Часть 2 (1161646), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(90) 2 ~/л При полностью диффузном у~ отражении молекул от стенки (о = 1) имеем ду 4х Р= Реях ~1+ т У,7 т = = рс С. (100) 2 ~/л У В формулах (95) и (96) ско- рость набегающего потока Рис. 12тх Вспомогательные фувкпии считается положительной, ехр ( — ~У~!сх„) н ег1 (У~с ) если вектор У направлен к обтекаемой поверхности, и отрицательной, если этот вектор направлен от поверхности. Иначе говоря, при расчете сил, возникающих на передней стороне тела (обращенной к набегающему потоку), нужно считать скорость положительной ((7) 0), а на задней стороне тела — отрицательной (У(0).
Так как здесь под У понимается абсолютная величина скорости, то для передней части тела (У ~ 0) формулы (95) и (96) пригодны без изменений (р„=р, т,.=т); для задней стороны тела (У(0) формулы (95) и (96) нужно записать в следующем я 7. АэгодинАмические сипы при ыолекулярноы течен11и 103 виде с„, т ч= —. с и~= *Р( — — ) — — (! — Г( — )]) оси Для облегчения расчетов по формулам (95), (96), (101) н 172 (102) в табл. 12.5 приведены значения функций ехр сщ /17 ~ с7 и ег1~ — ~ для различных величин —. По этим данным построе- ~ с ст ны также кривые на рнс.
12.9. Е 7. расчет аэродинамических спл прн свободно-молекулярном обтекании твердых тел В предыдущем параграфе указаны методы определения нормальных н тангенцяальных напряжений, возникающих на элементарной площадке поверхности тела при свободно-молекулярном обтекании. Найдем аэродинамические силы, действующие на тело в целом. Пусть скорость невозмущенного потока С составляет угол р с элементом поверхности тела (~местный угол атаки), тогда угол 7р между вектором С и нормалью 1У к поверхности (рис. 12.10) 2 г~г Следовательно, проекции скорости па нормаль и касательную к поверхности составляют соответственно С =С соя <р = Ся1п р, (103) И'= Ся(п 1р = С соя р.
Рис. 12.10. К определению аэродина- мических сил на пластине при иоОпределим силы, действующие лекулярнои течении газа на пластину. Нормальная к пластине составляющая аэродинамической силы равна произведению площади пластины на разность давлений, приложенных к передней и задней ее сторонам: Рч = (рч — рз) ~' (104)' ГЛ. Х1Ь ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ Тангенциальная сила равна произведению площади пластины на сумму напряжений трения, возникающих на обеих ее сторонах; Рр =(т, + тз)Р. (105) Подставляя (103), (95) и (101) в (104) н принимая для простоты о = 1, Тхп= Т„ = Т„ найдем величину нормальной силы 1 р 1 2 Ся!об рс С я!п р'р с На основании (103), (96) и (102) получим пз (105) величину тангенциальной силы р,=р,.с...Ср( — '..р( — ' "," р) р. с~"'р.,р(ср'р)) (107) Теперь нетрудно определить суммарную аэродинамическую силу, направленную перпендикулярно к скорости набегающего потока, т.
е. подъемную силу на пластине Р„= Р„соя|3 — Рся1п(3= —,Ррс сояр~ — у я+ ег1!3 )] ГСВ!пр .г — ГСя!пр! с„, с,п (108) и суммарную аэродинамическую силу, направленную по скорости набегающего потока, т. е. силу сопротивления пластины Р„= Р„Я(п(3+ Р,соз)! = 2 Рс Р[= ехр, + и ~рп с~~ с ср ~ ср, Найдем из (108) и (109) аэродинамические коэффициенты пластины прн свободно-молекулярном обтекании 2 1РР Г СЗ1п)31! Сп —— = сояря(НРр "!р я —.
+,, ег1— 1, С яга)1 С'я,п-р с (110> Рп . ! 2 срр / С я1а (3'~ с„= ' = я(п(3 = —.ехр — ' + 2 РС Г 1 р ~ ~/ СЯ!п(3 ~ Р ) рр .р с У ~ с~-( —,.рр) р(, )] !рррр з 7. АЭРОДинА31ические силы НРи мОлекУлЯРнОм теченгги 1С5 Коэффициенты с„н с, можно выразить в функции числа Маха, если с помощью (57) и (63) вероятную скорость хаотического движения молекул с„заменить скоростью звука. В соответствии с этим имеем г = — ' = М ~тзг —. (112) Зависимости с„(М), с„(М) для нескольких значений угла атаки пластины представлены на рис. 12.11 и рис. 12.12.
Аэродинамические силы прп свободно-молекулярном обтекании можно рассчитать и для тел более сложной формы, чем 7 СР в" 77 7 Р У 4 Х Ю 7 Ю У =йурф Рис. 12.11. Зависимость коэффициента подъемной силы пластины от числа Маха при молекулярном течении газа плоские пластины, но при этом расчет целесообразно проделать для передней и тыльной сторон тела порознь, пользуясь соответствующими выражениями (95) и (96) или (101) и (102) для нормальных и тангенциальных напряжений. Выполним расчет аэродинамических сил при свободно-молекулярном поперечном обтекании кругового цилиндра бесконечной длины. Проекция аэродинамической силы, приложенной к элементарной площадке 71Р, на направление невозмущенного потока (лобовое сопротивление) в соответствии с рис. 12.13 равна 71Р.„=(р з1П р + т соз р) г)Р, г(Р., = ( — р зш р + т соз р) ггР.
(113) Проекция той же силы на перпендикуляр к направлению ГЛ. ХН. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ 166 Рис. 12.12, Зависимость козффициента лобового сопротивления нластины от числа Маха при молекулярном течении газа и ГуРля фпа 5!а,о+ СП Сззйя С Ыдт=(сэсетУУ-~п551о 2РФ ор =~ф, -,5ь51 51а~е15 +т51со5~~4/ Рис. 12.13. К определению проекций ва направление потока сил давления и трения при поперечном обтекании цилиндра а т. АЗРОДттплзптттвскттк С!!ЛИ ПРН МОЛЕКУЛЯРНОВ! ТЕЧЕНИИ 1С7 невозмущенного потока с(Р„=(р соз р — т з)п р) с«Р, о«Р„=(р соз р + т з!и р) с)Р.
(114)' л «и с о -«( — 4«с, «У ', а) ' З(1 «.,«(с а)))ас, (115) где с«Р= — ттс)ср =Лс(р. Аналогичным путем с помощью (101)' и (102) для задней стороны цилиндра получим л!з о .«( — Ф вЂ” с«.«га с""а)М.З(! — -«(с""«ЗЮС. (116) Коэффициент сопротивления цилиндра рхп + рха сх = — рС 2)1 1 г Используя соотношения (115) и (116) и вводя обозначение г = = С/с, имеем ') л!з л!з — а~а!п~з ~()+~ 1 + 2) ) ° ) 1( ° ()) ~р+ .—.У.—, л!з + — ~ з)пз )) с(().
(117) о ') Очевидно (см. рпс. 12.13), что выражение длн сх можно получить (как и для пластины) по формуле л!з 1 1 ((Р„„— Рх,).1 Р+( „+,) Р)ЛР. — рС2Л с 2 о Проинтегрировав эти выражения в пределах от р! (Нижний край поверхности тела) до рз (верхний край), получим значения силы лобового сопротивления Р„и подъемной силы Р„, действующих на заданный участок поверхности тела. В частном случае цилиндра (рис.
12.13) подъемной силы пег (Р„=О), а сила лобового сопротивления может быть получена из (113) с помощью (95) и (96) для передней стороны цилиндра (единичной длины) л!з ГЛ. ХН. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕ1НЕННЫХ ГАЗОВ 168 Значения интегралов, входящих в выражения (117): и!2 ,2 — Š— 2 21в 821)1 — Е 2Х 2 о Я!2 22 Р, = ) з!Н1)ег1(езгп'р) г((4 = е 2 (Х, + Х,), о Я/2 '=1 " =+ о Здесь величины 22 — х '= — '1у, "..
— 1 1 2 Х,= — 22 ~е' У~ — хтг(х -1 Хо 4 уг Г 2 с' а сн У 04 ФЮ (У Р' УУ 14 ~8 .Р~е Рис. 12.14. Модифицированвые фуикции Бесселя пулевого и первого порядка Рис. 12.15. Зависимость козффициеита лобового сопротивления от числа о при поперечном обтекании цилиндра: сплошиая линия — теория, кружочки — опыты Штальдера, Гудвина и Кригера Бесселя соответственно нулевого и первого порядков. Значения функций Хо(г) и Х~(а) приведены на рнс.
12.14. представляют собой так называемые модифицированные функции Гл. хп течения РАзРеженных ГАзов где р1 — плотность газа в сечении 1 (в окрестности площадки дб), с — средняя скорость молекул. Проекция площадки дб на плоскость, нормальную к радиусу вектору г, составляет соз1ре(б, где ~р — угол между радиусом-вектором г и нормалью к площадке о(б (т. е. направлением радиуса трубы). Секундный расход 7 г Рис.
12.16. К определению расхода газа е трубе при иолеиулириои течении молекул, попадающих с площадки М на площадку ог", определяется, таким ооразом, выражением еБ„Т = — ргс соз ~р дб —. 1 лХ (118) Здесь дХ вЂ” телесный угол, под которым площадка е1Г' видна пз центра площадки е(б, а отношение т(Х/я равно доле общего числа молекул, отражаемых площадной Аб во всю охватывающую ее внутреннюю полусферу, которая попадает на площадку о1Р. По определению, телесный угол т(Х, охватывающий площадку пг, равен отношению проекции этой площадки на плоскость, нормальную к радиусу-вектору г, к квадрату величины радиуса- вектора ЕЛР Г (119) Обозначим зр угол между отрезком прямой, соединяющим центр площадки е(г" с точкой пересечения образующей трубы, проведенной из центра площадки е(б, с плоскостью сечения 3, и опустим перпендикуляр 1 из центра площадки е1г' на нормаль к стенке трубы п, Из сравнения (рис.
12.16) двух прямоугольных треугольников ВСР и АСР с треугольником АВР, имеющим с ними общие стороны, следует, что ~АВР прямоугольный, и поэтому имеют место равенства оз р=дсозта ...Е= . (120) Подставлян (119), (120) в (118), приходнм к следующему выражению для элементарной массы молекул, отражаемых элементом поверхности трубы дб (в сечении 1) на элемент о)г попереч- З Э.
МОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУПЕ 171 ного сечения Й 1 1 д6„« = — ргс соз ср соз О сзб с(г = — ргс с(гд соз зрх АЛ г(х. (121) 4лг 4лг« Здесь элементарная дуга периметра трубы ИЬ = г, «ЬР = —, Иб ох ' причем д«р — угол, стягпваемый элементарной дугой Ы, го — радиус трубы. Так как г' = ха+ дз, то из (121) имеем с ог" Рг~ (а„, = — г д соз Ф ~К. 4л («з ( хз)з Естественно, что и от элемента ог сечения 2 идет поток молекул на элемент поверхности трубы с(6, расположенный в сечении 1; этот «обратный» поток от- У" лнчается от рассмотренного выше потока знаком, а также тем, что плотность газа в сечении 2 имеет другое значение; таким образом, А секундная масса «обратного» потока составляет с ДР Рзх ох о" ггс-'гз з з з д соз гр с(7 ' 4л (»+ з)з ~уф Здесь средняя скорость с принята такой же, как и для с(См ввиду постоянства температуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
