Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Если нас интересует только такая волна, приходящая из центра, то ока- зывается выгоднее применять вместо т) переменную для г>0, полагая к=-Л т по (160.03). Пусть голова такой расходящейся волны задана в виде [см. (159.02)] г = й И) = Б г" (160.09) (160.08) или с=в =Н (160.10) где Н и Н постоянные. Энергия, содержащаяся в такой волне в момент 1, есть по (159.03) е ~„„.т ц' ) [' и ~ ~явят — 1— Р~Е[Г ее<1тап) ( 2 т — 1 0 Илтпульс на единицу площади, передаваемый волной сфере на расстоянии Г, согласно (159.04) удобнее выразить через т): 7 = Г ~ Р(т) т) а'ть (160.12) ") для различных частных задач решение в указанном виде искалось разными авторами в разное время. Однако возможность сведения задач газовой динамики к решению обыкновенных дифференциальных уравнений была исследована в общем случае впервые Л.
И. Седовым. (См. прим. ред. на стр. ЗВ2.) (Прим. ред.) Э М!. ЧАСТНЫЕ ВИЛЫ ПРОХОЛЯШИХ ВОЛН ззт 9 161. Частные виды проходящих волн Рассмотрим упрощения, возникающие нз различных частных предположений. Если течение иззнтропичесное, р, Р " постоянно, то соотношения (160.01 — 160.02) требуют, чтобы « — л х =- 2 « — 1 (161.01) т~ ~Р(«1) 2 «(и) =сопз1. (161.02) (161.03) с = Р 'Р~ 1 -[- РВ т««, и = (1 — «АВ) т«. Предположим, что ударный фронт — расходящийся и задан уравнением г=тх(с) =Я~"= (с/1т)" с постоянным Б= П ".
Тогда очевидно, что соотношения (161.03) совместимы с (160.01), (160.02) и (159.02) только в том случае, если х=О, (161.04) т. е. если плотность остается постоянной вдоль линии 1= т«г, л или с=11", т«$ ' =сопз1 [см. (160.01 — 16003)[. Дли 25* Если, в частности, х = 1 = 1, х = О, то все величины и, с, р, Р постоянны вдоль лучей г/1 = сопзй Для расходящейся волны голова волны г=р.1 движется с постоянной скоростью Б, а р и р постоянны позади нее. Поэтому такое волновое движение совместимо с постоянным ударным фронтом впереди него.
В э 162 мы рассмотрим различные изэнтропические течения с « =1, х — О. Естественно спросить, при каких условиях ударный фронт впереди проходящей волны может двигаться так, что с = «с "= = — Б =сопз1 [см. (160.08)[. В этом случае из (160.01) следует, что отношение и«с постоянно на задней стороне ударного фронта. Это условие совместимо с условиями Рэнкина— Гюгонио (54.08 — 54.11) только, если сила ударного фронта остается постоянной.
Этот случай выполняется только при В = 1 и х = О. Но приближенно сильный ударный фронт совместим с проходящей волной при х = О. Обозначив через р, плотность впереди фронта, мы получим приблизительно верные соотношения, если положим давление впереди фронта равным нулю; тогда условия ударного перехода приводятся к виду [см. (69.02 — 69.04)[ Р= — Р Рм р = [1 — г.') й'ы, 388 гл. Те течение в тРех измеРениях состояния позади фронта мы получаем из (160.01) значения 11(Н)=(1 — Р), С(н)=„У'1+-Ра (161.05) о(11) = р- оа, Р(Н) =(1-Ра) ро Для сходящейся волны г=(х1Н)", Н (О, й(0 мы находим С= — р р'1+92, тОГда КаК с2', 82, Р тЕ жЕ, ЧтО И В (161.05).
Условие, что энергия, несомая волной, остается постоянной, приводит по (160.11) к условию (161.06) к = — 2Л вЂ” 5. Если, кроме того, волна имеет сильный ударный фронт впе- реди, так что к = О, то мы имеем (161.07) Л ъ/ н,э~ Движение ударного фронта задается так: г )т2 (2) Б И~а (161.08) Решение задачи для к = О, Л = 212 было впервые найдено и вычислено Дж. И Тэйлором а1 11881, 1190], пытавшимся описать взрывные волны, происходящие от взрыва в их центре. Очевидно, что энергия, несомая взрывными волнами, равна энергии, выделившейся при взрыве и поэтому остается постоянной.
Но против пользования тэйлоровским решением для описания взрывных волн выдвигались возражения. Во-первых, из (161.03), (161.05) и (161.08) видно, что давление в ударном фронте а Р = — (1 — 1") Рэ-" ~ ==11 — 12 ) Ран Й (161.09) 25 25 стремится к нулю при стремлении ь к бесконечности. Поэтому условие, что ударная волна — сильная, в конце концов нарушится. Далее, то весьма частное свойство тэйлоровской волны, что р1 ~ постоянно при гь' = сопз1, не согласуется с действительным распределением давления вблизи центра взрыва. Тем не менее кажется разумным предположить, что решение Тэйлора хорошо описывает взрывную волну на таких расстояниях ") Численные решения этой задачи давались и раньше различными авторами.
Точное решение в виде конечных формул впервые было дано Л. И. Седовым („ Распространение сильных взрывных волн", Прикладная математика и механика, Х. вып., 4, 1946.) (Прил. уед.,~ З !В!. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ПРОХОДЯЩИХ ВОЛН от центра, которые достаточно велики, чтобы детали процесса взрыва не влияли на форму волны и были в то же время достаточно малы, чтобы ударная волна еще оставалась сильной, Чтобы построить проходящую волну Тэйлора, надо сперва найти решение дифференциального уравнения (160.07) с 1. = '!„ В=О, при начальных значениях Ст=(1 — н'), С=и!1!71+р' для т1 =-- Н, как это дается (161.05). Затем надо продолжить решение в направлении возрастания .ч до тЯ = .
При т<:7 можно показать„ что У стремится к конечному значению, а С становится бесконечно большим, как степень т! с показателем р, большим, чем а. Следовательно, когда г стремится к нулю при фиксированном 8, с = Р" ' т1 "С приближается к бесконечности, а и = с" ' т~ У приближается к нулю. Поэтому в начале координат скорость газа равна нулю, а скорость звука и следовательно, температура, плотность и давление бесконечны. Одно из решений уравнения (160,07) во всяком случае может быть дано явно, именно „тривиальное" решение У= сопз1, С = сопз1. Эти две постоянные удовлетворяют уравнениям А (ЕУ, С) = В (1/, С) = О. (161.10) Интересно узнать, при каких условиях это решение совместимо с сильной ударной волной. Подставляя (161.05), в (161.10), мы находим после некоторых вычислений условие з ит= — или т=7 4 для В или т и 1,='/,.
Замечательно, что это условие для как раз отвечает постоянной энергии, а значение 7 для 7 является хорошим приближением для воды (см. э" 3). Итак, проходящие волны тэйлоровсного типа для воды могут быть даны в явном виде. Движение ударной волны впереди такой взрывной волны определяется следующим образом: ~гя с надлежащей постоянной Н; скорость вещества и скорость звука таковы: и= — 1 !г, с= — 1 !г, 0<г<нс~~~, ш ' 1о ГЛ.
ТЕ ТЕЧЕНИЕ Е ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ распределение давления находится из третьего уравнения (160.05), (160.08) и (161.05) Р= Рог е ~~~= Ро" г l", О <г 4~' ° 25 25 Это явное решение было получено Примаковым. й 162. Сферические квазипростые волны Рассмотрим теперь подробно, как и предполагалось ранее, сферическое течение, в котором скорость, скорость звука.
давление и плотность постоянны на лучах г/1 = сопз1. Эти волны будут тройными в терминологии $ 32. Мы предпочитаем называть их квазнпростыми, потому что они имеют много общего с простыми волнами. Они являются частным случаем проходящих волн, рассмотренных в $ 160, отвечая 1,=Я=1, х= О. Дифференциальные уравнения (161.05) сводятся к виду П аи,=((1 — 1У) — 3С ) С, О т1 С = ((1 — У)з — (; — 1) У(1 — С/) — Сч) С, (162.01) 1:1~Р,=2 ((1 — (~)Я вЂ” 1С (1 — и) — С)Р, где )Э = (1 — У)Я вЂ” С'.
(162.02) Напомним, что согласно (160.08) и (160.01 — 160.02) е = й =$ и что и=т1 'СУ(т1), с="4 'С(т1), Р=т~ Р(~~), Р= — Я(т1), (162.03) Решения этих дифференциальных уравнений можно найти, определив сначала С в зависимости от У из следующего дифференциального уравнения: лс 11 — и) — (Т вЂ” 11 и 0 — и) — с с (162.04) ли Π— и)- — зсз и и определив затем т1 и Р как функции еУ из двух остальных уравнений (162.01).
Поведение решений уравнения (162.04) можно изучить по векторному полю в плоскости (У, С), представляющему это уравнение. Это векторное поле, показанное на рис. 215, имеет особенности в различных точках )'.1„й, С„, С, А, В, как видно из чертежа. Область С>0 отвечает т~>>0, т. е. 1>0, тогда как С<0 отвечает т1(0, г(0. Стрелки на фигуре показывают направление возрастания т1, т.
е. возрастающего времени 8 при заданном значении г. Отметим, что это направление обращается при пересечении „крнти- % ма сФеРические кВАзипРОстые ВОлны ческих" линий Й = 0 нлн ) 1 — Еl « ~ С). Поэтому никакие интегральные кривые, пересекающие эти линии, не могут представлять действительное течение, так как время должно только возрастать. Такое течение привело бы к „предельной" поверхности, движущейся в пространстве. Рассмотрим сначала волновое движение, произведенное сферой, расширяющейся с постоянной скоростью Ц.
Скорость газа на поверхности расширяющейся сферы равна скорости самой поверхности, Ф= Ц, поэтому там и =Ф= 12 илн по (162.03) 0 =- 1. Предположим, что волне преашествует постоянный ударный фронт, движущийся с постоянной скоростью Я, значение которой надо определить. Скорость газа и скорость звука в таком ударном фронте обозначим соответственно и н се. Для перехода в ударном фронте имеем соотношения «Р (и — Я)'+(1 — и2) с' =- — „-. «и — Я) = — «Я'+!! — и )с„ (162.05) 2 вытекающие нз соотношения Прандтля, и величину с, выраженную через скорость фронта Я и скорость звука с, впереди фронта !См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
