Часть 2 (1161646), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Хгн. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Учет воздействия магнитного поля состоит в том, что проекцию равнодействующей всех сил Р„мы разбиваем на две части: Р„= Р„„+ Р где Р„„— проекция равнодействующей сил; Р— проекция электромагнитной женной на участке струйки 1 — 3. Проекция электромагнитной силы, объема согласно (72), У» —— И Х В).= — (тот 1 рв всех гидродинамических объемной силы, прило- приложенной к единице ВХВ). Проекция на ось х силы, действующей на элементарный объем, составляет ОР = ~,Р йх.
Р = ) — (го1В Х В),1Ь. з рв 1 В случае поперечного магнитного поля этот интеграл можно пре- образовать с помощью (145): Р 1 ( Р,(Дй ~Рв 1 1 (150) Электромагнитная сила, приложенная к конечному участку элементарной струйки постоянного сечения при поперечном магнитном ноле, равна (150а) Сила гидродинамического давления в этом случае составляет Р*й = Р(Р1 Рй). Поэтому уравнение количества . движения для элементарной струйки постоянного сечения при поперечном магнитном поле имеет следующий вид: Р„,+ Р =6(ий — и1).
согласно уравнению нераарывности (6 = риР = сопзФ) Отсюда имеем Вй пй 1 й й й Р, — рй + — = р,и, (ий — и,) = р,и, — р,и,. зрв (151) Здесь Р— площадь поперечного сечения струйки, дх — длина ее элементарного участка (в направлении вектора скорости и). Проекция электромагнитной силы, действующей на участок струйки 1 — 8, $ $0. мьгнитогАзодинАмическве удавные Волны 929 Вводя в уравнение (151) эффективное давление, равное сумме гидродинамического и магнитного давлений в» Рс = Р + Рт = Р + — ~ ЕРв (152) приводим уравнение количества движения для единичной струйки постоянного сечения при поперечном магнитном поле к следующему простейшему виду: р„+ р,и, '= Р„+ р»и«. (153) Иногда удобно уравнение количества движения для струйки постоянного сечения при поперечном магнитном поле представлять в следующем виде: в' Р+ — + ри» = сопзс. звв (154) Уравнение количества движения (154) в отличие от уравнения Бернулли (149) пригодно не только для несжимаемых жидкостей, но также и для газов, т.
е. для сред переменной плотности. й 10. Магнитогазодинамические ударные волны и слабые возмущения Если в пространстве, заполненном газом бесконечно болыпой проводимости, возникла волна магнитной индукции ад (рис. 13.15), то, как будет показано далее, скорость ее распространения выше в тех местах, где больше значение магнитной индукции В. Поэтому эона а у «вершины» волны перемещается быстрее, чем эона Ь, расположенная у «подножия» волны.
Это приводят к тому, что при перемещении в сторону меньшей напряженности поля (вправо на рис. 13.15), куда данная волна распространяется как волна сгущения, она со временем приобретает все более крутую форму, пока не превратится в скачок магнитной индукции. При распространении в сторону большей напряженности поля (влево на рис. 13.15) волна аЬ является волной «разрежения магнитного поля», причем по-прежнему скорость ее продвижения в зоне а выше, чем в зоне Ь, отчего волна разрежения постепенно сглаживается и ослабляется. Исследуем особенности скачка сгущения — ударной волны— магнитного поля. Ввиду сложности теории магнитогазодинамических волн мы ограничимся простейшим примером — прямой магнитогазодинамической ударной волной.
236 Гл. хп1. элементы мАГнитнОЙ ГАЗОВОЙ динАмики Пусть фронт скачка магнитной индукции В расположен перпендикулярно к направлению газового потока (рис. 13.16). Сообщим невозмущенному потоку газа скорость и„равную по величине скорости распространения скачка шм но противоположную по знаку: иа = — Шм В этом случае фронт скачка будет неподвижен, а поток не- возмущенного газа будет натекать на плоскость фронта со скоростью и,. Пусть (рис. 13.16) вектор магнитной индукции перпендикулярен к направлению течения В =(О, В„, 0), т.
е. фронт скачка нн о! Рис. 13.16. Магнитогааодивамичесная прямая ударная волна Рис. 1335. Образование свачяа сгущения и плавной волны разрежения в поле магнитной индукции представляет собой тангенциальный разрыв потока магнитной индукции. Будем также считать, что до и после скачка значения магнитной индукции постоянны (В, = сопз1, В! = сопз1). Так как проводимость среды бесконечна, то к струйке жидкости применима зависимость (147а), найденная в 3 9! ОчВа = И!В! = СОНЭК. Иначе говоря, скачкообразное возрастание магнитной индукции (В! ) В,) требует скачкообразного уменьшения скорости течения (и!(и,). При этом, согласно уравнению неразрывности, произойдет также скачок плотности газа (р! ) р,) р! ин рн в! и в соответствии с уравнением количества движения (151) скачок эффективного давления р,! — р„= р,иа(и, — и!).
(157) Поэтому согласно (155) и (156) плотность в скачке должна возрастать. З 20. МАГНИТОГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 231 Итак, скачок магнитной индукции в газовом потоке, пересекающем линии индукции, обязательно совместится со скачком уплотнения, т. е. мы имеем дело с магнитогазодинамической ударной волной. Для замыкания системы уравнений (155) — (157) добавим условие сохранения эффективного полного теплосодержания (146а), которое согласно (155) и (156) запишем в виде В„и„ 2 2 2, = 2+ — + — = сопзс, 2 Р Рви (158) и уравнение состояния Рн Рг — = — = В.
рнтн р,т, (159) (160) откуда следует, что скорость распространения ударной магнитогазодинамнческой волны в покоящемся газе (юс) или равная ей по величине скорость потока, которая останавливает встречную волну (ив), составляет 2 Рсг Рсн Рс п'в = ин = Рг — Рн Рн (160а) Из (160а) следует также Рсс с си ини, = Р2 Рн (161) Формулы (160а) и (161) отличаются от соответствующих формул (5) и (10) гл.
П1 для обычной ударной волны только тем, что в них давление (р) газа заменено эффективным давлением (р,). Представим на основании (83) эффективное давление в виде суммы гидродинамического и магнитного давлений яв Рс = Р+ Рвс = Р+ —. 2Рв Решая совместно систему ив пяти уравнений (155) — (159), можно по заданным значениям скорости распространения прямой магнитогазодинамической волны (юс = — ив) и параметров состояния газа и магнитного поля перед фронтом волны (р„р„ Т„В,) найти значения относительной скорости газа (и2) и параметров газа и поля (Рь рь Ть В1) аа фронтом волны.
Если известны параметры состояния невозмущенного газа и прирост давления в скачке, то нетрудно определить скорость распространения магнитогазодинамической волны. Из уравнений (157) и (156) получаем 2 Рн Рсг — Р и = кн (Р2 — Рн) Рс 282 гл. хпь элвмвнты магнитнои газовон динамики Тогда формулы (160а) и (161) примут вид в в Рг Рн Рг  — Вн шь = пн — + Рг — Рн Рн зрв (Рг — Рн) Рг — Рн Вв — Вв — н+ Рг Рн Рв (Рг Рн) (162) Рн (163) Магнитная индукция эа фронтом волны больше, чем перед ним (В1 ) В ), поэтому магнитогазодинамическая волна (162) распространяется быстрее, чем обычная волна сжатия той же интенсивности. Из уравнений магнитной индукции (155) и неразрывности (156) имеем Вг Вн Рг Рн (164) Подставляя это отношение в (162), приходим к следующему выражению для скорости маги итог а води намической ударной волны: Вв и'ь = Рт Рн Рн 2Рврн т Рн ) Рн (165) В предельном случае очень слабого разрыва (р1 вн р„р1 = р„ В1 =В,) получаем скорость его распространения в направлении, перпендикулярном к линиям напряженности магнитного поля: в Ыр В' р Рт шь = с,ь — — — + — = й — -~- 2 — ° ВР РвР Р Р (166) а второе слагаемое — квадрат скорости распространения волны Альфвена РвРн Р Отношение скорости волны Альфвена к скорости газа введенному в т 5 числу Альфвена (см.
(96)) "= н. =.„)/,,Р„ (168) равно (169) ') Ниже будет доиазаио, что в слабых магиитогазодииамичесиих волиах лр ГР осуществляется идеальный адиабатичесний процесс, для которого ЬР Одеев первое слагаемое правой части есть квадрат скорости звука в гаае ') НР Р (167) $10.
мАГнитогАзодинхмические удАРные волны 233 Из (167) — (169) получаем Рг» Ь д = — = — МзАз. 2 (170) В магнитной газодинамике доказывается, что волна Альфвена распространяется со скоростью Ь, вдоль силовых линий магнитного поля (Ь,(~В,) в газе бесконечно большой проводимости (ов — ) и представляет собой слабую вращательную волну (составляющие скорости и магнитной индукции, касательные к ее плоскости, поворачиваются, не изменяя своей величины); существование таких волн было открыто Альфвеном в 1942 г. В волне Альфвена плотность и давление не изменяются, и она имеет конечную скорость распространения в несжимаемой жидкости. Итак, скорость (166) распространения слабой магнитогазодинамической волны (слабого раарыва) в направлении, перпендикулярном к линиям магнитной индукции, превышает скорость звука и составляет сь = )/ а,', + Ьв. (171) Можно показать, что вдоль силовых линий магнитного поля слабые магнитогазодннамические волны распространяются либо со скоростью звука а„либо со скоростью Альфвена Ь,.
Из магнитной газодинамики известно, что в общем случае скорости распространения слабых магнитогазодинамическихволн, которые подразделяются на быстрые (с) и медленные (с') „ а также скорость распространения альфвеновской волны (Ь) зависят от угла 6 между выбранным направлением и вектором магнитной индукции В: Ь =Ь,созб, т lг+ 1 + У(г+ 1) — 4г соз Е с = ~в 1г' 2 (172у ч 1 г+ 1 — г' (г+ 1) — 4г сов 6 2 Ф с' = с(( = Ь„(при г ) 1), с' = с1 = ав (нри г ( 1). Ь=Ь„, с=с1 =а„, Ь=Ь„, с=с1=ья, В другом частном случае О = я/2 (распространение волн в направлении нормали к силовым линиям) имеем Ь = О, с= с, =~/ав+ Ьз, с' = сд — — 0 (при г~1). Здесь г = аа/Ь,',. В частном случае, когда 6=0 (распространение волн вдоль силовых линий), имеем 234 тл.
хпь злвмвнты матнитнои тнзовои динамики В отличие от слабых (акустических) волн обычной газовой динамики, которые изотропны (распространяются во всех направлениях с одной скоростью), магнитогазодинамические слабые волны анизотропны и, кроме того, подразделяются на быстрые и медленные. Перейдем к отысканию основных соотношений между параметрами газа и поля в магнитогазодинамической ударной волне. Из (155), (156), (168) и (169) имеем Р нн (173) Рн н~ Вн Ьнн Ан Если обозначить отношение давлений за и перед фронтом ударной волны п= —, (174) Рн то отношение температур, согласно уравнению состояния, можно представить в виде (177) Используя известные соотношения с, — с„=В, с, = Йс., выражение (164) и уравнение неразрывности (156), преобразуем уравнение знергии (146а) к виду * ь — 1 а — 1 и Т=Т,— — и' —— 2ая йл Р р' Из уравнения состояния (159) и формулы (176) находим давление газа р = РВТ, — 2 Ри' —— * а 1 2 й 1 В (177) й Из (177) получаем величину перепада давлений в ударной полне * а — 1 Л вЂ” 1 н Рт Рн Вн р, — рн = (р, — рн) ВТ, + — ини, (р, — р„) — — „ Рн Рн (178) Здесь приняты во внимание постоянство эффективной температуры торможения (Т, = Ыеш) и следующие из уравнения индукции (164) и уравнения неразрывности (156) равенства Рви„'— Р,и~~ = и„и, (Р, — Рн), Рнин + Р,из = ини, (Р, + Рн), 3 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
