Часть 2 (1161646), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(И7а) Для течения Гартмана (1„, =О) из сопоставления (104) и (И7) получаем известное уже равенство (105) — Е* Ео=и, Во. Если электроды замкнуты накоротко (сопротивление внешней цепи В = О), то напряженность электрического тока равна нулю (Ео О) и плотность тока 1.,„= О„Вси„. В этом случае к потоку согласно (107) приложена тормозящая электромагнитная сила Рх = — 1„рВ, = — ояВзи,р. В общем случае выражение (И7) удобно представить в следующем виде: (И8) ') Указанные неравенства для др/дх справедливы н случае жидкого металла; в газе онн могут не выполняться.
1„, = ОиВо(и„— И',), где вычитаемое И', = Ее/Во есть скорость дрейфа. Для того чтобы канал работал на режиме МГД-генератора (1.) О), нужно, чтобы средняя скорость потока была больше скорости дрейфа; в случае работы канала на режиме насоса или ускорителя (1. (О) средняя скорость в канале меньше скорости дрейфа. Знак плотности тока определяет и направление электро- магнитной силы. На основании (107) заключаем, что в МГД-ге- нераторе электромагнитная сила направлена против потока (/г„ < О), а в насосе и ускорителе — по потоку (Г„> О); гради- ент давления по длине канала (без учета трения) в МГД-гене- раторе должен быть отрицательным (др/дх(0), а в насосе или ускорителе — положительным (др/дх ) О) ').
Во всех рассматриваемых в данном параграфе аппаратах, ис- пользующих движение несжимаемой жидкости по плоскому ка- налу постоянного сечения, пригодно уравнение движения (108), которому с помощью (105) можно придать следующий вид: А = — — анЕ,В, = р — — ОНВзи. др до (И9) дх дрз $ З. ВХОД ПОТОКА В МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ВЫХОД 2с7 Уравнение (И9) тождественно уравнению (108а), решение которого получено в предыдущем параграфе. В связи е этим профиль относительной скорости в поперечном сечении канала й(у) и относительное значение коэффициента трения с, не зависят от величины Ео и описываются во всех случаях соответственно уравнениями (1И) и (ИЗ).
Подставляя в (И9) значение А, найденное в з 6 для течения Гартмана, приходим к выражению для градиента давления в направлении течения др Р "ср На дх — = А+ОВЕ В = — — +ОВЕоВо (120) На — йНа ' (121) Используя выражения (97) н (98), получаем из (121) безраз- мерную величину перепада давления (122) и ОВВ~~Ь В насосе или ускорителе (П(1) вычитаемое в скооке меньше уменьшаемого, а в МГД-генераторе (П) 1) — наоборот. Для течения Гартмана (П=1) имеем с учетом (И2) 2Ар х — = — Сг ср 5 8. Вход потока электропроводной жидкости в магнитное поле и выход из него Около концов электродов электрическое поле неоднородно, в связи с чем плотность алектрического тока в этих местах изменяется по величине и направлению.
Как видим, в случае электромагнитного насоса (др/дх)0) напряженность электрического поля должна быть достаточно велика для того, чтооы правая часть (120) оказалась положительной. В МГД-генераторе (др/дх ( О) напряженность электрического поля должна быть такой, чтобы знак правой части (120) был отрицательным. При постоянных электрическом и магнитном полях во всех электромагнитогпдродинамических аппаратах, в которых жидкость течет по каналу постоянного сечения, градиент давления по длине канала не изменяется, следовательно, перепад давления в канале длиной х др ( риса Нас Лр= х — = х~ оаŠ —— дх ( о о Ьс На — СЬНа/ 213 Гл.
хн1. элементы мАГнитнОЙ ГАЭОВОЙ динлмнки Рассмотрим поток электропроводной жидкости в зоне входа в участок канала с магнитным полем (рис. 13 13). Обозначим высоту канала (расстояние между электродами) 2а, а ширину канала 2Ь. Течение в канале будем считать двумерным, что допустимо при условии Ь > а. Начало электродов находится в плоскости х = 0; при х < 0 стенки канала неэлектропроводны. Магнитное поле в области х < 0 д -и„ отсутствует (В = 0), а в области а х > 0 оно постоянно и орнентнровах но по оси у в отрицательном направлении (В„= О, В„= В < О, В, = = 0), т. е. перпендикулярно к плосеу кости рпс. 13.13.
Вязкость жидкости не приннмайл ется во внимание, так что поток при х = — является равномерным Рвс. 1333. Схема течеввя прп (скорость ЪУ постоянна и направлепходе в Участок хавала с 11аг- на вдоль оси х). Магнитное число ввтвым полем Рейнольдса полагаем малым (Йи « « 1)'). Жидкость для простоты считаем несжимаемой (р = сопз!), а течение установившимся. Около концов электродов линии электрического тока деформируются и вызывают возмущение поля скорости: и = У+ и', 1д = 1д'. (123) Дополнительные скорости (возмущення) и', ю' по осям х и з считаем малыми относительно начальной скорости И~, т.
е. и << « И', и1'« И'. Данную задачу можно решить методом последовательных приближений. В первом приближении уравнения движения (82) вдоль осей х и г имеют следующий вид: рИ' — -!- — = — 1,В, рИ' — + — = 1„В. (124) ди' др . д1и' др дх х дх дг х Составляющие плотности электрического тока в первом приближении (при И'= сопз1) согласно (87) определяются как (125) 1„= О,В., 1, = О,(В. + И1В). Здесь В = 0 при х < О, В = сопз1 < 0 при х > О.
Если на участке х > 0 в достаточном удалении от сечения х = 0 стенки (з = ~а) электроизолировать, то поперечная со- ') 3 и!!оп 6. ЪЧ., С аг1л оп А. Ж. Епй еИес!з !и !пч!Эс!й 11оп !и а п1анпе!ЭЬуйгойупвш!сз сЬаппе1 д" У. о1 Р1п!й МесЬ.— 1961.— Ч. 11.— Р. 123 — 131. 3 З. ВХОД ПОТОКА В МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ВЫХОД 219 ставляющая тока у стенок будет равна нулю у, = он(Е, + И'В) = О. Отсгода имеем Е,„= — — = — И'В) 0 дЬ' х~ дх илп в случае В < 0 — <О.
дК дх Следовательно, положительные заряды скапливаются у нижней стенки канала, а отрицательные — у верхней стенки. Если изолированные стенки заменить электродами, то нижний электрод будет положительным, а верхний — отрицательным. Соединив электроды внешней цепью, мы получим в ней электрический ток, идущий от положительного электрода к отрицательному.
В случае стационарного двумерного электрического поля, согласно (25), имеем — "-~- — *= О. д!х д~', дх ' дх (126) Отсюда в нулевом приближении получаем с помощью (125) уравнение для поля электрической напряженности дЕх дЕх — "+ — '=О, дх дх (127) справедливое при И'=сопз1 и В=В(х) во всей области течения ( — <х< ° ). Вводя в (127), согласно (12), электрический потенциал У дн дГ Е= — —, Е= —— хв дх' дх т получаем уравнение Лапласа дг' дУ вЂ”, + —, = О. дх~ дх (128) Граничные условия в зоне расположения электродов (х ) 0) г = ~а, У.
= ~У„. (129) Значение потенциала на электроде (У ) прп высокой проводимости последнего практически постоянно. В зоне изолированных стенок (л < 0) граничные условия записываются в виде х=-+-а, Е,„=у,„=О, т.е. Я =О. (130) Решение уравнения Лапласа (128), удовлетворяющее граничным 220 ГЛ. ХН1. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ условиям (129) и (130), может быть представлено в виде Р Г'= 1Е (131) где 1 ее +4 е~ (езх+1) х = агсз1Н ~Т)= ~е — — у 4 — е'" соз'ц, (132) х е+а х= — я ц= — я. 2а (133) Знак плюс в (132) соответствует значениям я > ц >н/2, минус — значениям я/2 > ц > О.
В справедливости решения (132) можно убедиться, подставив его в уравнение Лапласа (128), которое в переменных (133) приводится к виду дх дх дх" дпз Заменим в выражениях (125) для составляющих плотности тока компоненты напряженности электрического поля (Е„, Е.) производными электрического потенциала (11'е'/1ех, ее 1'/еез), воспользовавшись выражениями (131) и (133): дУ овех дх (х Оя,~ (1.35) 1, Ов ~ — — + И'В1 Оя ~ — (~ — ) + 14'В~. При выбранных знаках поперечная составля1ощая плотности тока 1„ обусловленная электрическим нолем, как было указано, направлена снизу вверх (дпдз ( 0).
Продольная составляющая плотности тока 1. в верхней части канала положительна, а в нижней отрицательна; на оси канала 1. = О. Поперечньш компонент плотности тока 1, внутри канала на участке с электродами в зоне х — (где В ( 0) направлен от отрицательного электрода к положительному (сверху вниз), так как здесь доминирует ток, индуцируемый магнитным полем; на участке изолированных стенок (В = 0) индуцируемого магнитным полем тока нет, и поэтому здесь вектор 1, имеет противоположное направление (снизу вверх).
Таким образом, при входе жидкости в магнитное поле возникает зона замкнутой циркуляции электрического тока, в которой последний меняет свое направление на противоположное. Поле плотности электрического тока (у = ~/ух + 1~1, рассчитанное с помощью формул (135) для случая аИ1В/Р„=2, изображено на рис. 13.14. $ а.
Вход пОтОБА В х1Агнитное пОле и ВЫхОд 221 Рис. 1334. Линии равных значений потенциала и плотности тона при входе потоиа в магнитное поле +а и деля все его члены на 2а, получаем а а — ) РИ' — Ыг = — — ) — с)г — — ) у,т(г. (136) 1 Г ди' 1 Гдр В Г. 2а,) дл 2а,) дл 2а,) Перепишем уравнение (136) в виде а а рй~д Г, 1 д à  — — ) и'~уг = — — — ) рсуг — — ) у,с(г, 2а да ) 2а дл ,) 2а,) ' ° — а — а -а Введем обозначения а а Г 1Г. 2„) Р~~=Р*о 2 ) у*~~=у* в (136а) (137) Учитывая, что из условия неразрывности следует а ~ и'Ыг О, — а из уравнения (136а) имеем (1 38) Используя уравнения движения (124), можно найти изменение среднего по плошади статического давления по длине канала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
