Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Чтобы построить такой диффузор, надо только найти течение с заданными свойствамн, а затем выбрать одну из линий тока в качестве образующей трубы. Как заметил Буземан, течение с желательными свойствами будет коническим, ударный фронт тоже является конусом (рис. 213). Чтобы найти такое коническое течение, удобно начать с состояния позади ударного конуса, представленного точкой (и„ О) на оси и. Следует начертить заднюю ветвь ударной поляры в плоскости (и, и), точки которой представляют все те возможные состояния впереди фронта, для которых точка (г7„0) является состоянием позади фронта. В случае иа(с, эта ветвь представлена на рис.
214. На этой ветви выбираем точку (и„пг) с ег(О и проводим через нее интегральную кривую уравне- ГЛ. Ч!. ТЕЧЕНИЕ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ 382 иия (155.06), наклон которой в точке (и„пг) равен в)7 (и, — и,). Тогда точка (и„О), где эта кривая пересекает ось й, представляет входящий поток. Для того чтобы это построение могло представлять действительное течение, надо, чтобы о= к/у увеличивалось с уменьшением и или, по (155.08), чтобы о„„было положительно на интегральной кривой.
Надо заметить, что из уравнений (155.10) и (155.03) после дифференцирования следует, что о„о .>О в точке (из, 0), так что и„„> 0 или < О, смотря по тому, будет лн и„> 0 или (О, иначе условие о„„ ) 0 для описанного здесь построения никогда не могло бы выполняться. В то же время из этого следует, что чисто коническое диффузорное течение без ударной волна невозможно. Так как такое течение начиналось бы с состояния (и„ О) при и„ > 0 на интегральной кривой и приходило бы в точку (и„ О), где и,( и,, и и„ < О, то там не могло бы выполняться условие 'а„„ > О.
Другая задача, в которой с первого взгляда содержится коническое течение, — это отражение конической ударной волны. Постоянное параллельное течение отклоняется к оси „падающим" коническим ударным фронтом и снова становится параллельным, проходя через „отраженный" ударный фронт. Можно было бы построить такое течение, считая его чисто коническим между двумя ударными фронтами и после отраженного фронта. Но на самом деле течения такого типа не существуют, что можно видеть из рассуждений, основанных на знаке в„,.
Высказывалось предположение, что все наблюдавшиеся отражения конических ударных волн суть на самом деле маховскне отражения (см. 9 148), причем маховские диски слишком малы, чтобы их можно было заметить. (Это до некоторой степени подтверждается вычислениями Ферри; см. 9 150 и 11741.) В. СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ") 8 158. Общие замечания Изучение сферически симметричного течения'> важно для теории взрывов в воде, воздухе и других средах.
В сферическом течении скорость раднальна, и ее величина зависит только ") Общие методы решения рассматриваемых здесь задач были даны Л. И. Седовым. (См, „О некоторых неустановнвшнхся данженнях сжимаемой жидкости" в журнале „Прикладная математика н механика", 1Х, вып. 4, 1945. См. также предисловие к русскому изданию этой книги.) (Пряж. Ред.) ') Последующие рассуждения с небольшими изменениями применимы к цилиндрическим волнам.
5 168. ОБШИЕ ЗАМЕЧАНИЯ от времени г и от расстояния г от начала. То же относится и к другим величинам — плотности, давлению, температуре, энтропии. Это течение можно рассматривать в известной степени по аналогии с одномерным течением в трубе под действием поршня, считая, что в трехмерном пространстве роль поршня играет расширяющаяся или сжимающаяся сфера, которая влияет на движение жидкости внутри или вне себя.
Простейшая модель такой сферы — это „сферический поршень", толкающий окружающую среду с постоянной скоростью, который мы рассмотрим в 5 1б2. Возникающее течение отвечает равномерному движению поршня в одном измерении, рассмотренному в гл. Ш, в частности в 5,53. Надо помнить, однако, что в трехмерном пространстве, чтобы поддерживать равномерное движение поршня, энергия должна подводиться со все возрастающей скоростью. Лучше согласуется с действительностью предположение, что вся энергия, имеющаяся у движения, уже дана. Это — случай сферических взрывных волн, произведенных взрывом заданной массы вещества. В первой из двух моделей ударная волна движется впереди поршня с постоянной скоростью, и условия на ударном фронте совместимы с предположением об изэнтропичности течения по обе стороны разрыва.
Для взрывных волн это предположение становится уже ошибочным. В последних сила ударной волны, а поэтому и изменение энтропии быстро уменьшаются позади фронта, так что течение уже не изэнтропично. Более того, после сжатия воды или воздуха в ударном фронте они снова расширяются до давления в общем более низкого, чем до прохождения фронта. Эта фаза всась~вания является важной чертой движения, произведенного взрывом.
Весьма важно явление отражения сферического ударного фронта; сходящаяся сферическая волна, предшествуемая ударным фронтом, может „отразиться" в центре и произвести таким образом огромное давление позади отраженного фронта. При современном состоянии знаний все, что может быть сделано средствами математического анализа, — это нахождение и рассмотрение некоторых частных решений дифференциальных уравнений сферических волн в приблизительном согласии с добавочными условиями задачи.
Можно надеяться, что эти решения отражают, по крайней мере качественно, некоторые черт%я действительности. Замечательно, что и такой непритязательный подход кажется в известной степени достаточным для понимания действительных явлений и управления ими. гл. ть тачанна в тгах нзмаганнях 9 159. Аналитические формулировки Радиальная скорость и, давление р и плотность р как функции г и 1 удовлетворяют дифференциальным уравнениям [см. [17.07 — 17.09)) и,+ии„+ — р,=0, 1 р„+ ир +р (и,+ — ) =О, [, — «) +и[, — «) — 0 1159.01) г=1с[1), то полная энергия всего движения в волне выражается так: Е=4„( [ ~ ри~+ ~ р~ ~~«1г [159.03) ~12 « †о здесь Е есть функция времени 1.
Другая важнейшая величина, импульс 1 на единицу площади сферы на расстоянии г, дается формулой 1=) рЖ, [159.04) где Т= Т1г) есть тот момент времени, когда фронт волны приходит в точку г. Т[г) связано с 1с[«), т. к. г=1«[Т[г)). 1 есть функция г. 9 160. Проходящие волны Частные решения дифференциальных уравнений можно получить классическим способом, предполагая, что решение имеет заданную форму, и тем самым привести задачу к обык- Мы предполагаем, что среда политропическая с показателем адиабаты 7. Третье уравнение выражает тот факт, что энтропия постоянна вдоль пути каждой частицы. Но нельзя предполагать, что энтропия постоянна везде, потому что, как указывалось, она в общем случае меняется позади ударного фронта.
Если положение фронта расходящейся волны задано как функция времени, [159.02) и сп). проходящии волны новенным дифференциальным уравнениям. Этим путем нолучаются решения, которые названы проходящими волнами'). Их удобно искать в виде и = а гг У(Ч), с=ай 'С(т)), (160.01) Я .Я+2 à — 2 Р ( Р=г ы(т)) где т) есть комбинация т)= — г Г, ), =- а (160.02) (160.03) (160.04) тогда как есть надлежащая полонсительная постоянная, и -[Р~а = Сл. где лл = (1 — у)я — О, А = (1 — с/) (1 — а Еl) Сl — 13 а СУ вЂ” у с (2 — 2 сс — ясс)~ Ст, В = (1 — с/) (1 — а У) — ([ — 1) ~(! — сс сl) — — (1 — а) 1 и†3 2 — ~а+ т ' ~! — а+ — '' ма['(1 — 1У)-'1 С', (160.06) 2 Е=(1 — С)) ((2+2т+я) (1 — а 1У) — (3.[+ я)1 ~- +т (1 — а сУ) — (2+ я) аС'.
с) Относительно более общего понятия „прояолящей волны" см., например, Курант — Гильберт [32[, стр. 500. 25 Р. куряя я К. Фрялрятс Другими словами, проходящие волны являются частным видом течения газа, при котором величины иг 1, сг 1, рг кажутся постоянными наблюдателю, который движется таким образом, что для него т)=г 1 постоянно.
Множитель аг1 ' при ЕУ или С есть скорость такого наблюдателя, считаемая с плюсом для Г)0 и с минусом для й(0, Следовательно,' условие того, что газ движется со сверхзвуковой или с дозвуковой скоростью относительно такого наблюдателя просто выражается тем, что либо [1 — Ц > [С'„либо [! — Ц с., [С[ соответственно. Подставляя уравнения (160.01) и (160.02) в (159.01) и исключая [я по (160.04), мы получаем прямым вычислением следующие формулы: .[л т) с)' = — А (С), С), Е) т) С = В (1У, С) С, (160.05) .0т)Р =Е(Е/, С) Р, ГЛ. ХЬ ТЕЧЕНИЕ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ Заб Из первых двух уравнений (160.05) мы можем выразить отношение с(С!с1(/ через С и су и получить, таким образом, дифференциальное уравнение вида — ) С. (160.07) д(г А ((г с) Если это уравнение решено, то т) и Р могут быть определены из первого и третьего уравнений (160.05) квадратурами.
Итак, вводя надлежащие величины, можно свести задачу к решению обыкновенного дифференциального уравнения и к двум квад- ратурам. Этот замечательный факт был обнаружен Гудерлеем [19 Ц для х = 0 ". Мы увидим, что решения дифференциальных уравнений (160.05) могут представлять различные типы движения. Реше- ние может представлять течение газа, движущегося к центру, пока он не будет остановлен или не изменит свое движение в отраженной волне, исходящей из центра при 1= 0, или также может представлять волну, приходящую из центра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
