Часть 1 (1161645), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Ограничиваясь случаем малых скоростей (Х„ь 1), при котором абсолютная величина давления меняется незначительно,получим 9 3 ДВИЖЕЫИИ ПОДОГРЕВАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ 195 то отношение расходов газа при отсутствии и наличии подогрева в трубе а, / т, — = $/2 — — 1. а, у' т, (зо) Вследствие подвода тепла теплосодержание в конце трубы больше, чем в начале, на количество подведенного тепла .Ф .Э г г Отсюда получаем Д с„(Т', Т',) = сг(Т, — Тг)+ — ', (юг — ~4.
и ) Более подробное обоснование явления теплового нрнанса дается в следующем параграфе. 13е Как видим, подвод тепла при заданном перепаде давлений ведет к уменьшению расхода газа при одновременном увеличении скорости истечения. Исследуем теперь падение давления на участке х — г трубы при большой дозвуковой скорости движения газа. При значительных скоростях течения плотность газа при подогрево уменьшается не только из-за повышения температуры, но и вследствие понижения статического давления.
В связи с этим скорость газа увеличивается вдоль трубы быстрее, чем температура. Скорость звука, которая пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры, увеличивается вдоль трубы значительно медленнее, чем скорость потока. По этой причине число М иг/а по длине трубы растет. Поток, имеющий любую начальную скорость, можно за счет соответствующего подогрева довести до критической скорости (М„= 1). При большом начальном значении числа М понадобится незначительный подогрев. Чем ниже скорость, тем более сильный критический подогрев необходим.
Но никаким подогревом нельзя перевести поток в цилиндрической трубе в сверхзвуковую область. Это явление носит название теплового кризиса '). Естественно, что после того, как в конце трубы достигнут кризис, скорость потока в начале трубы не может быть увеличена никакими способами. Если по достижении кризиса продолжать подогрев газа, то величина критической скорости в конце трубы растет, а скорость в начале трубы падает. Иначе говоря, заданному количеству тепла соответствует совершенно определенное предельное значение числа М в начале трубы. Теплосодержание заторможенного газа складывается из тепло- содержания в потоке и кинетической энергии: $ .
л'х,е . юг гл "л+ 2' гг гг+ 2 ' Гл. ч. Одномегпые течения ГАЭА Уравнение (31) вместе с уравнениями неразрывности, количества движения и состояния образуют систему, достаточную для определения четырех неизвестных параметров газа — ЄЄ҄, ш, — в конце трубы. Иэ уравнения количества движения имеем ( рх Рг ~ — 1 = Ргшг(шр шх) ° Вставляя в это уравнение вначения р, и рр иэ уравнения со- стояния Р, Т, — — — 1= — ш, ~1 — — ! Рр тр Рр ~~ Рх / и учитывая, что по формуле (34) гл. 1 )ср,(р, = а„получим Рх тх з( Рр — — — 1=йМ,~1 — — ~.
Р,т, '1, Р/' (32) Отношение температур Т, и Т, можно представить в виде з « ~х Тх гсх Т «г г т,—— г 2с 2с т« р г Вводя критическую скорость Т« т т„ Т ахр „получим й — 1 1 — — Хз а+1 Вставляя в (32) это выражение для Т,(Т, и заменяя Мз по формуле (45) гл.
1, приходим к квадратному уравнению з з Ф Рг ) "г Рг — ~/, — + —.—,=О, Рх/ 1+Ц Рх Тр 1+3',р (33) решая которое, находим ') (34) ') Один из корней уравнения, отвечающий доавуковой скорости течения, получается при знаке «минус», второй корень (при знаке «плюсз) дает решение для сверхзвуковой скорости течения. ф 3. ДВИЖЕНИЕ ПОДОГРЕВАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ 197 ИЛИ Р„а,' ~ У (~+ь')'т*~' При этом т/ ЕА в ж, = о„р, — — и — ЛТ,. Т А+~ Предельное значение скорости в начале трубы в этом случае равно ,/ ф ~Жх~рр=скр.г (~~/ 1 в /.
г (37) Разделив обе части равенства (37) на а„р,„можно перейти к при- веденной скорости: !Л,~„,='""' 4~ Так как то (38) Данные об изменении максимальной дозвуковой скорости на вхо- де в трубу при варьировании подогрева приведены в нижеследую- щей таблице: Уравнение (35) используется в тех случаях, когда известно состояние газа в начале трубы. Если же скорость газа в конце трубы доводится до критической, то удобнее применять уравнение (34). При отсутствии подогрева (Тз = Т,) имеем рг = рх.
Если в конце трубы имеет место тепловой кризис (А, = т), то уравнение (34) примет следующий вид: — * = (~1/ $ — —,*. у т,' 188 Гл. ч. одномерные течвния ГАЗА Уменьшение скорости в начале трубы (при Л (1) с усилением подогрева в условиях теплового кризиса объясняется сокращением расхода газа. В самом деле, при тепловом кризисе скорость газа увеличивается пропорционально корню квадратному из температуры: иг, а,- г'Т„ а плотность газа падает быстрее, чем величина 1~Т, (ввиду умень- шения давления): Рг Рг т„' поэтому расход газа Рг ~ = Рггггр — г=- ут, На основании формул (34)и (45) гл.
1 имеем ь — 1, Рг, э+1 г, 1 — — Лз Й вЂ” = аг = Р 2 а„р„ г ь+т поэтому 2ь ~-~-~ г (39) Предельное изменение давления получается при достижении теплового кризиса (Л, = 1). В этом случае на основании (36) ~Ф Здесь знак минус отвечает Л, > 1, знак плюс отвечает Л < 1. Осу- Так как плотность в начале трубы не зависит от подогрева, то падение расхода газа приводит к уменьшению скорости в начале трубы. Малые значения приведенной скорости на входе в камеру сгорания, получающиеся прн сильном подогреве, приводят к большим габаритам двигателя.
С увеличением скорости полета растут начальная температура Т, и предельное значение скорости на входе в камеру сгорания. Согласно уравнению импульсов перепад давления в трубе равен 9 3. движение подогреваемОГО ГАВА по тРуБе 199 1' Г' ществляя при 3 - 'г ') очень сильный подогрев ~ — ~ -г-О, можно г довести падение давления до следующей величины: — =я+1, Рг пр или при й а,4 — — 2А Напомним, что падение давления, необходимое для получения критической скорости в сопле, составляет а (ь+ 1) А т. е.
при й = т,4 — = 1,89. Рпр Определим теперь падение полного давления в цилиндрической трубе. В начале и в конце трубы имеем соответственно Разделив первое уравнение на второе, получим Отсюда коэффициент сохранения полного давления в трубе равен ь 1 2 (4$) Наибольшее падение полного давления получается при тепловом кризисе.
Подставляя выражения (38) и (40) в равенство (4г), ') 0 случае Х, ~ 1 будет скааано ннжв, 900 ГЛ. У. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА получим для этого режима течения Ь (Ь 1) 4+ 1 т " ь-а о„р (42) Г т„' Г т"„ т'„) т", ! 1 ! т,з 8 ! ао о„~ ~ 1 ~ 0,89 ! 0,86 0,80 ~ 0,79 0,88 0,8а Как видим, при Х, ( 1 потери полного давления при реальном подогреве (Т'„(Т,"ю 4 — 8) получаются такого же порядка, как и при бесконечно сильном подогреве. Итак, при Х, (1 и й = 1,4 полное давление в конце подогрева составляет не меньше 80 7р от полного давления в начале подогрева. Для большей наглядности результатов несколько преобразуем выражение (42).
Для этого из (38) получим связь между критическим подогревом газа (А„=1) и соответствующим значением начальной скорости до подогрева: < т'„') (1+ х',)а т,') Ал,' кр (42а) Отсюда следует, что при максимально возможной скорости газа ! а а+11 до подогрева <а„= — ~ критический подогрев не превосходит значения < та) = (ь — 1)(ь+~) ' ар.раах что при й 1,4 дает — = 2,04. Здесь верхние знаки соответствуют режиму Х,) 1.
Зависимость изменения полного давления при тепловом кризисе в трубе от отношения температур торможения, вычисленная для Х,(1 по формуле (42), представлена в нижеследующей таблице (й = 1,4): 1 а головня пневхода твчвния чвгвз кризис 201 Подставляя (42а) в (42) и отбирая знаки по физическому смыслу задачи, имеем (42б) у,* Л„= О, т. е.
— ' = оо, ' 'у" х пвр — ~"+ )':~; прн Отсюда следует: при а+1 Уг —, т.е. — "= —, Ь вЂ” 1' ' 'у'=Вв 1' х уз Л,=1, т.е. — ', =1, ' ух пар= 1, и при Лх —— в пав = О. е Кривые пеР ) и ~ —,,) =1(Лх), полученные с помощью кв формул (42а) и (42б), нанесены на рис. 5.9. Рнс. 5.9. Завнсииость степени подогрева и козффициента сохранения полного давления от ра приведенной скорости потока при кризисе (Л, = 1) Ю т г д Выше было показано, что при малых скоростях течения газа по трубе с подводом тепла в случае постоянного перепада давлений усиление подогрева ведет к снижению расхода газа.
В 9 6 будет показано, что при постоянном перепаде давлений подогрев вызывает уменьшение расхода газа и при больших скоростях течения. 3 4. Общие условия перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому и обратно В предыдущих параграфах было показано, что прн подводе тепла илн совершении работы трения в движущемся по цилиндрической трубе с дозвуковой скоростью газе происходит увеличение числа М; то же явление наблюдается в дозвуковом потоке при течении без теплообмена и трения в суживающейся трубе. Нитке будет доказано, что изменение числа М в газовом потоке происходит не только под влиянием трения, теплового и геометрического воздействий, но также при изменении расхода газа Гл. у. Одномерные течения РАЭА' 202 в канале и при совершении механической работы. Указанные воздействия вызывают изменение числа М как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом потоке газа.
Рассмотрим в общем виде влияние этих воздействий на скорость движения газа. Для простоты будем считать газ идеальным. Расход газа равен б = рюг". Отсюда после дифференцирования и почлениого деления на С имеем мй мР Ир ми + + б Р р и' (43) Дифференцируя уравнение состояния для идеальиого газа (р = рЛТ), получаем йр = л(р бт+ тбр), или — "' =Л'(1Т+ т — Р). (44) Сопоставление выражений (43) и (44) дает мр /Ла НР Ни1 — = лат+ лт( — — — — — ). Р ~С Р и/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
