Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(119.06) и (119.01)]. Деля уравнения (162.05) на Я', мы получаем формулы =(! — н )(! — У ) +У (! — У ), (162.06) ие = (! — н2) 1 — — ~, (162.ОУ) 2 О которые дают соотношения между Уе, С н с2,1Я. Точки (У С ), удовлетворяющие (162.06), лежат на эллипсе в плоскости (С«, С). Соотношение (162.07) налагает условие У < < (1 — Е2), так что только участок „ударного эллипса" представляет состояния, возможные в ударном фронте. Для состояний в расходящемся, направленном наружу фронте имеют место соотношения и < Я и се) Я вЂ” и, из которых первое показывает, что газ пересекает фронт справа налево, а второе, что течение позади фронта дозвуковое по отношению к нему. Эти два условия дают 0<1 — СГ <С (162.08) гл. и. твчкнив в трах измврвниях 392 для расходящегося и обращенного наружу ударного фронта. Оба они выполняются на участке 0 < 1УВ((1 — р') ударного эллипса, как это видно из (162.06).
Влере росно удар» Волна деев Волна Оста« удар «ал л длере сюда удое Рис. 21о. Векторное поле напрааленнй для дифференциального ураанення прн 11 = гд ~и н С = гг 'с н сферической квазнпростой волне. Пусть теперь задана, скорость Я ведущего ударного фронта; тогда состояние позади фронта определяет точку УУ = (УВ, С= С на разрешенном участке ударного эллипса в плоскости (сУ, С). Через эту точку проходит интегральная кривая урав- 5 )зз. СФВРнчвскнв кВАЗННРОстые ВОлны 393 на поверхности сферы, так и во фронте показана на рис.
216'). Заметим, что в соответствующей одномерной задаче о течении газа 2 вус„ \ произВеденном поршнем, Рис. 2!б. скорость расшпряющейся имеющим постоянную ско сферы 2з как функпня скоростп в пе. реднего ударного фронта. Для сравверость, эти величины были бы ~Вя добавлена скорость и позади улар- Я равны.
ного фронта как фуякппя В; она пред- Интересно, что частицы, ставляла бы скорость поршня, дающего которые после прохождения ударную волну той же силы в одкомерфронта приобретают положительную скорость и = =Е 1.), ускоряются дальше, пока не достигнут асимптотически скорости 1, расширяющейся сферы, и в то же время увеличивается скорость звука с=1С, откуда видно, что после прохождения фронта газ испытывает дальнейшее сжатие. Следует отметить, что Тэйлор сравнил течение, вычисленное с помощью только что изложенной теории, с течением, рассчитанным в звуковом приближении, как это делается в теории звука, в случае, когда скорость сферы равна 0,2 сю Он нашел очень хорошее согласие во всем, кроме распределения давления вблизи поверхности сферы, где теория звука дает слишком большое значение. *) Работа тэйлора опубликована в 1946 г.
Решение атой задачи было опубликовано Л. И. Седовым в ) 945 г. См. примечание редактора Ва Стр. 332, [Призе. редд ') См. также [1931. пения (162.04). Будем следовать по этой кривой в направлении уменьшающегося 1 или возрастающей т). Как видно из рис. 215, интегральная кривая продолжается в этом направлении н кончается где-то на линии У= 1, не пересекая критических линий [1 — У~ = [ С[.
Следовательно, значение 1з величины 1 в этой конечной точке может быть определено интегрированием первого уравнения (162.01) от СУ= ~У до С)= 1. Поэтому 1з есть заданная функция 3. Оказывается, что эта функция монотонна, и поэтому скорость ударного фронта может быть определена как функция заданной скорости поверхности сферы. Так устанавливается решение этой задачи, впервые найденное Тэйлором в). Зависимость скорости газа от скорости фронта как 394 ГЛ.
РЕ ТЕЧЕНИЕ Е ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ Заранее не очевидно, что всякое течение типа квазипростой волны, происходящее от расширения сферы, должно быть предшествуемо ударным фронтом. Тем не менее это так, ибо каждая интегральная кривая, начинающаяся на линии У 1 при С > О, приходит в точку сl = О, С = 1 при возрастающем значении С и с1сl/аС=О, что можно показать, рассматривая особенность векторного поля в этой точке. Следовательно, эти кривые пересекают ударный эллипс раньше, чем критическую линию С= 1 — К на которой направление движения должно обратиться.
й 163. Сферические волны детонации и дефлаграции Другими интересными квазипростыми волнами, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям (162 04), являются сферические детонационные волны. Напомним то, что нам известно об одномерных детонационных волнах. В гл. Ш, разделе Д, было показано, что процесс детонации, рассмотренный как ударный переход, однозначно определяется природой сгоревшего газа и выделившейся энергией; процесс не зависит от условий позади фронта, если принять гипотезу Чэпмена— Жуге, что скорость газа непосредственно позади фронта— звуковая. Было показано, что позади фронта детонации сгоревший газ может сам приходить в состояние покоя в центрированной простой волне (см.
в 90). Возникает вопрос, возможно ли то же самое позади сферического детонационного фронта, если мы снова предположим, что справедлива гипотеза Чэпмена — Жуге. Это условие, выраженное через скорость фронта З, скорость газа ир и скорость звука ср позади фронта, есть Я вЂ” ир= с или (163.01) Другими словами, состояние позади фронта представляется точкой У= Ур, С= Ср, определяемой природой детонации, на критической линии 1 — У= С. Интегральная кривая, проходящая через эту точку, должна быть продолжена в направлении возрастающих т1. Из рис. 215 видно, что такая кривая кончается в точке У = О, С = 1, если точка (Ур, Ср) лежит на известном участке 0< О( СТЕ, 1) С> Се критической кривой.
Простое рассмотрение векторного поля в окрестности точки У= О, С= 1 показывает, что т1 приближается к конечному значению т1м подходя к этой точке по любой интегральной кривой. Поэтому детонационная волна ограничена изнутри ядром, которое расширяется нз начала со звуковой скоростью в 163, сФеРические ВОлны детОнАнии и ЛВФлАГРА11ии Зэб Ее= йэ = т1В . ВнУтРи этого ЯдРа газ покоитсЯ, имеЯ там постоЯннУю скоРость звУка га = Са. РаспРеделение давлениЯ в волне может быть найдено из решения третьего уравнения (162.01).
Эта задача была впервые поставлена и решена Дж. И. Тэйлором*1, Из этого решения следует, что возможна сферическая детонационная волна, в которой фронт детонации распространяется с постоянной скоростью, определенной гипотезой Чэпмена — Жуге. Но в то же время эта волна обладает некоторыми свойствами, противоречащими основным предположениям теории детонации. Дифференциальные уравнения (162.01) показывают, что ас/11А т1 и с(С1с(т1 бесконечны в точке, где 1 — У=С, потому что в ней Ал= — О. Иначе говоря, скорости изменения величин и и с, а также р, бесконечны непосредственно за фронтом детонации. Но одно из основных предположений теории детонационного процесса, построенной на представлении о разрыве, состоит в том, что изменения всех величин, существенных для течения позади фронта на расстояниях порядка ширины фронта, пренебрежимо малы.
Это предположение, очевидно, нарушается в только что рассмотренном сферическом детонационном фронте. Отсюда можно вывести заключение, что в сферических детонационных волнах процесс детонации уже не независим от происходящего позади него процесса разрежения, который таким образом влияет на внутренний механизм процесса детонации. На самом деле, в результате этой интерференции в процессе детонации фронт распространяется медленнее, чем это следует из гипотезы Чэпмена — Жуге. Отметим, что волны еорения или дефлаграГ(ии тоже могут быть описаны как наши квазипростые волны.
Мы предполагаем. что процесс горения может быть истолкован, как разрыв, движущийся со скоростью горения по несгоревшему газу (см. 9 91). Процесс горения посылает впереди себя волну сжатия, которая в свою очередь имеет впереди ударный фронт. Сжатый газ, проходя через фронт дефлаграции, сгорает и останавливается. Волна предварительного сжатия имеет ту же природу, что и волна, произведенная расширяющейся сферой, и поэтому представляется теми же ветвями интегральных кривых в плоскости (У, С). Единственное отличие состоит в том, что эта волна оканчивается при значении (У= СГ,, меньшем единицы. "> Впервые решение этой задачи было опубликовано чл. корр.
АН СССР Я. Б. Зельдовичем (ЖЭТФ, 12, 389, 1942). Авторы ссылаются на отчет, составленный Тэйлором в 1941 Г., который в то время не был опубликован. (Приме редд 396 ГЛ. Ть ТЕЧЕНИЕ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ Это значение С', надо затем подобрать так, чтобы е,— и, =- =-1,(1 — С',) было как раз равно заданной скорости горения относительно несгоревшего газа впереди фронта. Абсолютную скорость фронта горения можно определить из условия, что газ позади него покоится. 5 164. Другие сферические квазипростые волны ю Есть и другие интересные типы сферических квазипростых волн.
Имеются сходящиеся волны сжатия, ограниченные расширяющимся отраженным ударным фронтом, позади которого газ приходит в состояние покоя. В плоскости 1УУ, С) эти волны представляются или кривыми, начинающимися из точки 1У=О, С= — 1, или кривыми, выходящими из У=1, С = О, проходящими через точку 1У= О, С = 0 и кончающимися на, „ударном эллипсе", где-либо в квадранте 1У(0, С > О. Простое рассмотрение показывает, что т1 начинается с какого-то конечного значения т1„на интегральной кривой, исходящей из УУ=О, С= — 1, или из 1У=1, С=О. Поэтому волны первого типа обладают сжимающимся внутренним ядром, внутри которого газ покоится, тогда как в случае волн второго типа имеет место кавитация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
