Часть 2 (1161646), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1 Из урапеиия (194) ясно, что на линиях и = Иг, и и = У1 возможен плавный 4 гАг чаи р переход через значение М = = 1 в первой точке в стороа бу, иу возрастания М, а во вто- Вх рой — убывания. Я, В областях С1 и Ст про- ' В исходит ускореиие потока Ех при уменьшении числа Маха; здесь скорость звука ра- У 1 4г стет быстрее скорости поРнс. 13.20. Возможные режимы одномерного течения з скрещенных злентПолученные результаты ромагнитных полях легко объяснить, если вспомнить, что воздействие электромагнитного поля на течение газа сводится к механической ра- боте электромагнитпой силы, прилозкеииой к единице объема '), — Г Иг= — Иг ЦХВ] и к выделению джоулева тепла, с учетом которого полная под- водимая энергия па единицу объема чтя= В 1.
В рассматриваемом одномерном случае отношение механической работы к полной энергии П= оп'1Š— иВ) иВ и о 11Š— иВ] Е Йlд' 1196) ') Знак минус означает, что при Е ) 0 энергия сообщается газу; выше мы всегда считали положительнод работу, совершаемую газом, 16 Г. Н. Абрамович, ч.. З 262 ГЛ. ХП1. ЭЛКМКНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Если и ) И'„, то механическая работа электромагнитной силы превосходит изменение полного запаса энергии газа, т.
е. механическая энергия частично переходит в энергию электромагнитного поля в виде тока, который может совершать работу во внешней цепи МГД-генератора. Если и ( И'„ то энергия электромагнитного поля передается газу в виде механической работы или тепла (насос или ускоритель). В первом случае электромагнитная сила направлена против движения газа, а во втором — по движению. Во втором случае при П, близких к единице, воздействие поля выражается в основном в виде работы электромагнитных сил, а при П, близких к нулю, — в основном в виде подвода тепла. При и = 1/1, т. е. П = 1/1/И'„ тепловое н механическое действия электромагнитного поля компенсируются, вследствие чего скорость газа не изменяется (Ыи/дх =О), при и = И'з оба воздействия равны нулю '), нз-за чего также ди/с)х = О.
Особенность линии и= 1/з состоит в том, что в точках пеРесечениЯ с ней кривых и(М) изменение значения скорости звука пропорционально изменению значения скорости газа, в силу чего производная от числа Маха по длине канала при и = Г/з всегда равна нулю. Переход через линию и = Г/з возможен на диаграмме рис. 13.20 только по вертикали (при М = сопзс). $12. Простейшие решения уравнений одномерного течения газа в скрещенных полях Простейшее решение уравнения одномерного течения идеального газа в скрещенных электрическом и магнитном полях получается для канала постоянного сечения прн В = сопзс и Е = = сопз1; последние два условия можно реализовать лишь при малых значениях магнитного числа Рейнольдса (йи ~ 1), когда индуцируемые в потоке газа поля значительно слабее наложенных полейз). Поделив почленно уравнение (193) на уравнение (195), найдем и — 11 (197) йМ й — 1 з и — ГГ' 1+ — М' 2 При В = сопз1 и Е = сопз1 имеем И', = сопзг и 1/1 = попас; кроме ') Такой режим получается при отсутствии джоулезз тепла, но зто возможно лишь при отсутствии знектрического тока, а следовательно, и электромагнитной силы, ') Реслер Е.
Л., Сирс В. Р. // Механика: Сб. переводов и обзоров иностранной литературы.— Т. 6, вып. 3/Под ред. Л. И. Седова.— Мл Оборонгиз, 1959. 3 12. ПРОСТЕЙШИЕ ТЕЧЕНИЯ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ 243 того в соответствии с обозначением, принятым в (195), имеем в+1 2 2 1+ам 2 П Ь вЂ” 1 2 Ь вЂ” 1 1+: м' 2 :м' 2 Подставляя это выражение в (197), приводим последнее к виду 2( " 1)( ( " )2( —" — " ( —" — 1) ™вЂ” , = — + — 2( — ". (198) Нетрудно показать, что левая часть (198) есть дифференциал произведения, поэтому 1[ и ( 1)~ 1 +ь — 1)~ ь+Ъ1 откуда и ь 1 2+1 12 +""" (199) Ма ' 2 2 и ( ) Постоянную интегрирования выбирают по какому-либо начальному условию. Например, если принять и=01 при М=1, то получим сопз1= — 1. Тогда имеем и В— — 1 М' — 1 = в+101 в+1 — м и 2 (200) или П Ь вЂ” 12' 1+ — м 2 Найдем теперь изменение скорости по длине канала.
Для этого воспользуемся уравнением неразрывности течения 6 ри = — = сопз1 = т. Подставляя значение ри в (193), находим ,Ь овп' ЬМ' (М' — 1) — = — — — (и — П1) (и — И'„) . Ех 22 и Это выражение с помощью (200) приводится к следующему виду: и (201) где х = х/й, Ь вЂ” высота канала, отсчитываемая по нормали к оси х, а 52 = аиВай/т — параметр магиитогидродинамического взаимодействия, определяемый соотношением (97). 16* 244 ГЛ.
Хгп. ЭЛВМЕНТЫ МАГНИТНОЙ РАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Интегрируя (201), получаем закон изменения скорости по длине канала аяя'х 22 — в х и = — = 1 — — е '" 2+' = 1 — — е 1, (202) ггд й й где Здесь р1 — плотность газа в критическом сечении канала. Градиент давления вдоль канала находим с помощью уравнения движения (188) и выражений (201) и (202) ар аи й — 1 аи Нови~ в„ ах — = ОВВ2 (И'д — и) — т — — — — т — = — ' е ах 2й Ех (й+ 1) (204) Интегрируя (204), имеем нг Р1 1 — вх Р = — е 1 + сопв1. 2й В критическом сечении (М= 1, и=а=01, Р=рь Р=Р1) ° т.
е. при х= О, Р11 2 Рг = — + сопв1. 2й Но, с другой стороны, из формулы для скорости звука следует 2 2 рУ ра Рг = й й позтому РР1' сопв1 = —. 2й Итак, изменение давления по длине канала Р = — = — ~(1+ е- 1). Р 1 Š— Зйп 2 (205) Как видим, й = 0 получается при х = — 1п д)51, й = — 1 при х — — .
Для определения постоянной интегрирования длину отсчитывают от критического сечения, т. е. принимают х = 0 при *й — 1 М= 1, где по условиюи = У1 = И~д— Изменение плотности по длине канала находится из уравнения неразрывности и зависимости (202) 1 Р1 и й и й / 1 — В ив — — — = — = — — = — ~1 — — е 1!. (203) р и, й — 1 И'д й — 1)1 " ! 3 12. ПРОСТЕЙШИЕ ТЕЧЕНИЯ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ 245 1п й 1 При и =О~х = — — ) имеем р=1,2, при й=1 (х = — ) Е,) р = 0,5. Теперь с помощью (204) и (205) нетрудно отыскать изменение температуры вдоль канала, так как из уравнения состояния у Т Р Рг (206) Д)Е™,яа Тт Рт Р Плотность злектрического тока в произвольном сечении кавала 1 = ав (Š— иВ) = апЕ Х Х(1 — — )= — „е л Отсюда для плотности тока в критическом сечении (х = О) имеем авЕ уг = Безразмерное значение плотности тока у = 1 = е ~в".
(207) 1, Результаты расчета по формулам (164) — (207) яе зависят от системы -а 22 л 1Р.2т единиц, так как величина Рис. 13.21. Ивиекевие основных пареиет- 5 = авВ2Ь/т — безРазмеР Ров по клипе плоского канала постоЯнпо- го сечения при Е = Е„= сапам В = В.
= наЯ. КРивые, показываю- = совет; ал = сопв1; й = 1,4; Е щие изменение величин и, а Ввй 1 р, р, Т в зависимости от авВ й 2й — = О,О75 безразмерной длины х = р~уу е "+ 1 =х/Ь, выраженной в долях от высоты канала Ь,приведены карис.13.21; прирасчетеэтих аависимостей использовались следующие значения параметров: а„= 10' См/и; Ь = 1,4; Т, = 2000 К; р, = 9,8 10в Н/м', В~ — — 1Тл. Этим значениям соответствуют величины р~ = 0,167 кг/мв; У/~ =а~ =9,4 102 м/с; И'в=32,1 ° 102 м/с; Е =ТУ~В= =9,4 10' В/и; /~ =2,23 А/мт. При высоте канала Ь= 10 см разность потенциалов на его стенках составляет /хУ = ЕЬ = 94 В, а универсальный покааа- а„В,'й тель степени 5, = — ' — = 0,075. РУ й+4 з4З гл, хпп элзмннты мАгпнтнои глэовон динлмики На рис.
13.21 приведены также кривые изменения по длине канала числа Маха (при й = 1,4) М = — = —" — ' = — — == 3,5= (208) Ь вЂ” 1Н'в ~/Т ' ~/т и относительной величины полного давления о = ~ — „= — "' —" — „' = 0,528 (1 + 0,2Мз)з ' р. (209) Рг г гг р" уравнении состояния р Врт; уравнении движения (188) ри — + — = )В = ов (Š— иВ) В; ви вр вх вв уравнении энергии (189а), которое при Т = совз$ имеет вид ри' — = 1Е = ояЕ (Š— иВ). вх (210) Подставляя (210) в уравнение движения (188), получим нР у и — = — —.
он (211) Исключая из (210) плотность, имеем з Нв — и — = ~'Е, ят нх откуда Р = ЯТЕ з = АТЬ, и и' (212) Разумеется, проведенный расчет носит условный характер, так как не все принятые при выводе формул (202) — (209) условия можно реализовать на практике. В частности, проводимость газа о, существенно зависит от температуры, которая по длине канала изменяется. При переменных значениях основных параметров можно вести расчет численными или графическими методами непосредственно по дифференциальным уравнениям (201) и (204) и соответствующим соотношениям для плотности газа, температуры и плотности электрического тока. Другой вид одномерного течения газа в скрещенных электромагнитных полях получается при постоянной температуре, но переменном сечении канала.
В этом случае вывод расчетных формул основывается на следующих исходных уравнениях: уравнении неразрывности риЕ = сопзс = 6; 6 12. пРОстейшие течения В скРещенных полях 24т ояВТЕ( — — — ~ = ) и (и') дх. 5! ) о (213) Зададимся степенным распределением скорости по длине канала (при Е = сопз1 и В = В(х) ) и = Ьпх" '. и = Ьх", (214) Подставляя (214) в (213) после интегрирования (при п) 1/5), получим (215) Здесь принято во внимание, что при х= О и=О, и'=О, т.
е. при у чь О 1/$3 = О. В случае п = 1/5 интеграл (213) дает логарифмическую функцию, что изменяет вид всех расчетных формул. В рассматриваемом примере плотность злектрического тона в канале авЕТЕ 5„1 у = $иои' = (216) и напряженность магнитного поля В Е (1 ЕТ (53 — 1) Ьаи ) 53„ 23 (217) Давление находим из (212) и (215) 1'я (НТЕ) 53 — 1 Ьи х (218) Площадь сечения канала находится из уравнения неразрыв- ности С354 2 .43 — 1 п х (219) о ЕТ (Е) где и' = '~", 5 =,у, $' = ~. Отсюда при постоянной напряженности алектрического тока (Е = сове() — = ВТЕК . Подстав4(Х у ляя это выражение в (211), получаем ВТЕ"в' = — — = опи .2 3,2 = — — — и, следовательно, ояВТŠ—,= — и (и ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
