Часть 1 (1161645), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При решенпи гиперболической задачи возмущения сносятся только вниз по потоку. 3 8. изэнтРопические и 'изоэнеРГетические течения 177 Таким образом, вдоль характеристик с(с~ = 0 и сУ = О, т. е. значения Ув(р, 8) и а' (р, 8) сохраняются неизменными. Зти величины аналогичны инвариантам Римана в одномерных неустановившихся течениях. Если один из инвариантов в' (р, 8) сохраняет постоянное значение во всей области течения в'-(р, 8)=сопз1, то вдоль каждой характеристики первого семейства, где к тому же Х+(р, 8)=сопзс, все параметры, а следовательно, и угловой коэффициент 1д(8+а) сохраняются постоянными и эти характеристики являются прямымн линиями.
Такие течения называют простыми волнами, а в установившемся течении — волнами Прандтля — Майера. Условие совместности (51) можно записать и в другом виде. Учитывая, что в рассматриваемом течении выполняется соотно- шение др = -рИт й)У, (55) и подставляя его в (58), получим ЫО -т- с18 а — = О. аЛ Л (56) Здесь ,г с1да = ~Ма — 1 =1/ ~I 1 — — Л' 7с+ 1 Интегрируя (56), получаем О т- ) с$й а — „=.
Хт (Л, 8). вЛ (58) Подставляя сюда выражение (57) для ссяса, можно получить — — ) — агс19 . (59) 1- в+1Л Х~(Л,О) = О~ ф' — „', агс1я / )с+1 в (Л, 8)=сопв1. (59а) 12 Г Н. аврамович, ч. 1 Рассмотрим пример обтекания выпуклой криволинейной стенки сверхзвуковым однородным потоком, имеющим скорость Лс (рис. 4.23). Аналогичный пример приведен в $5.
До точки 0 газ движется вдоль прямолинейной стенки, а затем огибает участок криволинейной стенки и после поворота на некоторый угол вновь движется вдоль прямолинейной стенки. В этом течении ГЛ. 1У. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОГОКА Значение этой константы может быть найдено иэ условия Л =Л1 прн О = 0 подстановкой в (59).
Так как угол 0 в каждой точке стенки известен, то из уравнения (59) можно найти Л, а из (57) — угол наклона характерпстнкн. Так как стО н с1Л имеют разные знаки, то при движении вдоль стенки угол О уменьшается, а скорость Л возрастает. Таким образом, течение Л1 Прандтля — Майера есть течение разрежения, в котором прямые характеристики образуют расходящийся пучок. Параметры потока вдоль этих характеристик постоянные и равны нх значениям в точке пх пересечения со стенкой. За прямолинейной характеристикой, замыкающей течение Прандтля — Майера, течение вновь становится однородным.
Если уменьшить протяженность участка вдоль стенки с течением Прандтля — Майера до нуля, а угол разворота потока сохранить, то получим центрированное течение Прандтля — Майера, которое подробно исследовано в з 3. Рнс. 4.23. Простан волна Прандт лн — Майера й 9. Взаимодействие однородных сверхзвуковых потоков Взаимодействие однородных сверхзвуковых потоков удобно исследовать, используя зависимости давления от угла поворота потока.
Это связано с тем, что на тангенцнальном разрыве, разделяющем две области течения после взаимодействия, значения давления и направления потоков непрерывны. Для косого скачка уплотнения эта зависимость имеет вид ') 2й а й — 1 р — Ма— й+1 1- й+1 р, — — 1 Р 190 = 1+йМа —— Р 1 Р (60) й — 1 + й+1 р Здесь Π— угол поворота потока, М„р1 — число Маха и давление в набегающем потоке, р — давление за косьгм скачком уплотнення. В течении Прандтля — Майера для определения скорости в зависимости от угла поворота потока используется уравнение (59) с л (Л, О) из (59а). Давление определяется по иэоэнтропи- ') Курант Г., Фридрихе К.
Сверхзвуковое течение и ударные волны.— Мл ИЛ, 1950. й 9. ВЗАИМОДЯИСТВИВ СВНРХЗВУКОВЬ»Х ПОТОКОВ 179 ческому соотношению "— 1ь» 2 Ь вЂ” 1 м' (61) Р» а Р ис. 4.25. Схемы взаимодеиствяя двух сверхзвуковых потоков: а) две удар- ные волны, о) ударная волна и течение Праидткя — Майера давление выражается в долях от давления в одном пз потоков. Если, например, имеет место картина взаимодействия с двумя косыми скачками уплотнения, как на рисунке 4.25, а, то графическп решение представляет пересечение двух ударных поляр, со- 12* Графически этп зависимости для фиксированного значения М» представлены на рис 4.24.
Значения р/р», расположенные выше р/р» = 1, представляют так называемую ударную поляру для косого скачка уплотнения. Как известно, при данном значении Р угла поворота О существует два решения для р/р», соответствующие слабому п сильному скачкам уплотнения. При решении газодинамических задач обыч- м, но выбирается меньшее значение р/р», отвечающее слабому скачку.
Значения р/р», расположенные ниже р/р, = 1, получены для течения Прандтля— Майера. Правая половина графика соответствует положитель- а У ным значениям угла О относи- 4, Рис. 4.24. Зависимость давления от тельно оси абсцисс, а левая по- угла поворота потока в косом сквчловина графика — отрицатель- ке уплотяеяяя и течеяпя Првядтли— ным значениям угла поворота Майера потока О для скачка уплотнения и течения Прандтля — Майера, как зто показано на рисунке. При решении задачи о взаимодействии двух однородных сверхзвуковых потоков для каждого из потоков записываются соотношения (60) или (59) и (61) и ищутся удовлетворяющие им значения отношения давлений р/р» и угла поворота О.
При атом Гл. тч. ускОРение гАзового пОтОкА 180 Р/Р, ~ ~ РЛз, 0 В Рис. 4.26. Взаимодействие двух потоков с образованием скачков уплотнении Рнс. 4.27. Взаимодействие двух потоков с образованием скачка уплотнения и волны разрежении разрежения Прандтля — Майера для потока с числом Маха М1 и со скачком уплотнения для потока с числом Маха Мз, то графически решение представляется точкой пересечения ударной поляры для потока с числом Маха Мз с кривой для течения разрежения с числом Маха М1 (рис. 4.27). Аналогично можно провести анализ других случаев взаимодействия. ответствующих потоку с числом Маха М1 и с числом Маха Мт, причем за решение принимается точка пересечения в области слабых скачков уплотнения (рис.
4.26). Если же имеет место картина взаимодействия, изображенная на рнс. 4.25, б с волной Глава Р ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА 5 Е Адиабатическое течение газа с трением. Кризис течения рв = сопз$, илн в дифференциальной форме вр ди р ы Дифференциальное уравнение состояния ар =в(рот+ тар).
(2) Из уравнений ($) и (2) получаем — ~= Вйт — ЛТ вЂ”. и и (З) Используя уравнение Бернулли в дифференциальной форме ар т Йт — + ют — +атт, =О р Р. тр— и известное выражение для скорости звука а' = аНТ, преобразуем выражение (3) к новому виду Л:)Т+(ш ь~ ) +ЫЛтр О (4) Ввиду того что рассматриваемый процесс является энергетически изолированным, температура торможения вдоль трубы не изменяется: Т* = сопзф. Это эквивалентно условию или, принимая во внимание известные равенства В ср — с„ Рассмотрим установившееся течение газа в трубе постоянного сечения при наличии трения, но без теплообмена с внешней средой.
Уравнение неразрывности в этом случае (С = сопз$, Г = сопзЦ имеет следующий вид: Гл. ч, ОднОмеРные течения ГАЗА 182 с„= кс„, Лг)Т = — — 2о' —. Ь вЂ” 1 2В А в (5) Подставляя (5) в (4), приходим к соотношению, связывающему изменение скорости вдоль трубы постоянного сечения с работой сил трения: (М' — Ц вЂ” = — —, йТт . йо ь (6) Термодинамическая температура, если воспользоваться уравне- ниями (42) гл. 1 и (7), определяется из соотношения Ь вЂ” 1 т, т1 а — 1 1 — 1+а л', (8) Вследствие постоянства температуры торможения критическая скорость вдоль трубы также не изменяется; отсюда отношение приведенных скоростей равно отношению скоростей и на основании уравнения неразрывности — обратному отношению плот- ностей Л, Л2 мт Рг (9) Подставив равенства (8) и (9) в уравнение состояния, получим зависимость давления от приведенной скоростш У 1 2 р Л в — 1 1 21 — — Л2 А+1 2 (10) Ввиду постоянства температуры торможения полное давление про- Существенно, что трение является односторонним воздействием: работа сил трения всегда положительна (2(Ь„> О).
Поэтому согласно соотношению (6) код влиянием трения дозвуковой поток (М ( 1) ускоряется (йо > О), а сверхзвуковой (М > 2) — замедляется (йо(0). Непрерывный переход через скорость звука при воздействии только трением невозможен. Выведем формулы, определяющие изменение параметров газа вдоль изолированной трубы при наличии трения. Ввиду того что процесс в газе энергетически изолирован, температура торможения не меняется: Т, = Т, = сооз1. (7) э И АДИАБАТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА С ТРЕНИЕМ 183 порционально плотности заторможенного газа ') Отсюда на основании (10) получаем Дадим Л1 какое-либо постоянное значение п будем рассмат- РпватьЛткакпеРеменнУювеличинУ,апаРаметРы Тт, Ре Рэ Рв Рв как функции переменного Лэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
