Часть 2 (1161646), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Интегрируя первое из уравнений (124) в пределах от — а до ГЛ. ХПГ. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОИ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ 222 При х < 0 В = О, поэтому р„на участке — < х < 0 по длине не изменяется. Вычислим др„/дх на участке расположения электродов (х ) 0). Используя соотношения (135) и (132), найдем среднее по сечению значение составляющей плотности тока у„, юУдх у...= . т- —..~ —,„й)+ИВ .
0 ( дх Очевидно, что интеграл ) — Ыт) равен разности значений функ- О цпи х' в точках я и О, т. е. ( дх .+- ) — Ыт) = л. .) дч о Следовательно, (Ую ух ар = нн ~ а + И В1, (139) т. е. среднее по сечению значение составляющей тока у„, на участке расположения электродов не изменяется. Используя соетношение (139), из уравнения (138) находим драр Г~ ю — = — овВ ~ — + И'В1. дх (а Итак, оказывается, что градиент среднего давления др„/дх по длине канала (при х>0) является постоянной величиной. Обозначив рэ среднее значение статического давления в сечении х = О, окончательно имеем при х ~ 0 (Ую Рар — Ра — — — пнВ( — ю+ И В1х.
(140) ') См, сноску на с. 218. Используя электрическое поле первого приолижения, можно определить поле скорости первого приближения, для чего следует обратиться к уравнениям движения (124) '). Мы рассмотрели вопрос о течении жидкости на участке, расположенном непосредственно перед входом в канал с магнитным полем. Аналогичным образом решается задача о выходе потока жидкости из магнитного поля, однако в этом случае при использовании тех же уравнений следует знак переменной х изменить на обратный. 5 Э. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ 223 Решение уравнения Лапласа (134) для случая выхода из поля представим в виде У = ӄ—, (141) где х " = х"/а определяется по (132) перед х: путем замены знака ч ~ +1 /( "+1) — ы х = агсе(п ~ у — 1,' 4 — е ~ соэ'т), (142) При этом в качестве граничных применяются условия х ( О; У = ~ $'„, для т) = О; л; — дх х ) О; — = О для т) = О; я.
до Учитывая связь между производными финицнй х" и х' дх дх дх дх дх дх ' дп дЧ ' у„<О при т)) —, 1„)О при т~( —. Знак продольного градиента давления остается прежним (отрицательным), иначе говоря, как выход потока из магнитного поля, так и вход в него сопровождаются падением давления (сопротивлением). Направления поперечных градиентов:.давления при выходе и входе потока жидкости в магнитное поле противоположны.
5 9. Уравнения матнитиой газовой динамики для единичной струйки Понятие «единичная струйка» в магнитной гидротазодинамике не имеет такого универсального применения, как в обычной газовой динамике, ибо лишь в немногих случаях можно считать неизменными в поперечном сечении струйки величины и направления векторов электрической напряженности и магнитной индукции, а вместе с ними и векторов плотности тока и электромагнитной силы. Приведем два примера магнитогазодинамических течений, в которых концепция единичной струйки строго справедлива: находим, что направление поперечной составляющей плотности тока остается таким же, как и на участке входа в поле, а на- правление продольной составляющей плотности тока изменяется иа обратное: 224 ГЛ.
ХПЬ ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 4. Канал постоянного сечения з = ~а, образовапвый двумя параллельнымя стенками„по которому в направлении х движется электропроводпый газ; степки канала являются разпоименНыми электродами бесконечной проводимости, вязкость и теплопроводпость не учитываются.
Если па стенках поддерживается разность потенциалов, то возникает электрический ток 1„, ипдуцирующий «собственное» магнитное поле, линии напряженности которого по правилу буравчика направлены перпендикулярно к плоскости течения (по оси у). Течение в таком канале эквивалентно течению единичной струйки, находящейся в постоянных скрещенных электромагнитных полях Ж(и, О, 0), Е(0, О, Е,), В(0, Вм 0), $(1„, О, 0). 2.
Равномерное течение газа перед и за прямой магпитогазодинамической волной (с линиями магнитной индукции, перпепдккулярпыми к направлению течения). Этот случай подробно рассматривается в з 10. Запишем уравпеппя магнитной газовой динамики для единичной струйки газа, пренебрегая вязкостью и теплопроводностью жидкости. Будем считать движение жидкости установившимся, магнитное поле — стационарным, а вектор [Е Х В], определяющий работу электромагнитной силы (см.
(94)),— направленным параллельно вектору скорости %. В этом случае поток вектора [Е Х В[ каправлен по нормали к поперечному сечению струйки. Как известно из теории поля, йч [Е Х В) = [1ш — [ [Е Х В]„ИЯ, 1 Г „„,А.3 з где 1АЭ вЂ” объем, охватываемый замкнутой поверхносью Я, сквозь которую проходит поток вектора [Е Х В[, л — внешняя нормаль к поверхности Я.
В пашем случае, при малой протяжепности объема 1АЭ, имеем ~ [Е Х В) 1[8 = Л ([Е Х В[1 Р). з Здесь гг — площадь поперечного сечения трубки тока, индекс 1 указывает на то, что берется проекция вектора [ЕХВ! На линию тока. Объем участка трубки тока длиной сЦ равен Ои =ГЖ, поэтому Ич [Е Х В[ = — — [(Е Х В)1Р). л Подставляя это выражение в уравнение энергии (94)' и учитывая, что И' = 1Й/Ю, получаем Л1В 1 Л рИ'г" — = — — — ([Е Х В)1Р).
рв "1 б 9. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУИКИ 225 Так как секундный расход жидкости рй'г' = С,.„= соазФ вдоль трубки тока не изменяется, то после интегрирования имеем рИ'Гав + — [Е Х В]~ Е = соазс. 1 Рв Отсюда получаем эффективное значение полного теплосодержания [Е Х В]9 а, = ра+ „= соаз1, РЕР9У или РУ9 [Е х В!а 1+ — + Рвоау (143) Итак, эффективное значение полного теплосодержания 1„ включающего электромагнитную энергию, остается вдоль трубки тока постоянным, если поток электромагнитной энергии направлен вдоль вектора скорости. В случае Е = 0 или при параллельности векторов напряженностей электрического и магнитного полей (Е![В) уравнение (143) выражает условие постоянства полного теплосодержания для энергетически изолированной струйки ]в = соазб.
С помощью уравнений (54) и (61) можно исключить вектор Е из уравнения энергии. В самом деле, Е = (ти го1  — [ЪУ Х В] ), откуда [Е Х В[ = (тм [тот В Х В] — ( [Ж Х В] Х В) ) . В проекции на направление линии тока получаем [Е Х В], = [тн [ГОФ В Х В]„+ и [Вв+ В,')). Здесь предполагается, что ось х направлена вдоль струйки (Р = ю =О). Подставляя последнее выражение в (143)', получаем уравнение энергии для струйки при условии Е -~- %, В Л- % В ~;" = рв+ — + Я [гоб В Х В]„= соазб. (144) Рвр РЕРРР Ввиду того что в поперечном сечении единичной струйки все параметры принимаются постоянными (д/ду = д/дз = О), выражение (144) можно упростить. В самом деле, в данном случае (Р = и~ = В, = В, = Е„= Е„= О, т.
е. И' = и, В = Ва, Е = Е,) со- 95 Г. Н. Абрамович, ч, 3 226 ГЛ. ХЦЬ ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ставляющие ротора магнитной индукции ав, ав„ дВх дВ» 1хВ= — * — — "=О, ~уВ= —" — — *=О, да д» ' " д» дх ав„ ав„ в го1 В= —" — — х= » ах ду ах Подставляя это выражение в (144), приходим к следующему виду уравнения энергии для струйки, находящейся в перпендикулярных (скрещенных) электромагнитных полях .* .
в' нв гв 1, = 1Х + — — — — = СОВЗ1. Рва РНРУУ Если Газ обладает очень высокой проводимостью (а,— 0), последним членом в уравнении (146) можно пренебречь, и тогда условие сохранения эффективното полного тепло- содержания для струйки в скрещенных полнх запишется так: .* .х В' 1, =1Х+ — = СОПЗ1. Рва (146а) Уравнение магнитной индукции (84) применительно к единичной струйке также существенно упрощается. При поперечных электромагнитных полях (В„В, = Е„= = Е„= о = и = д/ду = д/дз = О, Р[» = и, В = В„, Е = Е„у =у,) в рассматриваемом случае в уравнении (54) сохраняется только одна составляющая плотности тока у, Ох(Е, + иВ„); иа уравнения Максвелла (68а) для стационарного полн (дв/дх = 0) следует Е = Е.
= сопз1, а из уравнения Максвелла (65), как уже было показано, имеем 1 1 хв~ у, = — ГОФ,В = — — У. Рв Рв хх Отсюда получаем уравнение индукции для струйки в поперечных скрещенных полях дВ„ иВу — — — —" + сопе$, (147) Рвов ах где совз$ = — Е,. и составляющая векторното произведения [тот В Х В), =(Готув)В,— (тот,в)Ву — — —  — „, = — — —,.
(145) ав 1 ав' 5 9. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУНКИ 22т Если проводимость газа очень велика (ох- ), то уравнение магнитной индукции для единичной струйки, находящейся в поперечном магнитном поле, приобретает особенно простой вид иВх СОПЗФ (147а) В случае невязкой несжимаемой жидкости (д= О, р=сопз1) можно вместо (90) получить другую форму уравнения энергии для единичной струйки. Используем для этой цели уравнение движения (82а), которое в проекции на направление струйки (И' = и, и = ю = О) при поперечном магнитном поле (В = В„, В„= В. = О) имеет следующий вид: ди д / В ри — = — — р + — ~. дх дх ~ 2йв!' (148) Интегрируя (148), получаем иг Вг Рс =Р+Р 2 +2 29в (149) Вг Ре = Р*+ — = совет. 2гв (149а) так как при атом д В9 дх ~2ВВ) ' РВ х дх Составим уравнение количества движения для струйки, находящейся в электромагнитных полях. В гл.
1 была получена общая форма уравнения количества движения для единичной струйки, справедливая для всех случаев движения: Р, =г (из — и|). 159 Уравнение (149) представляет собой уравнение Бернулли для струйки несжимаемой электропроводной жидкости, находящейся в поперечном магнитном поле. Третий член этого уравне- В' '1 ния называется магнитным давлением р = — ). При сложе2ив) ' нии р„с полным давлением рх получается эффективное полное давление р„ сохраняющее в данном случае постоянное значение по длине струйки. При действии на струйку продольного магнитного поля (В = В„, В„ В, = О) интегрирование уравнения (82а) приводит к уравнению Бернулли обычного (гидравлического) вида р+ р — = рх = сопзг, 2 33Ц ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
