Часть 2 (1161646), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Эти исследования Милликена позволили определить гидро- динамический эффект скольжения, а также измерить с большой точностью величину заряда алектрона. Мелкие капли, движущиеся с малой скоростью в сплошной среде, имеют форму сферы, сила сопротивления которой прн малых значениях числа Рейнольдса Р. = рива/)в» 1, определяется по формуле Стокса х = бя иаир, (37) ') См.
Гааовая дккамкка/Под ред. Н. Т. Швейковского.— Ма ИЛ, 1950.— С. 260. 10 г, н. аврамовна, ч. 2 Гл. хп. течения РАзРеженных ГАзов 1+ 2А— Х = бпари 1 1+ ЗА— а (38) где А — коэффициент пропорциональности (по опытам Милликенат) А = 1,22, что, согласно (9), отвечает значению а = 0,9). Разложение в ряд последнего дополнительного множителя по степеням параметра А — приводит к следующей приближенной а формуле сопротивления сферы при скольжении: 1~ — г Х = 6праи, ~1 + А — ) а (39) справедливой при 1/а ~0,5, дозвуковых скоростях и малых значениях числа Рейнольдса. Безразмерный коэффициент сопротивления сферы по Милликену при М ( 1 х с 12 (40) 1 / — разяаз Е (1+ 1,2 — ) 2 е а~ ' а) Опыты Кейна з), проведенные в интервале 2,05 ( М < 2,81 и 15<В <786 не обнаружили влияния числа Маха и привели к следующей эмпирической формуле: (41) ') Вяз'вез А. В.
А ггеайве оп йуйойупаш)сз. Ч. П.— 1988.— Р. 271. з) Милликен приводит значение А = 0,804, однако при вычислении длины свободного пробега по значению коэффициента вязкости он пользовался устаревшей зависимостью Максвелла р = 0,35 рсй тогда как в настоящее время наиболее точной считается формула Чепмена и 0,499 рсй что и дает А 1,22. з) К а и е Е, РА А" 7. Аеюгь Зс!.— 1951.— Ч. 18.— Р. 258. Русский перевод в сб. Вопросы ракетной техники. гй 2.— Мс ИЛ, 1953.— С. 54 — 09.
где а — радиус сферы, р — вязкость воздуха, ис — скорость не- возмущенного набегающего потока. Формула (37) получена из точного решения уравнения Навье — Стокса для медленного течения несжимаемой жидкости, когда инерционными членами, стоящими в левой части уравнения, можно пренебречь; граничным условием является равенство нулю скорости течения на поверхности сферы. Если учесть скольжение, т.
е. принять, согласно (9), что скорость скольжения на стенке пропорциональна числу Кнудсена, то, как показал Бассет') еще в 1888 г., справедлив видоизмененный закон сопротивления сферы я 5. Ововодно-молекулягные течения ГАЭА 147 Значения й, Кейн определял по скорости и плотности воздуха за прямым скачком. При й;,(80 сопротивление сферы по Милликену выше, чем по Кейну (при малых к, относительно велика роль трения, но оно уменьшается за счет усиления скольжения при росте М); при й ) 80 сопротивление по Милликену меньше, чем по Кейну (при больших Д, превалирует волновое сопротивление, которое проявляется сильнее при больших значениях числа М). Сопротивление цилиндра прн поперечном обтекании его со скольжением рассмотрено Цзяном '), который получил следующую теоретическую формулу для коэффициента сопротивления цилиндра, отнесенного к поперечному сечению 2аЬ (длина цилиндра Ь, радиус а): Х 4я Гав 4 2 о М ) (42> — риз2аЬ Й 1п — — 1,28+ 1,25 Р А — — .
2 а а[ Й ,! где ры а д, е Опытных данных о сопротивлении цилиндра при скольжении в настоящее время нет. й 5. Свободно-молекулярные течения газа и элементы кинетической теории газов Свободно-молекулярный режим течения наблюдается в сильно разреженном газе, когда число Кнудсена значительно больше единицы (М/й;.> 3). Несмотря на то, что частота столкновений молекул в элементарном объеме при этом режиме пренебрежимо мала, число молекул в единице объема достаточно велико для того, чтобы можно было определять средние макроскопнческие свойства газа. Например, на высоте 150 км, когда длина свободного пробега 1=18 м, число молекул в 1 смз составляет -2,5. 10".
Установим свойства газа, определяющиеся особенностями движения его молекул. Рассмотрим для этого элементарный объем Ыт Ихдудг, заполненный большим числом движущихся н изредка сталкивающихся молекул идт, где п — местная концентрация молекул в физическом объеме, т.
е. количество молекул в единице объема. Мгновенные значения проекций скорости и, и, 5р отдельных молекул в объеме Ыт различаются очень сильно. Можно рассортировать молекулы по скоростям движения, имея в виду, что ве- ') Сб. Газовая динамика/Под ред. И. Т. Шзейконекого.— Мз ИЛ, 1950.— С. 341. 9 е своводно-51олекулягные течения ГАЗА 149 — кинетическая энергия молекулы, отвечающая мгновенному значению полной скорости ее хаотического движения с. Постоянвую а мы определим, исходя из условия (43) 1 ( е) Данный интеграл можно представить как произведение трех одинаковых интегралов ) ехр( — 29а ) Ни ) ехр( — 29 ) о ) ехр( — 29 ) ю = = ~'( — ')'' таким образом, имеем --(й) .
(47) ив = эз = 5аз = — = а) и'ехр~ — ~ йо = —. 3 =,) 20 Отсюда имеем иЗ + из -'; вз О=Из 3 3' = Л5— (48) где иск — внутренняя энергия молекулы, определяемая по среднему значению квадрата ее полной скорости. Подставляя (47) и (48) в (46), получим функцию распределения скоростей молекул Максвелла в окончательном виде = ехр (49) Иногда бывает удобно при выкладках перейти от составляющих скорости и, и, 5а к полной скорости с; для этого вводят сферические координаты: с, ф, О, где ф — угол между вектором скорости и осью Оз, Π— угол между плоскостями зОС и зОх (рис.
12.5). В сферических координатах элемент пространства скоростей равен 55о5 = сз з5п ф йр 558 55с. (50)' Поэтому число молекул в элементе объема 55т, скорости которых Для того чтобы определить параметр О, вычислим среднее зна- чение квадрата каждого компонента скорости движения моле- кулы по способу (45) Гл. хп. течения РАзРВженных РАЗОВ ыо лежат в интервале с и с+с)с, а направления движения — в ин тервалах ф, ф+ Йр и О, О+НО, составляет пст~зш ф с)ф ЫО Нс дт. (51) (52) Г Г =[)4 Р!ОИ.
(5С о Вследствие этого условие (43) в сферических координатах принимает вид 4я ) ст)с)с т (54) Рис. т2.5. дломонтарный объем в пространстве скоростои (к переходу от прямоугольных к сферическим координатам) и, следовательно, среднее значение любой величины Д, зависящей только от компонентов скорости, найдется иэ выражения тэ о=4.~ЕИ' о (55) Запишем среднее значение квадрата скорости в сферических ко- ординатах 60 с' = 4я ) со) с(с.
о (56) Легко убедиться в том, что, подставляя в уравнения (54) и (56) выражение (49)' для ~, мы обращаем их в тождества; это значит, что параметры а и О в декартовой и сферической системах координат одинаковы. На рис. 12.6 представлено изменение функции )з 1сл в Зависимости от с для двух значений параметра К Как видно, при некотором значении скорости с* с„ функция )т имеет максимум. Интегрируя это выражение по ф и О для всех возможных напраВлений (О ~~ ф ~ ~я~ 0 ~ ~О ~~ 2я) 1 получим Общее числО молекул, имеющих скорости в интервале с и с+ Ыс: ч ) ) 1ю фыт)ЫВ1н и — 4 тн и . (о ~о Суммарное число молекул в элементарном объеме с)т для всего диапазона скоростей (О ~ с ~ ) определяется, очевид- но, следующим образом: 1 5.
сВОБОднО. мОлекуляРные течения РАЗА 151 Решая элементарную задачу на отыскание максимума функции (7с'), находпм величину наиболее вероятной скорости молекул 2с сю = ~/ + = 0,816 ~ с' . (57) Выразим с помощью (49) и (56) среднюю арифметическую скорость молекул через среднюю квадратичную скорость с = 4я ~ с9 дс = 2 1 — ' = 0,922 ~/сз . 1 зл (57а) е Подставляя (57) в (49), получаем более удобное выражение для функции распределения Максвелла — ехр (58) у гау а~ аЮ ИШ Юад ~с Рис.
12.6. Функции распределения для двух значений средней квадратичной скорости молекул Рис, 12.7. К определению числа молекул, встречающихся со стенкой за единицу времени стенкой; при этом молекулу и стенку считают абсолютно упругими твердыми телами. Расположим стенку по нормали к оси абсцисс (рис. 12.7) и определим количество молекул, которое встретится с элементар- Как видно иа рнс. 12.6, с ростом величины наиболее вероятной скорости с„ (или средней квадратичной ст) увеличивается относительное число молекул, имеющих высокие скорости.
Движение молекул сказывается на макроскопических свойствах газа. Давленпе газа на стенку можно определить как силу, которая возникает в результате изменения норгу мальной к стенке составляющей суммарного количества движения молекул (у при их соудар енин со Гл. хн. течения РАзРеженных ГАЗОВ 152 ной площадкой размером с(Г' за единицу времени. Рассмотрим сначала молекулы со скоростью движения с; в течение одной секунды об зту площадку ударится половина от всего количества молекул данной скорости, заполняющих цилиндр с образующей с и площадью основания ссг" (вторая половина молекул данной скорости в виду хаотичности их движения в этот же промежуток времени движется в противоположном направлении, т.
е. удаляется от стенки). Это количество составляет — ~~~ ссг' с(со, (59) где и — полное число молекул в единице объема, 1 — значение функции, соответствующее скорости с, и ссг" — объем элементарного цилиндра, йо = с(иссэсссл — элемент пространства скоростей. Суммарная масса молекул, соударяющихся с площадкой Н' за одну секунду, равна — пт1и Йг' йо = — р(иссг йо. 1 2 Здесь р=пт — плотность газа, т — масса одной молекулы. При упругом ударе о стенку нормальная составляющая скорости молекулы изменяется на обратную величину, чему отвечает изменение соответствующей проекции количества движения за одну секунду на величину - р/2ио ссР йо = рис) Ы йо.
2 (60) Суммируя изменения количества диапазоне скоростей (О ( с < ), нормальной проекции количества равное осредненной силе давления движения молекул во всем получим полное измененне движения за одну секунду, молекул на площадку с(Г': здесь величины р и ссг", как не зависящие от распределения молекул по скоростям, вынесены из-под знака интеграла. Переходя, как и в формулах (50) — (55), к сферическим координатам и относя силу давления к площади, получим следующую формулу для определения давления: р = — = 4яр ) и с21'с(с, 2 2 НР = о или р=ри где йз — средняя квадратичная скорость движения молекул в Е О. ДАВЛЕНИЕ и ТРЕНИЕ ПРП ЫОЛЕКУЛЯРНОЫ ОБТЕКАНИИ $53 направлении нормали к стенке, равная, согласно (44) и (55), ио = 4л ~ и'со7 с1с = ~ и'1 с(со.
о о Так как при хаотическом движении все направления равнозначны с ио = Р = 1рс = —, 2 = з' то давление газа на стенку равно 1 2 р = — рс', (61) нли в соответствии с (57) 1 2 р = — рс~. где 2 Р, =Р,= — Рс,. Из (61) получаем выражение для средней квадратпчпой скоро- сти движения молекул ~/' зр (62) Сравнивая (62) с известным выражением для скорости звука в газе можем связать среднюю квадратичную скорость молекул со ско- ростью звука )Рсо =а)/ —. (63) й 6. Давление и напряжение трения при свободно-молекулярном обтекании твердого тела При изучении свободно-молекулярного потока газа следует учитывать то, что нарнду с хаотическим движением молекул имеется упорядоченное перемещение конечных масс газа. Так как было принято, что импульс ударяющихся о степку молекул равен импульсу отраженных молекул, то полученная величина давления складывается из двух равных частей: давления ударяющихся и давления отраженных молекул Р =Р1+ Ре ГЛ.
ХП. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ В первых работах Эпштейна ') и Смолуховского т), посвященных свободно-молекулярному течению газа около твердого тела, предполагалось, что скорость упорядоченного движения газа мала по сравнению со средней скоростью хаотического движения молекул. Мы не станем пользоваться этим ограничением и приведем решение задачи для произвольного значения числа Маха в 1 набегающем на тело газовом потоке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
