Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Дальнейшее рассмотрение приводит к тому, что в точке 1У = О, С= 0 значение т1 проходит через нуль таким образом, что величины и = Ч 'УУ и с = В С принимают конечные значения. Мы отметим, что и во всей волне отрицательно, а с — положительно. В точке, где интегральная кривая встречает ударный эллипс, мы имеем 1 — УУ > С или е — и ) с; другими словами, течение относительно фронта здесь сверхзвуковое, как и должно быть впереди ударного фронта. Поэтому вещество проходит ударный фронт в должном направлении. Устремляя г к бесконечности и считая 1 постоянным, мы имеем и — О.
Поэтому величины и и с стремятся при г к тем значениям, которые они имеют при 1=0; другими словами, на бесконечности течение имеет конечную отрицательную скорость и конечную скорость звука. Естественно спросить, существуют ли квазипростые волны, которые начинаются со сходящейся ударной волны и кончаются расходящейся „отраженной" ударной волной. Состояние позади сходящейся ударной волны представляется в плоскости 1К С) точкой на нижней ветви ударного эллипса с С <-О, 0( УУ( (1 — и'. Интегральная кривая, проходящая через такую точку, продолженная в направлении возрастающих ть пересекает критическую линию 1 — ~У= — С.
'Ч См. прим. ред. Ва стр. 392. 165 ОТРАЖЕННЫЯ СФЕРНЧЕСКНИ УЛАРНЫН ФРОНТ 397 Следовательно, позади сходящейся ударной волны не может существовать такого течения, продолженного до а > О Поэтому течения с отраженным ударным фронтом не могут быть квазипростыми волнами такого типа. й 165. Отраженный сферический ударный фронт Прибавим несколько замечаний об отраженном ударном фронте, как его рассматривал Гудерлей [191[. Гудерлей предположил, что течение позади сходящегося фронта имеет тип проходящей волны (см.
$ 161), но что ведущий фронт впереди волны так силен, что можно принять соотношения (161.03) и (161.05) для состояния позади него; кроме того, он принял, что х = 0 согласно (161.04). Векторное поле в плоскости (У, С), отвечающее дифференциальному уравнению (160.07) для значений 1Ф1, сложнее, чем для ! =1 (см. рис. 215), но имеет много общего с ним. Есть несколько особых точек, где А =В=О [см. (160.06)]. Из соотношения 2(1 — Е/) — (т — 1)А= [2(1 — Сl) — 3("; — 1) С/[Р (к которому приходят, естественно, выводя выражения (160.06)), мы видим, что из равенства А = В = 0 следует, что либо 2(1 — а(/) — 3(7 — 1)аУ=О, либо Р= — О.
Особые точки на критической линии Р=О получаются, если положить С'=(1 — У)' в уравнении А =О. Имеются пять, три или одна особая точка, смотря по тому, имеет ли квадратное уравнение (1 — сс У) У вЂ” [За (У вЂ” 7 ' (2 — 2а — хх)] (1 — 17) = 0 два действительных корня, один или ни одного. Эти особые точки — типа седла, и оказывается, что через каждую нз них проходит только одна такая интегральная кривая, у которой знак б ч не обращается при переходе через критическую линию Р = О. Поэтому эти точки дают возможность для перехода из сверхзвукового течения в дозвуковое. Гудерлей нашел, что интегральная кривая, начинающаяся в точке У=(1 — ре), С= — ! 'г' 1+ н', которая отвечает состоянию позади бесконечно сильной ударной волны [см.
(161.05)), как раз проходит через одну из этих особых точек, если а имеет значение а=0,717 (я=0,834 для цилиндрического течения). При этом кривая проходит через точку Р= С=О, идя от точек, отвечающих 1 с О, к точкам, где 1 > О. Тогда нетрудно ввести в результирующее течение расширяющийся отраженный ударный фронт таким образом, что позади этого фронта газ в центре будет гл. ге течения в тгех изменениях 398 в покое, а вне центра будет постепенно приходить в состояние покоя при бесконечном возрастании времени. То обстоятельство, что е = 0,717 меньше единицы, приводит к бесконечному значению скорости в тот момент, когда сходящийся ударный фронт достигает центра.
Отраженный фронт тоже выходит из центра с бесконечной скоростью, но постепенно делается слабее. Один из важных результатов Гудерлея состоит в том, что давление позади отраженного фронта в 26 раз больше, чем позади падающего фронта, тогда как для цилиндрической волны это отношение равно 17, а для плоской волны — 8 (см. гл.
П1, ф 70). Является ли эта картина течения случайной возможностью, или типична в том смысле, что каждый процесс отражения ударной волны приводит к течению, аналогичным образом ведущему себя вблизи центра? В настоящее время мы не можем с определенностью ответить на этот вопрос. 5 166. Заключительные замечания Рассмотренная глава показывает, что теория нелинейного волнового движения носит предварительный характер. Все, чего мы достигли,— это построение частных решений, приспособленных к отдельным случаям, но мыдалекиоттеории, которая определяла бы течение однозначно при заданных начальных и граничных условиях.
Тем не менее обнадеживающим является то обстоятельство, что для некоторых видов течения, результаты, полученные математическим путем, хорошо согласуются с физическими явлениями. Однако можно предполагать, что в некоторых случаях существуют другие решения, которые также могут хорошо представлять наблюдаемые факты.
Доверие инженера и физика к результату математического анализа должно непременно опираться на доказательство того, что полученное решение в единственное при исходных данных задачи. Надо затратить еще много труда, чтобы довести излагавшуюся в этой книге теорию до такого состояния, когда она сможет удовлетворить как всем нуждам практики, так и основным требованиям теоретической физики.
БИБЛИОГРАФИЯ Исчерпывающую библнографию по вопросу а течении сжимаемых жидкостей можно найти в следующих источниках: 1. М 1 с Ь е 1 1.. К., В!Ы1ойгарЬу оп Поте о1 сотргеяз!Ые Пшйж Рераг1гпеп1 о1 Месйашса! Епй)пееппя, МазьасЬпьепз 1пьШп1е о1 Тесйпо1ояу, 2пй ей., СатЬг!ййе, Мазь., !946. 2. 3нпппаг!еь о1 1оге!Нп апй йотезг!с герогН оп сотргезз!Ые Почч.
Неайопаг1егь А!г Ма1ег!е! Сопппапй, %г16Ы Р!е!й, Рау1оп, ОЫо, 1947. Подробную библиографию можно также найти в трех лекциях Кармана, упомянутых ниже. Поэтому мы можем ограничиться только некоторыми необходимыми сносками. Общие курсы газовой динамики: 3. В и я е пз а п п А., Оазйупав!й.
НапйЬпсЬ йег Ехрег!веп1а1рйуз!Ь, Вй. 1Н, АйайегпысЬе Нег1айяйеяеПзсйаИ, Ье!рз16, !931. 4. А с й е г е1 3., Оазйупапп1с. Напййпсй йег РЬуяПИ Вй. НП, 5рг!пйег, ВегИп, 1927. 5. Т а у1о г О. 1. апй М а с с о11 Л %., ТЬе тесЬап!ся о1 совргезя!Ые Пп!йя. %. Г.
Рнгапй'я Аегойупат1с ТЬеогу, ч. П!, Р!ч!я!оп Н. 5рг!пдег, ВегПп, 1935. (Перепечатано Калифорнийским технологическим институтом, 1943.) 6. 3 а у е р Р., Введение в газовую динамику, Гостехиздат, М. — Л., 1947. 7. Л н п м а н н Х. В. и П э к к е т А. Э., Введение в аэродинамику сжимаемых жидкостей, Иноиздат, 1949. 8. Ь г п С.
С., Ап !п1гойпсИоп 1о 1Ье йупаппсз о1 сотргеьз1ЫеПшйя, Мопойгарй 1. Неайг!паг1егя А!г Мч1ег!е! Сопппапй, ННг!6Ы Р!е!й, Рау1оп, ОЫо, 1947. Общие обзорные доклады: 9. Т а у1 о г О. 1., Кесеп1 ячогй оп 1Ье Потч о1 совргезз!Ые Пцгйя. аоигпа! о! Ме Ьопйоп МаМеваПса! Вос!егу, 6„224 — 240, 1930. 10. Р г а п й 1! Ь., АПйеве!пе ОЬег!ейппнеп иЬег й!е 81гбгпппй апзапппепйгйсййагег Г!йяз!6!сеИеп.
7лггясйгг)! )йг АпйеиапМе Мшаета!гй ипй Месиап!М 16, !29 — !42, 1936 и указанная там литература. 11. К й г т а п ТЬ., ТЬе еп61пеег ягарр1ея ячИЬ пап-Ппеаг ргоЫегпз. ВиЛеЛп о! гйе А тепсап МагйетаИса! Вос!егу, 46, Ыо. 8, 615 — 683, 1940 и указанная там литература. 12. К а г гп а п ТЬ., Сотргезь)ЫГИу еПес1я !п аегойупав1ся.,!оигпа! о7 гйе АегопаиЛса! Бсгепсея, 8, Ио. 9, 337 — 356, !941, 13.
Е в гп о п я Н. %., 5Ьосй иначея !п аегойу пав!сз. )оиг а! о! Ме АегопаиЛса! Вс!епсея, 12, 188 — 194, 1945. 14. К а р м а н Т., Сверхзвуковая аэродинамика, М., Иноиздат, 1948. Относительно немецких работ по газовой динамике см. 15. Р о г! п 6 %. апй В и г Ь Ь а г 6 1 Н., ВеИгайе хпг ТЬеог!е йег Ре1опаПоп. А!г Ма1епе! Сопппапй, %пнЫ Р!е1й, ОЬю, А!г Росптеп1з Р!ч!з!оп, РВ 1939, РПт К 23, 181. 16. В!Ы!ойгарйу оп Оегвап зпрегзоп!с гезеагсЬ Ыо.
1. Неаййваг1егя А!г Ма1епе! Сопнпапй, %г!6Ы Р!е!й, Рау1оп, ОЫо, !946. БИБЛИОГРАФИЯ Глава 1 СЖИМАЕМЬГЕ ЖИДКОСТИ Б. Лифференциальные уравнения для частных видов течения О специальном рассмотрении неивэнтропического течения см.
22. С г о с с о Ь., 1!па пиоча !цпг!опе ОВ соггеп1е рег 1о в1цсВо йе1 гпо1о го1аг!Опа1е йе! 8ав, АЬН Кеа!е Ассайеппа Наг!Опа1е йе1 Ыпсе1, 23. 115 — 124, 1936. Е!пе пепе 51гбшцп в1цпй1!Оп 1йг сИе ЕТ1огвсЬцпй йег Оаве пп1 Ко1аВоп, 2еьШслпТГ Гиг Апдешапйве Ма!Вета!!и ипй Месйап1к, 17, 1 — 7, 1937. 23. Ч а г в о и у! А., Оп го1аВопа! йав Пов'в. Гчиаг1ег1у ог Арр!!ей Майетайсв, 3 Ыо.
1, 29 — 37, 1945. 24 25 ПРИЛОЖЕНИЕ Экспериментальные работы см. г 26. Е ! п в 1 с! п Н. А. апй В а 1 г й Е. П., Ргоягевв герог1 о1 1Ье апа!ооу Ье1угееп вцг1асе вйосй вачез оп 1!г1Н1йв апй вЬосйв 1п согпргезМЫе дааев. Иуйгойупалисв Бауогатогу Керогг, Но. 34, Са11!Огп!а !па!Нее о! ТесЬПО1ойу, Равайепа, 1946. 27. 5!о К е г 3.
3., ТЬе !оппа1!оп о! Ьгеайегв апй Ьогев. Сопппцп!саНопв оп Арр!!ей Ма1ЬегпаНсв, 1, Мо. 1, 1 — 87, 1948. 28. 17 18 19 20 21 А. Обжав динамика жидкости а термодинамические понятия Относительно вывода и общего рассмотрения уравнений динамики жидкости см. Л э м б Х., Гидродинамика, ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. М 11 п е — Т и о гп в о п Ь. М„ТЬеоге11са1 Нуйгойупаш1св. Маспп11ап, Ьопйоп, 1938. Г о л ь д ш т е й н С. Современное сосгояние гидроаэродииамики вязкой жидкости. М., Госиноиздат, 1948. По введению в термодинамические понятия см.
Э п ш т е й н П. С., Курс термодинамики, Гостехиздат, М. — Л., 1948. 2 е ш а п в 'к у М. 1Ч., Неа1 апй ТЬеггпойупаппсв. 2пй ей. МСОгатг-Н!П, Н ечг Чогк, 1943. Г г а г е г 3. Н., Н!Сйв В. Ь., Оцепрйег Р. Е. апй 1Чаввегшап К. Н., Керог1в !ваней Ьу 1Ье Ва!1!Ш1с КевеагсЬ ЬаЬога1ог!ез, АЬегйееп Ргон!пч Огоцпй, Магу1апй, 1946. Т в ! е п Н. 5., Опе йппепшопа! 1!овгз о! а йав сЬагас1ег!гей Ьу чнп йег 1Чаа1з еоца1!оп о1 з1а1е уоигла! оу ййагйета1!св апй Рйув1св, 26, 30!в 324, 1947, 26, 76 — 77, 1947. Глава П МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ, ЗАВИСЯЗЦЕГО ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Общая теория гиперболических дифференциальных уравнений содержится в следующих книгах: Н а й а ш а г й 3., 1евопв вцг 1а ргораоаНоп йев опйев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
