Часть 2 (1161646), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Как показал цзян э), такое общее решение имеет достаточно )У простой вид. ИУ Обтекание тела разреженным газом целесообразно рассматрпвать в прямоугольной системе координат, так как при этом () удобно группируются одноимен- У ные составляющие скоростей хао- тического и упорядоченного двнРис. 12.8. К определению силы жений давления газа нз стенку при молекулярном течении Если Газ спльно разрежен, то столкновения молекул между собой и с поверхностью тела настолько редки, что реэмитируемые поверхностью молекулы практически не возмущают набегающий на тело невозмущенный поток газа и пе нарушают максвелловского распределения хаотических скоростей (и, п, ш) молекул в этом газе.
Функция распределения Максвелла согласно (58) может быть представлена в виде (64) Если упорядоченное движение газа происходит со скоростью С= Ус)э+ Г'г+ И", (65) то полные скорости молекул соответственно равны и1 = От+ и, п1 = Г+ п, ш~ т)'+ ш. (66) Расположим прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось х была перпендикулярпа к элементу поверхности тела ЫР (рис. $2.8), и определим силу давления движущегося газа на площадку ЫР, следуя тем же рассуждениям; что и в предыдущем параграфе (при определении давления па стенку неподвижного газа).
') Эпштейн Н. С. 0 сопротивлении сфер прн движении в газех У Газовая динзмикз/Под ред. Н. Т. Швейковского.— Мс ИЛ, 1950. ') Э шо1псЬо ччя 1с) М. 2пг к)пе11яспе ТЬеог1е дег Тгвпярйа1юп нп4 В!Нпяюп чегоопптег Саяе,у Апп. оег Раув.— 1910.— Во 33.— Б. 1959 — ?О. ') Цзян Х, Ш. Аэродинамика разреженных газов /~ Газовая дина- мике/Под ред. Н. Т.
Швейковского.— Мл ЙЛ, 1950. Гл х11 течгпня РАзРенсеппых ГАЗОВ 156 теграла вероятностей ег((1) = — ) е Нх, 2 (' у-..) и-и") ' гс( — с )~- — ")1~-.и(с))) 1сс1 В частном случае неподвпжпого газа ((и' = О) получаем лсй г ')/ (60 а) Секундный поток массы молекул, падающих па единичную пло- щадку поверхности тела: 6„= тХ = — рс ~=ехр — —, . — — ~1+ ег1( — ~1 . (70) Для неподвижного газа (У = 0) имеем, согласно (57) и (57а), ( 1) Определяя аэродинамические силы, которые возникают на единичной площадке тела прн свободно-молекулярном обтекании, следует иметь в виду, что проекция аэродинамической силы равна разности проекций на ту же ось количеств движения секундной массы молекул, пада1ощих на площадку и отраженных От нее.
Проекция па ось х секундного количества движения молекул со скоростями в интервале и, и+ Йи; Р, о+ дщ 1с, 1с+И1с, пада1ощпх па поверхность единичной площади, очевидно, равна р)и, с(и1й1ЙГ1. Для проекции па нормаль секундного количества движения всех молекул, учитывая (64), получим х „=с( — ', ) ) и., ) и.,) 4х лси, о Хехр ' ', ' ' ~ с(пп (72) (и, — П)и + (и — !')- -'- (и — Ис)т 1 с~~ значения которого берутся пз таблиц (заметпм, что при 1 = ег1( )=1).
Подставляя выражения (68) в (67), получаем следующую формулу для определения числа молекул, ударяющихся в единицу времени о единичную площадку поверхности тела: 5 6. ДлвленпГ п тРкнпк ПРИ молакУлЯРноп овтгскхнии ф57 Как п при определении числа ударяющихся о поверхность молекул (см. формулы (67) н (68)), заменим тройной интеграл в (72) произведением трех интегралов. Два из них, (68а) и (68б), были найдены ранее: т т третий в данном случае имеет вид 2 1 (и, — г1)21 и1ЕХР— ' . ~ди1= с о — „,с') 'Г '. "1( — )! + — ' с '"Р~ — — ) 1131 Отметим, что при интегрировании (73) припнмалпсь во внимание следу1ощпе известные соотноп1епия: х'-'е '" с(х = —,, !) е с(х — хе ' ), (74) 1 ' --,! 2 ХЕ ' аХ = — „, ) Е О1Х2 = — т Е ' 2 Подставляя в (72) найденные значения интегралов, определяем проекцию па нормаль (ось х) секундного количества движения молекул, падающих па единицу площади поверхности тела: В двух кра11иих случаях, (,1 = 0 п 11'» с.„выражение (75) сильно упрощается.
При (7= 0 (упорядоченное течение газа отсутствует) (76) Прп П» ст (скорость потока значительно болыпе вероятной ско- рости хаотического движения молекул) (77) так как в этом случае 1 ~г е1р — — ! 11, ег( ( — 1 — !. т 2 ( с 12 Найдем теперь тангепциальпую к поверхности тела составля1о- ГЛ ХП. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ щую секундного количества движения молекул, падающих на единичную площадку (проекцию на ось з).
Для молекул, скорости которых лежат в узком интервале значений и, и+ ди; в, и + с)и; ир, лр + Йп, тангенциальная проекция секундного количества движения равна — р~и1ер~ с)и1 с)эр с(и ь (78) Для всех молекул имеем по аналогии с (67) илн (72) р„-р( — ', ) ) и., ),р,(,х ср / о (., — тз)'+(.,— 1)~+(, — и)'1 с (79) Заменим, как п прежде, тройной интеграл в (79) произведением трех интегралов. Значения двух из них уже известны (см. (68а) и (68в)), а третий легко определяется по аналогии с (686): '1 и,ехр — ', с(ир, = И'с )/и. (и — И') (80) с р, — — р рр(= *р( — — )-р — (р.р к( — ф. (8р) В случае покоящегося газа (0Р=И'=0), как и следовало .ожидать, тангенцнальная составляющая количества движения молекул равна нулю, так как импульсы молекул противоположного направления взаимно уничтожаются. Если скорость потока газа значительно превосходит вероятную скорость движения молекул (0Р» с„), то, как уже указывалось при выводе выражения (77), ехр — — ~ = О, ег1~ — ) = 1; с~„~ си поэтому, согласно (81), тангенциальная составляющая секундного количества движения молекул, ударяющихся о пластину, 1., = рПИ~.
(82) Подставляя (68а), (68в) и (80) в выражение (79), находим тангенциальную к поверхности тела составляющую секундного количества движения молекул, ударяющихся о поверхность единичной площади: 3 з. ддвление и тРение НРи молекуляРноы овтекднии 159 Отыщем теперь секундное количество движения для молекул, реэмитированных (отраженных) поверхностью тела. Если молекулы отражаются зеркально, то мы имеем дело с обращенной реэмиссией, когда для падающих и отраженных молекул нормальные составляющие количества движения равны по величине, но обратны по знаку (нормальная скорость при отражении меняет знак на противоположный): Хы = — Х*з, (83) а тангенциальные составляю1цие количества движения до и после отражения одинаковы и по величине,и по направлению (тангенциальная скорость при отражении сохраняется): 1м = Хкз 1И.
(84) Если молекулы испускаются поверхностью дпффузно (с максвелловским распределением скоростей хаотического движения), то ввиду отсутствия преимущественного направления у молекул тангенциальная составляющая количества движения после отражения равна пулю: 1,д=Х„=О. (85) Нормальная составляющая секундного количества движения при" диффузном отражении может быть найдена с помощью следующих соображений. Так как после диффузного отражения молекулы газа утрачивают среднюю поступательную скорость газа (ХХ= 0), то секундная масса молекул, отбрасываемых единичной площадкой поверхности тела, определяется выражением (7$) 1 охд = = рсмд. 91/ (86) д 1хд = рсх~д.
(87) Сопоставляя (86) и (87), имеем 1 — ьхдсмд. '1/л- г (88) Величину 1, нетрудно найти, исходя из того, что масса отра- женных от стенки молекул равна массе ударяющихся об нее молекул (С д = С„), но тогда, подставив (70) в (88), имеем 1хд = —,рг„,с,„д ехр — —, + — ~1+ ег(~ — )~). (89) Здесь с д — вероятная скорость молекул прп температуре реэмиссии, не равной температуре набегающего потока.
Нормальная составляющая секундного количества движения диффузно отраженных стенкой молекул (при ХХ= О) определяется из (76) ГЛ Х11. ТЕ'1ЕННЯ РАЗРЕ)КЕ1П!ЫХ ГАЗОВ 160 Так как скорость хаотического движения молекул пропорциональна корню квадратному из температуры, то вероятная скорость отраженных молекул может быть выражена через вероятную скорость молекул набегающего потока и отношение тем- ператур /т„ с а — — с, / т„' (90) Здесь ҄— температура в певозмущеппом набегающем потоке, ҄— температура молекул после отражения от стенки, которая зависит от температуры стенки Т„п коэффициента аккомода- ЦИИ Сс.
Пусть доля дпффузпо отраженных молекул составляет о, тогда энергия этих молекул пропорциональна величине ОТ„ а энергия зеркально отраженных молекул пропорциональна (1 — о) Т„. Суммарная энергия отраженных поверхностью молекул пропорциональна величине оТ„+ (1 — о) Т„. Пользуясь этой формулой, можно по известным значениям коэффициентов сс и а найти температуру дпффузпо отраженных молекул Т„и затем по формуле (90) — вероятную скорость молекул с,. Полученных сведений достаточно для определения аэродинамических сил, возникающих па теле прп различных условиях свободно-молекулярного обтекания. Проекция силы равна изменению соответствующей проекции секундного количества движения молекул (при ударе и отражении): 1~! 1х2 Р = 1*! 1~2.
(92) Если доля диффузно отраженных молекул есть а, а зеркально отраженных молекул (1 — о), то Р„= 1„! — [ — о1„, + (1 — о) 1,!), (93) Р, =1,! — [ — о1,,+(1 — о)12[, или на основании (83) и (84) Р = (2 — о) 1., + а1„,„Р, = а1,!. (94) Как было указано в 2 2, коэффициентом аккомодацпп называется отношение фактического изменения энергии молекул прп их отражении от стенки к предельно возможному ее изменению, которое имеет место при полной аккомодацпп молекул, когда температура отраженных молекул равна температуре степки Т . Поэтому имеем т" — [ат + (! — а) т*,] а (т* — т ) (91) 6 6. ЛАвление и трение пРи мОлекуляРнОИ ОБтекАнии 161 Таблица 125 ехр ( — — ) и 2 евое ехе( —,) и ем 1 0,9900 0 0,1125 0 0,1 0 0,01 ! 0,2227 0,3286 ! 0,9608 0,9139 0,04 0,09 0,2 0,3 0,4284 0,5205 0,8521 0,7788 0,16 0,25 0,4 0,5 029 0,6039 0,6778 0,6977 0,6026 0,6 0,7 0,7421 ! 0,5274 0,4449 0,64 0,81 0,8 0,9 ! 0,3679 0,2982 1 1,1 0,2369 0,1845 0,9103 0,9340 1,69 1,2 1,3 2,25 0,1409 0,1054 0,9523 0,9661 1,4 1,5 2,56 2,89 1,6 1,7 ! 0,0392 0,0271 3,24 3,61 0,9891 0,9928 1,8 1,9 Используя выражения (94), (75) и (90), получаем окончательное выражение для давления, которое оказывает свободно-молекулярное течение газа на злемент поверхности, ориевтированный по нормали к составляющей скорости невозмущенного потока газа: 772 4 Аналогичным образом из (94), (80), (85) и (90) выводим 11 Г, Н, Абрамеа22ч, ч.
2 Гл. хн. течения РАзРеженных ГАзов 162 общую формулу для напряжения трения на элементе поверхности прп свободно-молекулярном течении т =Р, = — орс В')=ехр~ — —,~) + — ~1+ег1~ — ф. (06) Ш В частном случае невозмущенного потока, перпендикулярного к поверхности тела (С= У, 'г' =О, И'=0), касательное напряжение (трение) равно пулю: т, = О. (07) В частном случае потока, параллельного поверхности тела (С = = )т', У=О, У=О), давлеагд( ~); ег/(Р~ нне 1 з Р = —,рс„, х 4 х 2+о ~" — 1 (08) и напряжение трения т = рс,„С = — рсС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
