Часть 2 (1161646), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Численные значения магнитной вязкости обычно намного больше значений кинематической вязкости. В общем случае, когда ни одним из членов в правой части уравнения магнитной индукции прене- Это уравнение тождественно уравнению вихря скорости в гидродинамике идеальной жидкости, которое означает, что линии вихря движутся вместе с жидкостью. Но в данном случае речь идет о линиях магнитного поля, которые оказываются жестко связанными с веществом — «вмороженнымн», н если частицы жидкости движутся, то линии магнитной индукции перемещаются вместе с ними (частицы ве могут пересечь линий индукции).
«Вмороженность» магнитных линий связана с тем, что прп изменении потока вектора магнитной индукции через контур в вем появляются электрические токи, препятствующие изменению этого потока, причем тем большие, чем выше о,; прн о,- измевевие потока индукции становится невозможным. Движение вдоль силовых линий ве сказывается на поле; при движении в поперечном направлении силовые линии полностью увлекаются вместе с веществом (если а„- ). В случае неподвижной среды (»»'=О) уравнение индукции имеет внд уравнения диффузии или нестацпонарной теплопроводности (уравнения Фурье) — = — ЛВ. дВ 4 д«рвов й 4. уРАВнения мАГнитнОЙ ГАзодннАьпткп 197 бречь нельзя, силовые ливии стремятся двигаться вместе с веществом и одновременно просачиваются сквозь вещество. В книге использована система единиц СИ.
Недостатком системы СИ является то, что в ней, в отличие от системы СГСМ, магнитная проницаемость и электрическая постоянная вакуума являются размерными величина~ми, отличнымн от единицы. й 4. Уравнения магнитной газодинамики Уравнения гпдродинамики (и газовой динамики) злектропро- водной жидкости при наличии злектрического и магнитного по- лей должны в отличие от уравнений гидродинамики непрово- дящей жидкости содержать дополнительный член, учитывающий электромагнитную объемную силу. На элемент объема проводника (или проводящей жидкости) йи, если по нему протекает ток плотностью ), со стороны маг нитного поля действует сила Ампера (40) Ля = Ц Х В] с[и, а со стороны злектрического поля — сила Кулона (2)' с[1. = Ер„о с[и, где Р.о — плотность зарядов в объеме с)и (ртейи = Ыд). Таким образом, полная объемная электромагнитная сила, приложенная к объему Ыи: Л = Л.
+ Ня = [р.еЕ + Ц Х В] )с[и, (70)' сила, действующая ва единицу объема = Ее + Ен РзоЕ + [3 Х В) (71) Оценка порядка членов в соотношении (70) показывает, что силой Кулона часто можно пренебречь'). Тогда с учетом (65) величина силы Кулона оценивается следующим ') Относительная образом: ]Р оп[ Р еЕ [3 Х В) ) ов)РВ 11 где Р,о — — 0)чР ~ е,Е. Отсюда [ РзоК [ Е' е.)У [ [3 Х В) ) Вз)уз Вон ' Согласно (52) Е)В = КЮз есть скорость дрейфа, которая, как известно, является величиной порядка скорости потока, в системе С)1 е, — 10-", линейный раамер Ь вЂ” порядка 1 и, сз — порядка См/и.
'Таким образом, даже при скоростях потока И' парадна 10' км/с относительная величина силы Кулона имеет порядок 10 ', 196 Гч. Х111. элементы мАГнитноя ГА30ВОЙ динАмики получаем для электромагнитной силы, приложенной к единице объема, выражение г = [] Х В] = — [го1 В Х В]. (72) Рв Проекции вектора электромагнитной силы на оси прямоугольной системы координат составляют г"'„=(1'„В, — ]',В„), г"'„=(1,В. — 1,В,), г"', =(1„„— 1'„В„), (72а) или в другой форме (при замене согласно (65) вектора плотности тока ротором вектора магнитной индукции) дВ« дВ дВх 1 дВз р-Р =а  — аВ = — х+ — х+ —" — —— В- х У х т У «дх У ду г д«9 дх дВ« дВу дВу 1 дВЗ рву'у=а,В« — а«В,=В„у +Ву д +В, у 2 д ' (726) дВх дВ«дВх 1 дВ р г", = а„„— ауВ« = Вх — ';+Ву — '+ В,— * — — —.
в дх ' ду д« 2 д« Здесь В' = В~ + Ву + В~ — величина вектора магнитной индукции, а=го1К. При выводе выражений (726) было иопользовано также условие неразрывности магнитных силовых линий (63). Добавляя силу г (72) в правую часть уравнения (28) из гл. П, получим уравнение движения электропроводной жидкости в электрическом и магнитном полях в векторной форме (при и = сопз1) или р — = К вЂ” лгай р+ рпдг + д% д1 + — р йгай (й[ч%) + — [го1 В Х В].
(73а) 1 1 3 Рв Для газа система дифференциальных уравнений должна включать уравнение энергии, В случае злектропроводного газа, находящегося в магнитном и электрическом полях, правая часть уравнения энергии (42) из гл. П должна 'содержать дополнительный член (28), выражающий плотность джоулева тепловыделения (тепловыделение на единицу объема). Тогда уравнение энергии для электропроводного газа примет следующий вид (при Л=сопз$, р =сопз1): р — = — + ЛЛТ+ рФ+ —, д1 др д1 д1 Ов* (74) р —, = К вЂ” ягай р+ рЛ%+ — р лгай (й[т тт') + [1 Х В] (73) дту 199 1 ь уРАВнвния мАГнитнОЙ ГАзодинАмики или с учетом (65) р — = ~ +)дЬТ-[- рФ+,'[го1В)з. дс а ов (Рв) (74а) К уравнениям (73) и (74) следует добавить уравнение магнит- ной индукции (68) — 1[9У Х В[+ — ЛВ, дВ 1 дс Рвов (75) гидродинамическое уравнение неразрывности — +йУР%= 0 др д~ (76) и уравнение состояния р=[(р, Т), (77) р — „=  — йтайр+ рЛ%+ [1Х В[, дп~ (78) или р — = К вЂ” йгабр+ рЛ%+ — [го1 В Х В) (78а) дар 1 д$ Рв уравнения энергии (43) из гл.
П, которое разрешается незави- которое в случае совершенного газа заменяется уравнением Клапейрона. Система уравнений (73а) — (77) является полной системой дифференциальных уравнений магнитной газовой динамики. Если уравнение движения используется в форме (73), то в систему уравнений необходимо ввести уравнение закона Ома (54), уравнения Максвелла (61), (63), а также уравнения (65) и (68). В этих уравнениях мы пренебрегаем электростатической силой Кулона; если принять во внимание силу Кулона, то получится полная система уравнений электромагнитной газодинамики. Для несжимаемой жидкости система уравнений (73) — (77) упрощается, так как уравнения движения решаются независимо от уравнения энергии, отпадает надобность в уравнении состояния (77) и более простой внд имеют уравнения неразрывности (76 и движения (73).
аким образом, полная система уравнений магнитной гидро- динамики несжимаемой жидкости в векторной форме состоит из уравнения движения 2ОО Гл, хпь элементы мАГнитнОЙ ГАЗОВОЙ динАмики симо от остальных уравнений: рс — = АЬ7'+ рФ + — „ дт 1 дг оа (79) уравнения магнитной индукции — = го1 [% Х В) + — ЛВ, дВ 1 дг 1гвов (80) уравневия неразрывности 61ч% = О. (8$)' Если уравнения движения и Энергии используются в форме (78) и (79), то для получения замкнутой системы нужно добавить уравпевие закона Ома (54), уравнения .Максвелла (61), (63) и уравневие (65). Если перейти к проекциям на оси прямоугольной системы координат хуг, то векторное уравнение движения (78) распадается на три уравнения движения: 1ди ди ди ди 1 р~ — +и — +о — +и — /= (, дг дх ду дг ) др 7 д и д и д~и г = — — +Р~ — + — "+ — ~+(7,В,— 7,В„)г дх дуг дгг ) (ди ди ди ди'1 р~ — +и — +р — +ш — /= (1 дг дх ду дг/ др гди ди диг = — — + Р1 — + —,' + — '~ + (7гВх — 7„В,), дУ ~ дхг дуг дгг ) ! ди~ дш ди ди> '1 р~ — +и — +э — +и — ~= ~д1 дх ду дг/ др 1ди~ д~и д~и1 = — — ' + р ~ —, + —, + — ~ + (/„Ви — /„В.).
дг ~ дхг дуг дгг ) (82) Используя зависимости (72а) и (726), систему уравнений движения можно привести к следующему виду: ! ди ди ди ди 1 дрг — +и — +о — +и — = — — + ~ дг дх ду дг/ дх 1дзи ди дги 1 ° $ l дВх дВх дВх1 +р — + — + —, + — Вх — +Ви — +Вг — „ '1дх~ ду дг~) 1гл1 "дх "дУ дг / 1 ди ди ди ° ди 1 дРг р — +и — +р — +и — = — — + '1 дг дх ду дг/ ду 7 дги дги дги '1 . 1 ( дВу дВу дВи ) + р ~ — + —, + — ~ + — („— у+ „— у+ В, — )г дгг) рд~ "дх "ду дг/' $ С.
УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ 20$ Рдш дш дш дш 1 др» р ( — + и — + сс — + ис — ~ = — — + ~ да дх ду дг ) дг ~ д»а дуа д а ) рв дх ду В зти уравнения входит величина Ва Р =Р+ — » » 2ив (88) называемая эффективным давлением, которая представляет со- В' '1 бой сумму гидродинамического (Р) и магнитного Рт 2р ) давлений. Отметим, что в уравнениях (82) иезлектромагиитные силы '(сила тяжести и др.) для краткости опущены. Векторяое уравнение индукции (80) в прямоугольной системе координат также распадается иа три уравнения: д Вх д Вх 1 диВх + — + — ~+ — + дуа д»а ~ дх диВ» диВ» / ди + — + — — Вх( — + ду дг "~ дх дВи дВи 1 диВх + —" + —," ~ + — + д а дга ~ дх диВи диВ / ди + — "+ — * — В ( — и+ ду дг "~ дх дВ» дВ» 1 дшВ» + — + — ~+ — + дх дшВи дшВ» ( ди + — "+ — * — В,( — и+ ду дг»~дх дВх т д В» дС Рвов дх дВи дс (84) дВ, р — = — + )иЬТ+ рФ+ (госВ)а, др 1 »СС да (ссв) вв (85) где в соответствии с теорией поля (дв)' ( дв)' ( дв)' (86) В уравиеиии энергии (74) член, учитывающий джоулево тепло, можно выразить через магнитную индукцию, Для этого следует использовать уравяеяие Максвелла (65).
В результате получим воз гл хпв элвмвнты млгнитнои газовои динамики Уравнение закона Ома (54) в проекциях на оси координат имеет вид 1.=а [Е„+(иВ,— шВ„)], 1„=о [Е„+(ш„— иВ,)], (87) ).=о„[Е,+(и„— иВ„)]. Прп р=совз1 гндродинамическое уравнение неразрывности имеет вид ди дх де — + — + — =6, дх ду дх поэтому уравнения магнитной индукции (84) упрощаются, так как последние члены в их правых частях равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
