Часть 2 (1161646), страница 40
Текст из файла (страница 40)
ИАГнитОГАэодинАмические удАРные ВОлны 235 Подставляя (163) и (173) в (178) и выполняя элементарные преобразования, получаем основное кинематическое соотношение для прямой магнитогазодинамической ударной волны йВ„'(~+ 1) и„и» = — ЛТ, +— й+1 ' й+1 Р Рн (180) Здесь первый член правой части представляет собой квадрат критической скорости, соответствующей эффективной температуре торможения: / 2й * н„= )»~ — Вт,. й+1 (181) В этом случае отличие (180) от кинематического соотношения (15) гл.
П1 для обычной ударной волны заключается в дополнительном члене, учитывающем влияние магнитного поля. Складывая давления перед и за ударной волной, имеем из (177) »Рн н»н»»» н й — 1 й — 1 ~н Р»+Рн 0 0 0 Р» + Рн = (Р»+ Рн)»»т'с 2й пни»(Р»+ Рн) й 0 ° й Р, р Исключая отсюда с помощью (163) произведение скоростей, получим основное динамическое соотношение для прямой магнитогазодинамической ударной волны р — р Р» + Рн Вз (и» вЂ” 1) (й — 1) » н й + н Р» — Рн Р»+Рн 2рнРн(н»+1) (182) которое отличается от аналогичного соотношения (17) гл. П1 (для простой ударной волны) дополнительным (нмагнитнымэ) членом в правой части. В частном случае слабого разрыва (р1 = р., р~ = р„ т = 1) из (182) имеем — =й —, т.
е. — = сопэ1, лр р р ЕР Р ' ' ' РА Вт — 1 + 0 (и» вЂ” 1) и В (183) что доказывает постоянство энтропии в слабой магнитогазодина- мической волне. Поделив все члены уравнения (182) на величи- ну р,/р, и решая ето относительно величины р1/р„приходим к уравнению ударной магнитогазодинамической адиабаты 333 гл. хнь злнмвнты млгнитноя глзовоп динамики Здесь приняты обозначения Рг Рт гп = — и Ра Ри Рти д= Ф Рн 6= —. а+1 й — 1' как и в простой ударной волне (см.
выражение (19) гл. 1П). При р1- р, имеем р1- р,. Степень отклонения магнитогазодинамической ударной адиабаты от простой ударной адиабаты показана на рис. 13.17, где т=— Р, Рл 4 Рнс. 13.17. Ударные аднабаты магннтогааодннамнческой волны прн разных величинах параметра магннтного давления (й = 3/3) УР Р ж в=в Рл нанесены кривые тп(и) при разных величинах относительного магнитного давления д для й 1,67 (одноатомный газ). С помощью (162) и (183) можно выразить число Маха, соответствующее скорости распространения магнитогазодииамичеокой волны, через отнопгение плотностей на ее фронте: Ма иг О+1+ у [(0+ 1) (т+ 1) — 4т) я Π— и Зависимости М (и), рассчитанные по формуле (184) при 6 = 4 (й= 1,67), нанесены на рис. 13.18.
Остается определить число Маха в газовом потоке за магнитогазодинамической волной, для чего используем выражения (156) и (175): и ина Риа ти М ,а ,а ра Р и (185) При отсутствии магнитного поля (д = 0) уравнение (183) совпадает с уравнением (18) гл. 1П для обычной ударной адиабаты. В случае очень сильной ударной волны (р~ — ° ) получаем из (183) такое же предельное значение плотности а+1 (Рт)шах Рн 3 го.
мАпппоглзодннлмические удАРные Волны 237 Кривые М1 (т) при разных значениях параметра магнитного давления д приведены на рис. 13.19. При вырождении магнитогазодинамической ударной волны в слабый разрыв (т- 1, п- 1) скорость ее распространения, как было установлено выше, оказывается больше скорости звука; вгг г в этом предельном случае из (184) и (185) получаем Мво = — ~3 — 1+ 3Ч/ ='1+ ~, Мго = Мко в= й(3 — 1 В другом предельном случае — бесконечно сильной магнитогазодинамической волны (и — О, п — ° ) — имеем из (184), (185) и (183).
з з й — 1 Мим ь оо Мхзз з Рис, 1333. Зависимость скорости магнитогазодинамической ударной волны от степени сжатия газа при разных величинах параметра давления (/г = 5/3) Гз А Рис. 13.19. Зависимость скорости за магнитогааодинамической ударной волной от степени сжатия газа при разных величинах параметра магнитного давления (й = 5/3) 233 Гл. хнь элкмкнты мАГнитнОЙ ГАЗОВОЙ динАмики 5 11. Условие обращения воздействия при течении газа в электромагнитном поле по направлению движения, получим 1 Нр, 1 йсс 1 ссг" + + — О. (186) Аналогичным образом из уравнения состояния для идеального газа имеем Нр ссТ а йр (187) Уравнение движения (82) для одномерного течения невязкого и нетеплопроводного газа при поперечных электромагнитных полях может быть приведено к виду Ни Ыр ри — + — = Ов [Š— иВ) В. Нх Нх (188) Уравнение энергии такого одномерного течения получим из (90) и (87) Ж* ри — „= Ов [Š— иВ[ Е. (189) Учитывая, что г" =1+ иЧ2, В =с,— с„и с,= йс„, уравнению энергии (189) при с, = сопз1 придадим следующий вид: ь ыт ди Ь вЂ” 1 Ых с1х — Ври — + ри' — = авЕ [Š— иВ).
(189а) В этих уравнениях все параметры зависят только от х, причем скорость и(х) направлена по оси х, а напряженности магнитного и электрического полей перпендикулярны между собой и к направлению движения: В, = В(х), Е„= Е(х); будем считать функции В, н Е„, а также функцию Е(х), описывающую изменение площади поперечного сечения канала, заданными. Рассмотрим стационарное одномерное течение (%'(х) = =(и, О, 0)) невязкого и нетеплопроводного газа конечной проводимости в поперечных скрещенных магнитном и электрическом полях.
Предполагая, что можно пренебречь индуцированным магнитным полем, зададим распределение средних по сечению значений электрической напряженности и магнитной индукции по длине канала переменного сечения Е(х) =(О, Е„, 0), В(х) =(О, О, В,). Это позволяет решать задачу, не привлекая уравнений Максвелла. Продифференцировав уравнение расхода риЕ = сопзФ = 6 Э 11. ОБРАЩЕНИЕ ВОЗДЕНСТВИЯ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 23Э Систему уравнений (186) — (189) в общем случае нельзя решить в явном виде, но с ее помощью можно определить, как зависят производные скорости и числа Маха от основных параметров задачи.
Исключая из (187) и (189а) градиент температуры, получим й ~ир а йр1 аи свЕ й — 1~Их й Ых) Ех и — — — — — 1+ ри — = — (Š— иВ). (190) Исключая из (188) и (190) градиент давления, имеем (Е й 1 а Ер — — Ри д =ов~ — — — В1(Š— иВ)+— й — 1 " ~ и й — 1 й — 1 а'х' Заменяя в этом выражении градиент плотности с помощью (186), приходим к выражению 1 аи 1 аР й овВ /Е 11Е й — 1 (Ма — 1) — — = — — — — — ~ — — и) ~ — ': — и), (191) и Лх РЫх раа и В В й которое показывает, как влияет изменение площади сечения и фактора, отражающего характер электромагнитного поля (второй член правой части), на изменение скорости по длине канала. Если электромагнитное поле отсутствует, то уравнение (191) переходит в известное соотношение для сопла Лаваля (гл.
1У, (1)). Если добавить в исходные уравнения члены, характеризующие изменение расхода газа, работы трения, технической работы и подвода тепла извне, то путем элементарных преобразований можно уравнение (191) превратить в условие обращения воздействия еще более общего вида, чем условие (49) гл.
У: (Ма 1 1 Ни 1 ЕР 1 х6 1 хХ, й — 1 рнан и Лх Р Йх Е Ых аа их аа их й ~~„й овФ~Е ) ~ Е й Член, учитывающий электромагнитное воздействие в уравнении (192), отличается от всех остальных членов этого выражения тем, что в него входят значения действующих параметров, а не их производные и, кроме того, его величина зависит от абсолютных значений скорости и давления газа, а знак определяется произведением двух разностей, одна из которых есть равность между скоростью газа и и скоростью дрейфа )г'а=В/В, а другая — разность между скоростью газа и некоторой ско- Е й — 1 й — 1 ростью 7У = —: = И' —.
В й " й Таким образом, если отбросить все воздействия, кроме электромагнитного, т. е. рассматривать одномерное движение идеального газа в теплоизолированном канале постоянного сечения при наличии скрещенных электромагнитных нолей, то условие обра- 24О Гл. хпг. элвмвнты мАгнитной РАЭОВОЙ динлмики щения воздействия для производной скорости, вапишется так: зи а (М' — 1) — = — авВ2 — (и — У,) (и — И'д) = йх 2 авВ' = — — (и — Уг) (и — И'д). (193) Р Напомним, что при движении газа со скоростью дрейфа (см. 3 5) индуцированное электрическое поле равно и противоположно наложенному, в результате чего ток через газ не идет и никакого магнитогидродинамического воздействия нет. Как видим, при неизменной величине электромагнитного воздействия знак производной скорости изменяется на противоположный при переходе от дозвукового течения (М ( 1) к сверхзвуковому (М > 1) и наоборот.
Таким же путем, как (193), можно вывести условие обращения воздействия для производной числа Маха по длине канала. В случае 2(г/дх Ф 0 имеем сходное с (191) выражение (М вЂ” 1) лм м(1+ — мд) 1 ЛР В овВ ГЕ ~РЕ 1+ЬМ = — — — — — ~ — — и) — — и . (194) Р Кх рах и ~ В ) В 2а' х — 1 — +ам Для канала постоянного сечения (2цг/2(х = О) получаем (М' — 1), —, = — — хавВ'(и — И'д)(и — 02) = 1 ам й 1+ — м 2 алВ = — — (и — И'д) (и — П ), (195) ар 2 где 1+ ЬМ2 1 ~- амд ~2 1 2+ (ь — И м' ь + ьмз 2 " 22 Таким образом, в выражении для ИМ/дх появляется новая характерная скорость У2, величина которой зависит от числа Маха. С помощью (194) и (195) на рис. 13.20 построена диаграмма возможных режимов одномерного течения газа в скрещенных электрическом и магнитном полях.
По оси ординат отложены значения скорости, по оси абсцисс — числа Маха. Прямые линии и = Уь и Их„М*= 1 и кривая У2(М) разбивают плоскость 5!1. ОБРАщение воэдеистпия В электРОмАГнитнОм поле 241 (и; М) па области 1. М~1 ~ П. М(1 А, И'д<и В, У,(и(Игд С, С,<п<С, Вг и <От А, Игд(и В, Ст<м<ид С, С,<и<С, Вз и(Сз Пусть и и М известны в некотором сечении х. Тогда при сме- щеиии вдоль оси х эти параметры изменяются так, что в обла- стях А1, Вт и В1 происходит смещение налево вниз, в областях Аз, В1, .01 — направо вверх, как и указывают стрелки, и в областях С1 и Ст — налево вверх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
