначно, если всегда возможны правильные отражения и правильные пересечения (когда отражения и пересечения вообще должны быть) и если отражения заранее предполагаются слабыми. Это положение в каком-то смысле отвечает неустановившемуся одномерному течению, в котором единственным образом определено продолжение ударных фронтов во времени.
Если невозможно правильное отражение или пересечение, то возникает маховское отражение. Если мы допускаем маховское отражение или сильное правильное отражение, то положение с однозначной определенностью течения существенным образом изменяется. Важно то, что надо наложить новое условие на рис. 4уц з4аховская ВЫХОДНОМ КОНЦЕ. ударная конФигурация Рассмотрим, например, канал, у котов канале. рого входной участок, ограниченный сперва двумя параллельными стенками, внезапно суживается внутрь под некоторым углом, так что стенки на каком-то участке снова становятся прямолинейными, но не параллельными (рис.
199). Предположим, что эти углы так велики, что правильное пересечение ударных волн, исходящих от углов, Невозможно. Тогда имеет место стационарное маховское пересечение с криволинейными в общем случае фронтами, если только условие стационарной маховской конфигурации не будет удовлетворено с прямыми фронтами. Положение маховской волны не определено из условий задачи. Это лучше всего видно в случае, когда ударные линии прямые. Тогда очевидно, что точки разветвления конфигураций могут находиться на, в известных пределах, произвольном расстоянии от стенок в согласии с условиями на ударных волнах.
Можно даже представить себе, что маховский ударный фронт движется вверх по течению и начинается прямо на стенках, на изгибе или даже выдвигается еще выше. В этом случае конфигурация маховского отражения вырождается в простой плоский ударный фронт поперек канала. Тогда известно, что для того, чтобы найти положение ударного фронта, надо наложить определенное условие на выходе, например задать там давление. Е МЗ. ФАКТЫ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ О КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ 347 утис.191.
Сверхзвуковое течение в канале. отклоненное сильной ударной волной. Рис. 1РД Сверхзвуковое течение в канале, отклоненное слабой ударной волной и волной разрежения. ских отражений и маховских пересечений, и поэтому течение на выходе состоит из многих дозвуковых и сверхзвуковых участков. В действительном течении вязкость поведет к тому, что в достаточно удаленном сечении условия течения будут однородными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
