Часть 2 (1161646), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Тогда из закона Ома следуетЕ„= — /т — — О. Р ав По закону Ома плотность тока в проекции на ось г равна /. = ОДЕ, + иВс) . (104) Если боковые стенки я =ма также являются изоляторами, то суммарный ток в направлении оси г ь Г ь 1, ( у,Ну '(х,26.(-В, ( Ыу) О. -ь -'о $ о. течение Вязкой жидкости В пОпеРечнОИ пОле 2ОИ Так как величина 1 Г ч Ь ) ийу=пор -ь В* = — Вои„. (105)' Подставляя (105) в (104), приходим к окончательному выражению для плотности тока /, = ааВо(и — и„). (106) Как видим, несмотря на то, что суммарная сила тока нулю, ток в направлении оси з течет, причем в слоях с скоростью (и ( и„) плотность тока отрицательна, а в большой скорости (и ) и„) — положительна.
Электромагнитная сила — последний член в правой уравнения (82) — в данном случае составляет Ви= — 7',В = — О В (и — и,). равна малой слоях части (107) Из (107) следует, что в средней части сечения канала электромагнитная сила отрицательна (тормозит поток), а у стенок— положительна (ускоряет поток). Так как У, = О, то суммарная электромагнитная сила, приложенная ко всему потоку, также равна нулю. В связи с изложенным уравнение движения (82) вдоль оси х запишется так: др дви 0= — — +р — — 7В.
дв а о' у (108) Отсюда на основании (106) имеем др в ди А = ИорНЕВо = )ь — в — ОНВои. ди ду (108 а) Из уравнения движения (82а) для оси у имеем откуда следует, что величина др/дх не зависит от р. Левая часть уравнения (108а) зависит только от х, а правая только от у, поэтому А должно быть величиной постоянной (А = сопзФ).
После приведения к безразмерному виду имеем АЬ ди и — — в — На'и. Ри дув (109) 14 Г, Н. Абрамович, ч. З есть средняя скорость потока, то напряженность электрического поля 21О Гл. хпь элементы мАГнитнОЙ ГА30ВОЙ динАм1тки Гок Здесь На = ВвЬ а1 —" — число Гартмана и — безразмерный ко- ' 1' ° и у эффициект, и = —, у = — — безразмерные значения скорости вар' Ь и расстояния от оси канала. Интеграл этого неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами есть и = С,сЬ(у На) -)- С,ЗЬ(уНа) + — ", На Из граничных условий й=О при у=+1 определяются постоянные интегрирования НавсЬНа Таким образом, скорость течения жидкости в канале и ( сЬ(у На) ~ Йав ( сЬНа (ИО) Из определенпя средней скорости (для половины канала) ь 1 1 Г и,р —— — ) и с1у = и,р ) и ду ь3 следует 1 ) иду =1.
о Подставляя в этот интеграл значение й из (ИО), имеем и Г ГЬНа1 и На 1 = —.~1 — — ~, или Нав ~ На ~' Нав На — $Ь На' Подставляя этот результат в (ИО), приходим к окончательному выражению для скорости потока сЬ На — сЬ(у На) и =На На сЬ На — вЬ На' (И1) При На — 0 имеем и= —,(1 — у ), (И1а) т. е. предельным профилем скорости в канале для неэлектропроводкой жидкости, как и следовало ожидать, является профиль Пуазейля (см. гл.
П). Максимальное значение скорости ва оси какала (при у =0) согласно (1И) равно На (сЬ На — О На сЬ На — вЬ На 5 в. Течение ВязкОЙ жидкОсти В пОпеРечнОм пОле 21$ с=— с-сс У д УУ ад Лк Рнс. 13.10. Зависимость максимальной скорости и коэффициента тренин от числа Гартмана Рис. 13ТЬ Профили скорости при различных значениях числа Гартмана Выравнивание профиля скорости с увеличением числа Гартмана ведет к возрастанию градиента скорости у стенки, что вызывает рост силы трения. Градиент скорости, согласно (1И), ди иср ди иср На вЬ(у На) ду д д Ь На сЬНа — вЬНа у Отсюда по формуле Ньютона находим напряжение трения у стенки (при р=Ь, т. е.
у =1) (дк ) "ср1~ Нав вЬ На 1ду /тт Ь На сЬ На — вЬ Нов или в безразмерном виде тн 2 нав сЬ на (И2) кв а НвсЬНв — вЬНа Р— Ы р 2 Здесь й = ри„о()в — число Рейнольдса. Прн На — имеем сс— при На - О из (И2) получаем известную формулу Пуазейля С1 6 (И2а) 14в Профили скорости в поперечном сечении канала при различных значениях чисел На, вычисленные с помощью (И1), изображены на рис.
13.9. Усиление магнитного поля приводит к выравниванию (уплощению) профиля скорости. При На= имеем й=й =1. Как видно на рис. 13.9, при больших значениях числа Гартмана течение состоит У,а нз ядра постоянной скорости и Ф сравнительно тонкого пограничного слоя. 212 Гл. хне элементы мАГнитнои ГАЗОВОЙ динАмикн Поделив почленко (И2) и (И2а), найдем отношение коэффицнентов трения при наличии и отсутствии магнитного поля с1 Наг 1Ь На с1 = З На — ЕЬ На' (ИЗ) 1с (На~3) ЙНа-1, по- формула (ИЗ) прннп- Прн больших значениях числа Гартмана этому в случае сильного магнитного поля мает следующий вид: 1 с1 = — На.
з (ИЗа) Функции (И1а) и (ИЗ) изображены графически на рис. 13АО. Опыты Гартмана, Лазаруса и Маргетройта ') подтверждают справедлпвость найденных выше закономерностей течения Гартмана. Изменение давления по длине канала можно найти из равенства (108), при условии что на стенке и = и„ = 0: др — г )д и) А = — — исронВо = р '< — г ) . дх ~ду~/х' иср На сЬ(у На) На сЬНа — зЬНа' У стенки при у = 1 имеем < д и1 иср На г з дуг11, Ьз На — гЬ На' Следовательно, др г Риср На А= — — и ОЕВ = —— дх сР о = Ьг На — гЬНаз (И4) Из сопоставления (И4) с выражением (И2) имеем — = — с1 др (И4а) дх Этот результат можно получить также исходя из того отмеченного выше факта, что в течении Гартмана суммарная электромагнитная сила равна нулго, вследствие чего изменение давле- ') Г а р р н с Л.
Магннтогндродннамнческне течения в каналах.— Мл ИЛ, 1963, Согласно (1И) ди сорди ду Ь дуг или в безразмерном виде при др 26 др дх риз дх ср Х =Х1Ь 2 Наг гЬНа а На — гЬ На' з в. течение Вязкои жпдкост11 В поперечном пОле 213 ния уравновешивается силой трения на стенке ар ар 2т„дх = — 2Ь вЂ” с)х, т. е. = = — ср дх '' ' ' ах Так как по условию дВ„!дх = О, то д (Вас) = рвавЬ(иср — и), ду илп в соответствие с (101) д (Вх1Во) ' = кн(1 — и). ду Отсюда с учетом (111) имеем Вх 1 — НаусЬНа вЬ (у На) В ~ НасЬНа — вЬНа+НасЬНа — вЬНа1 о Учитывая граничные условия В =0 при у=1 п у=О (при отсутствии суммарного тока индуцируемое магнатное поле вне канала отсутствует), находим, что постоянная С=О.
В результате получаем Вх й БЬ(у На) — увЬНа В и НасЬНа — вЬНа ' о (115) Итак, в течении Гартмана возникает магнитная индукция в направлении оси х, относительная величина которой пропорциональна значению магнитного числа Рейнольдса. В связи с наличием магнитной индукции В„ давление по сечению канала переменно. Изменение давления в поперечном направлении можно определить из уравнения движения (82) в направлении оси у. В условиях данной задачи (и = О, и1 = О, а также д/дх = д!дз = 0 для всех величин, кроме давления) уравнение движения в проекции на ось у имеет следующий видо 0= — д — +1,Вх, ар ау пли 0 = —,— + ОЕВ~ср В (и — 1). др Вх о Прп наличии суммарной электромагнитной силы условие 1, = 0 не выполняется и 'равенство (114а) несправедлпво.
Остановимся теперь на электромагнитных особенностях течения Гартмана. Из закона Максвелла (60) и формулы (106) получаем в проекции на ось з дВу дВх —" — — = рвоаВ (и — и ). ах ау — о ср 214 гл. хпь элвмкнты магнитнои газовои динамики Отсюда получаем зр в Вх — = — онВопср — (1 — и), ду В, или в безразмерном виде для р-2р/(ри,'р), у=у/Ь и 5о, определяемого из (97), Р = — 25» (1 — и). (И6) ду Во Итак, градиент давления в поперечном направлении пропорционален величине критерия магнитогазодинамического взаимодействия 5о.
Расчеты, проведенные по формулам (Иб), (И5) и (И1), показывают, что поперечный градиент давления значительно меньше продольного др(ду ~ др/дх. -1 -ей у г7л Рис. 13.11. Кривые распределения плотности тока, магнитной индукции и градиента давления в поперечнои сечении канала при На = й На рис. 13.И изображены кривые распределения безразмерных величин плотности электрического тока 1„магнитной индукции (В ) и градиента давления ро по высоте канала, рассчитанные соответственно по формулам (106), (И1), (И5) и (И6), при На=5 В» 1 х вЬУНо — УвЬНа Р В НасЬНа — вЬН»~ и о 1 др»» 28 Р Вху о нзу ,» 1 ух а Ви 1»=и ан оиср пнут Здсь Ян = уваяЬиср 5о= — '. ср' е ри я 7.
мАгнитогидРОдинАмические нАсОсы и ускОРители 315 9 7. Магнитогидродинамические насосы, ускорители, дроссели и генераторы Злектромагнитная сила, которая вызывается электрическим и магнитным полями, приложенными к потоку электропроводящей жидкости, может быть направлена по потоку или против потока. В первом случае электромагнитную силу можно использовать как средство для повышения давления (электромагнитный насос) плп как средство для увеличения скорости течения (реактивный двигатель).
Во втором случае электромагнитная сила тормозит поток (электромагнитный дроссель)'). Если электрический ток, нндуцируемый магнитным полем в потоке жидкости, направить во внешнюю цепь, то получится магнитогидродпнамический генератор тока (МГД-генератор) . Зависимость пндуцируемой разности потенциалов от средней скорости потока используется для измерения расхода жидкости (магнитогпдродпнамический расходомер) . Все эти способы использования электромагнитогидродинамяческих эффектов можно рассмотреть на примере течения электропроводной жидкости в плоском канале, который помещен в электромагнитное поле; один случай такого течения разооран в предыдущем параграфе (задача т Гартмана).
В течении Гартмана пред- е полагалось, что стенки кана- л ла являются изоляторами, г и суммарный электрический ток, возникающий в направ- Р ленни, перпендикулярном как к вектору скорости, так Рнс. 1ЗЗ2. Схема канала с боковыми и к вектору индукции нале- стеакамн-электродным женного магнитного поля, равен нулю, вследствие чего полная электромагнитная сила также равна нулю. Если боковые стенки канала (л = ~а) представляют собой алектроды, соединенные с внешней электрической цепью, то электродвпжущая сила поддерживает разность потенциалов на этих электродах.
Внутри канала (рис. 13.12) ток течет от электрода 1 к электроду 2, во внешней цепи в в обратном направлении. Средняя ') Ш еркл нф Д. А. Теория электромагнитного нзмерення расхода.— Мл Мнр, 1965. 21З Гл. хн1, элементы мАгннтнои РАЭОВОЙ динАмики плотность тока в канале согласно (104) ь 1 Г. 1* ср = Б ) 1з г)у = он ( Ео + исрВ) — ь (И 7) а местная плотность тока 1. = Ои( — Ео+ иВо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
