Часть 2 (1161646), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Во многих конкретных случаях уравнения движения и индукции можно существенно упростить, отбрасывая те или иные относительно малые члены. В гл. П представлено несколько вариантов уравнения энергии для газового потока. Часто уравнение энергии используют в такой форме, в которой энтальпия и кинетическая энергия объедпнены в полную энтальпию„ таким является уравнение (49) пз з 6 гл. 11.
Для того чтобы прийти к соответствующей форме уравнения энергии магнитной гидродинамики, следует дополнительный член уравнения движения — электромагнитную силу 1=[] хв] спроектировать на оси прямоугольной системы координат и затем каждую проекцию этого вектора умножить на соответствующую проекцию скорости; сложив три полученных произведения, находки дополнительный электромагнитный член к уравнению „(45) гл. 11 1„и+ 1,,в+1,ш = [и(4В, — /',В„)+ и(1,„— у„В,)+ + шք„— [„В„)] =Щш„— иВ,)+1'„(иВ,— шВ„)+ +1,(и„— иВ„)]. Ири составлении этого выражения были использованы выражения (72а) для составляющих электромагнитной силы. Иначе говоря, скалярное произведение вектора скорости на вектор электромагнитной силы было представлено в виде ~у.1= — ]. [ж х в]. Из закона Ома (54) следует — 1 — е = [% х В].
о $ Ь УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ 203 Подставляя этот результат в предыдущее равенство, находим %1= — ~ +] Е. ов Если этот дополнительный член, выражающий работу электромагнитной силы, сложить с джоулевым теплом е,= —, 3 е — ь (88) то получим окончательные выражения для дополнительного «электромагнитното» члена уравнения энергии ф, =1. Е. (89) В ряде случаев работу электромагнитных сил представляют в другой форме, которую можно получить, если заменить с помощью (65) плотность тока в скалярном произведении (89), матнитной индукцией Он = — го1В Е Ив (91) и использовать известную формулу теории поля йч[ЕХВ]= ВГОТŠ— Ето1В.
В случае стационарного магнитного поля (дВ/дс = О) из (63)' имеем го1Е = О, и, следовательно, Е тот В = — йч]Е Х В]. Подставляя этот результат в (91), приходим к следующему выражению для дополнительного электромагнитного члена в уравнении энертии: Рн = — — б(ч [Е Х В]. 1 1ьв (92) После замены в (90) последнего члена выражением (92) получаем еще одну форму уравнения энертии магнитной газовой Эту величину нужно добавить к правой части уравнения (49)' Гл. 11, тогда уравнение энергии газа при наличии электромагнитного поля записывается в следующей форме: дьв др е чча ь р ' = +) й2+рй~~ — (+ <й д1 2 / + — )ь(%7) йч% + — р (йч%)'+ 2)ей+ ] Е.
(90) З64 ГЛ. ХПГ. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ динамики:. др . (жо1 р — = — +),кт+„л( )+ дй дс [,2) + р(о[о тт) + 2Ф вЂ” — с[[о [Е Х В[ (98) 3 6 В стационарном случае и при отсутствии вязкости и теплопроводностп уравнение энергии '(93) принимает впд д8о 1 р — = — — йт [Е Х В). Рв (94) э 5. Критерии подобии в магнитной гидродинамике ') С появлением дополнительного члена в уравнении движения электропроводной жидкости в магнитном поле (82) возникает необходимость ввести новый .критерий подобия, учитыва|ощий отношение магнитной силы к силе инерции. Следуя методу, изложенному в 3 7 гл. 11, приведем последний член правой части уравнения (82) к безразмерному виду путем деления его на величину роУо/й В результате получим В„ В дв В' д о д— В г о д— г 2 о д— В- о д— Динамическое подобие обтекания модели и натурного объекта (см. 3 7 гл.
П) в электропроводной х1идкости при наличии внешнего магнитного поля, очейидно, требует того, чтобы у модели и натуры были одинаковые значения множителя гВ1 о о 5; Ыеш РоГо 9 Бая Шя-н:Магввтвая газовая динамика н динамика плазмы, Мх. Мнр, И64, Здесь 1 — характерный размер, Ро, Уо, )о, Во — значения плотности жидкости, скорости, плотности тока и магнитной индукции в некоторой характерной точке потока. Если электромагнитная 'сила записана так, как это сделано в уравнении движения (82а), то в безразмерном виде соответствующий член этого уравнения можно представить в виде З Ь. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 205 ~0 плп с учетом того, что, согласно (65), уо ж — —, имеем Рв ~0 —, = 5в = сопз1. евро~ о (96) Этот множитель характеризует отношение магнитной и кинетической энергий единицы объема.
Величина А = У5, называется. числом Альфвена. Разумеется, необходимо, чтобы остальные гидродннамические критерии подобия (числа Струхаля, Фруда, Маха и Рейнольдса) также были соответственно одинаковыми. Учитывая, что при конечной проводимости согласно закону Ома (54) плотность тока, индуцированного магнитным полем; пропорциональна отношению а 0ПоВ0-у;, можно пз (95) получить критерий магннтогидродинампческого взаимодействия, выражающий отношение Магнитной силы от индуцированных токов к силе инерции 5, = = 1йеш. ввов01 Ро о (97) Здесь отношение индуцированного магнитным полем тока к току внешнего электрического поля определяется прп О = ооо безразмерным критерием ~до 0 0 (98) Здесь И',— скорость дрейфа (52), определенная ранее в 3 2.
Величина ~о (99) Величину 50 называют критерием магнитогидродинамического взаимодействия. Приведем к безразмерному виду члены уравнения закона Оиа (54) Если (о — ток проводимости в характерной точке, то, согласно (23), 10 = оооЕо Отсюда следует 2эб гл. хпв элвмвнты млгнитнои глзовои динамики характеризующая отношение электромагнитной силы от наложенного извне тока к силе инерции, является критерием глектрогидродинамического взаимодействия. Приведем к безразмерному виду уравнение магнитной индук- ции (84) В„ д— В, В„ д В + в+ з + дЯ д(1) 1 »вов1~о д(1 ) вВ, д— У В (100) В, в д— В левой части (100) стоит уже известный безразмерный множитель — число Струхаля (5Ь = 1/Посо).
В правой части появился новый безразмерный множитель, обратную величину которого называют магнитньам числом Рейнольдса а йн = рвов)Уе = —. чн (101) Этот критерий характеризует отношение магнитного поля от инцуцированных токов к наложенному внешнему магнитному полю'). Иногда пользуются отношением магнитного числа Рейнольдса к обычному числу Рейнольдса, т. е. магнитным числом Прандтлл "я рты — — = »вовт =— Р Ун (102) которое представляет собой отношение обычной вязкости к магнитной вязкости. Если умнохаить критерий магнитогидродинамического взаимодействия (97) на число Рейнольдса, то получим отношение магнитной силы от индуцированного магнитным током поля к силе вязкости овВа1 Уа1 овВо1 Корень квадратный из этой величины получил название числа ') Магнитное поле .от иадуцироэаииых токов определяется из известного соотношения ~гогВа~ = »в~)!»вовУаВ„ где ~го1Ва~ В;/й В,— иапряжеияость внешнего поля.
Отсюда имеем Ва В -»вовдт =Рн. е о е е ги о оВ„ д — д В В + а а иВ„ ВВ д '+ д— и в ав ду дц дц д — д — д— 1 1 1 3 В, ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖПДКОСТИ В ПОПЕРЕЧНОМ ПОЛЕ Щ' Гартмана - Гоя На=В) у —, » ~! (108) В 6. Течение внзкой электропроводной жидкости по плоскому каналу в поперечном магнитном поле Рассмотрим так называемое течение Гартмана ') — ламинарное течение несжимаемой электропроводной жидкости по плоскому каналу постоянного сечения (рис.
13.8) при наличии постоянного внешнего поперечного магнитного поля с магнитной ') Н аг$ша пп У. ТЬеогу о1 1Ье 1аш1паг Пои 1П а Ьошсяепеопв шадпебс Ие1й г' КЕЬ дапвйе «Ы. ве1»ЬаЬ. Ма1.— 1ув. шейй.— 1937.— У. 15, № 6, Здесь у =рог — коэффициент динамической вязкости. При определении величины числа Гартмана в качестве характерного 1 берется поперечный размер канала.
Число Гартмана является основным критерием подобия в таких магнитогидродинамических задачах, в которых существенную роль играют силы вязкости. Из перечисленных дополнительных крктериев магнитной гидродннамики взаимно независимыми являются только три (например, числа П, На и й»). Остальные параметры (5, Э, Рг ) можно получпть из приведенных соотношений как производные.
При некоторых значениях отдельных критериев подобия система уравнений магнитной гпдродинамики допускает упрощения, Так, прп и» « 1 можно пренебречь магнитными полями от индуцированяых токов п считать, что течение происходит только под действием внешнего магнитного поля. С такого рода течениями имеют дело в магнитной гидрогазодинамике каналов (движение при налпчин электромагнитных полей технической плазмы пли жидкого металла в трубах, каналах магнитных насосов и магнитогазодинамических генераторов электрического тока) и в случае обтекания тела, когда электропроводность среды не очень велика.
При Й» ~ 1 магнитное поле оказывается «вмороженным» в вещество и перемещается вместе с нпм; эта область магнитной газовой динамики находит применение в астрофизике, где имеют дело с очень протяженными областями сильно разреженного межзвездного газа достаточной проводимости или с разогретым до миллионов градусов весьма проводящим звездным веществом (например, протуберанцы солнца).
При лабораторных опытах с жидкими металлами обычно Я» = 0,01 — 0,1, а число Гартмана моя1ет достигать нескольких сотен; в опытах с технической плазмой (температуры порядка 104 К) возможно значение й» 1, тогда как число П может быть как меньше, так и больше единицы. 233 Гл. хпь элементы мАГнитнОЙ ГАЗОВОЙ динлмики индукцией в„-в.. По длине канала — на участке стабилизированного течения— изменяется только давление (др/Вх Ф 0); остальные параметры остаются неизменными (д%/дх = дВ/Вх = 0).
При достаточно большой относительной ширине канала (а» Ь) течение можно считать плоскопараллельным, при котором скорость и индукция Рис, 13.8, Плоское течение вязкой жидкости в поперечном магнитном поле не изменяются в направлении оси г (д%/дг=дВ/дг=О), а поперечные составлятощие скорости отсутствуют (и О, п1=0). Из уравнения неразрывности линий магнитной индукции (43) имеем дВх дВт дВ 61йч В = О, или — "+ — "+ — ' = О. дх ду дг Вследствие условия ВВ„/дх=дВ,/дг =0 имеем также дВ„/ду = О, или В„ = сопзг = Во, т. е. магнитная индукцня внутри канала в направлении оси у не изменяется.
Из уравнения (63) при постоянном магнитном поле следует тот Е = О. Отсюда, в предположении что д/дх = д/ду = О, получаем Е. =сопзг, Е„=сопзс. Из условия отсутствия тока в направлении х необходимо принять Е =О. Из уравнения 61ч) =0 имеем /„= сопзь. Предполагая стенки у = жо непроводящими, имеем / =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
