Часть 1 (1161645), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Приведенные рассуждения показывают, что при повороте сверхзвукового газового потока около внешнего тупого угла значения скорости, давления и плотности остаются постоянными вдоль лучей, исходящих из угловой точки п явля1ощпхся характеристиками. Поэтому при аналитическом исследовании обтекания тупого угла удооно воспользоваться полярными координатами, поместив начало координат в этой угловой точке.
Координатными лннпямн тогда служат лучи, исходящие из угловой точки, и концентрические окружности с центром в этой угловой точке. Координатами точки на плоскости являются радиус-вектор г этой точки п угол д1, составляемый радиусом-вектором с лучом, имеющим фиксированное направление, которое мы определим позже. Все параметры газа будем рассматривать как функцип от г и гр: ш = ш(г, 1р), р =р(г, в), р = р(т, гг). В силу того, что параметры газа вдоль лучей в нашей задаче сохраняются постоянными, частные производные от ш, р н р по г равны нулю (при перемещении вдоль луча не происходит изменения параметров газа).
Таким образом, (11) Составляющие скорости по радиусу-вектору и по направлению, перпендикулярному к нему, обозначим соответственно через ш„и ш„. Тогда величина скоростн ш=~/ шт+шн В силу в З. ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ вЂ” МАЙЕРА того, что дит/дг= О, имеем также ди~г д ~а — "=0 и — =О. дг дг (12) Основное свойство характеристики, как уже известно, состоит в том, что нормальная к ней составляющая скорости равна скорости звука а, но характеристика совпадает с радиусом-вектором, поэтому в выбранной нами полярной я системе координат нормальная составляющая скорости может быть найдена иэ условия Ф (13) ит.
= а. (14) Это и есть условие отсутствия завихренности в сверхзвуковом газовом потоке, обтекающем внешний тупой угол. Его можно было бы получить также непосредственно из выражения (103) гл. 1Е Каждую струйку рассматриваемого течения можно считать энергетическп изолированной, причем уравнение энергии целесообразно использовать в кинематической форме (48) из гл. 1: + иг = и~тат.
2 4 — 1 (15) В плавно ускоряющемся газовом потоке, который мы рассматриваем в данном случае, потери полного давления обычно незначительны, поэтому термодинамический процесс обтекания угла мы будем считать изоэнтропнческим, т. е. подчиняющимся уравнению идеальной адиабаты: р/рв = сопз$. (16) Течение газа около внешнего тупого угла является плавным и ускоренным, поэтому его можно считать безвихревым. Но тогда циркуляция и а по любому замкнутому контуру рав- Ряс. 4Л2. К выводу усло- на нулю, Составим выражение для вяя отсутствия завнхрснциркуляции по контуру тгтЯЛК, огра- ности ниченному отрезками двух радиусов- векторов, проведенных из вершины угла, и двух дуг, обходя этот контур по часовой стрелке (рис. 4.12): два I д'аг Лà — и~„йг -'-(и + — Лг (г+ Ьг) Лтр — ит,+ — ЬтртЬг— — игагтхтр = О, учитывая постоянство скорости по радиусу-вектору, являющемуся характеристикой, имеем дм„ вЂ”." — и, = О.
дт ГЛ. ТУ. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА Четыре уравнения (13) — (16) составлятот систему, к решению которой сводится задача об обтекании внешнего тупого угла сверхзвуковым потоком газа. Из уравнений (13) и (15) следует ши юг+ ~и вшах Л вЂ” 1 или и — 1 .2 й — 1 2 ши+ и' 1пт и' 1и'шах.
т т (17) Используя теперь уравнение (14), приходим к следующему дифференциальному') уравнению: ~ — '!' = дш,)2 й — 1 )г — 1 ) + Юг = П шах. , Эф ) Ь+~ А+1 (18) Разделяя в этом уравнении переменные пт, и ср получим йш„ = с(ф, У шшах "г нли Производя интегрирование, получаем 1/ Г~,+1 агсэ)п = сР + ст й — 1 шп1ах где с1 — постоянная интегрирования. Разрешая это выражение относительно искомой величины ш„найдем ° / й ~— 1 = Шшахэ1П [ )~ Л 1 (ф + Сг)1. а' л+1 Тогда из уравнения (14) сразу следует Пи = Шшах )' й СОЗ [ )I и (ф + Ст)~. й+1 Определим теперь постоянную интегрирования сь Рассмотрим случай, когда скорость невозмущенного потока (до поворота) ') Так как параметры гааа вдоль линий ф = сопз1 при обтекании внешнего угла не иаменяются, то они являются функциями лишь одного переменного — полярного угла ф.
Поэтому в уравнении (18) и далее частные производные по ф заменены полными. а 3. ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ вЂ” МАЙЕРА 1В1 равна скорости звука (Ма = 1). Это значит, что начальная характеристика КС (рис. 4.11) перпендикулярна к стенке АС, так как 1 зша = — =1, к М т. е. полярные углы ф нужно отсчитывать от перпендикуляра к направлению скорости невозмущенного потока. Тогда при ф =0 имеем ю, О, и» = и1, и выранхение для й„превращается в уравнение для определения с~'. ч/ А — х 0 = шшах жн ~ У (О+ сх)1. Отсюда ясно, что с~ =О.
Таким образом, получаем следующие выражения для составляющих скорости и~, и и„: аоа — юшах з1н ( $/ — ф) э Юи = ~Ршах чг' А СОЗ (~/ а ф). Пользуясь выражениями (35) и (41) гл. 1, можно перейти от максимальной скорости газа к критической т/ й+т юшах = Нкр У а — 1 и выражения для и>„и ю„записать в следующем виде: Ик = ЮкР Сов( У ~ 1 ф) (19) (20) При ф= О получим и =О, и„= ю = ах„т. е. скорость невозмущенного потока равна критической скорости звука. Найдем теперь величину полной скорости на каждом из лучей: ш= 'Р/иа+ю,',. Из уравнений (19) и (20) получим Отсюда определяется приведенная скорость к, = — =1+ — зш'(у ф). а 1- (У ь+г кр (21) И Г. Н.
Азрамоакч, ч. Х иа =а'„р~ — зшх()// — „ф)+сова(т)/ + ф)1= -о:в[1+,', з1" (У,'- 1ф)1. РЛ. 1Ч. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА Все остальные параметры газа выражаются через приведенную скорость по формулам, полученным в гл. 1: „=(1 "— 'Ла)' ', т ь — 1 — — — Л', т а+1 (22) (23) (24) (25) Таким образом, определив по формуле (21) величину Лт для соответствующих значений ср, мы сможем по формулам (22) — (25) полностью рассчитать состояние газа на каждом из лучей, проходящих через вершину угла.
При д = 0 получается Л = 1, при ар >0 имеем Л > 1. По мере увеличения полярного угла скорость газа возрастает, а давление, плотность и температура уменьшаются. Как видно из выражения (21), при некотором значении полярного угла приведенная скорость может достигнуть максимального значения а а+ 1 Лтаа= ь 1Ф когда давление, температура и плотность газа равны нулю. Очевидно, что дальнейшее возрастание скорости невозможно, а следовательно, прекратится и поворот потока. Иначе говоря, существует предельное значение полярного угла, определяемое из условия Отсюда следует л ч/а+ 1 2 У Ь вЂ” 1.
(26) Заметим, что полученное решение пригодно для всех значений скорости сверхзвукового невозмущенного потока, а не только в случае Л,=1. Коли скорость невозмущенного потока больше скорости звука, то отсчет по формуле (21) следует начинать не от нулевого полярного угла (ар=0), а от того значения угла (1р,), которое соответствует заданной скорости невозмущенного $3 течение ПРАндтля мАйеРл потока (Ле). Из формулы (21) следует 'г /с+1 . Ь вЂ” 1 е ф" У /' — 1 агсэгп г' 2 1Л» — 1).
(27) Пригодность полученного решения для любого значения скорости основывается на том, что в данной задаче вдоль любой характеристики скорость н остальные параметры газа не изменяются, т. е. на любой характеристике поток является равномерным и параллельным.
И поэтому для поворота потока, происходящего правее данной характеристики, не может иметь значения предыстории потока, т. е. достигнуто ли данное значение Л, в результате ускорения газа при пРедварительном повороте от Л = $ и ф = О до Л = Л, и ф = ф, или поворот начинается сразу при значении приведенной скорости Л=Л,. Итак, в случае Л,) 1 при ф ~ гр, поток остается невозмущенным, т. е. все параметры газа сохраняют свое значение. При ф) ф, параметры газа вычисляются по полученным выше формулам (22) — (25). Надо Рис. 4.14. К определению линии тона при обтекании внешнего тупого угла Рпс. 4.13. Схеив отсчета углов ю» при я«р только помнить, что при скорости невозмущенного потока, большей скорости звука, углы ф нужно отсчитывать не от перпендикуляра к направлению невозмущенного потока, а от прямой, составляющей угол ф, + а, с направлением невозмущенного потока, где сг, = агсэш — (рис.
4АЗ) является углом распростра- М пения слабых возмущений, т. е. углом между характеристикой и направлением заданного невоэмущенного потока. Чтобы получить наглядную картину обтекания внешнего тупого угла, найдем форму линий тока. Для этого составим дифферендиальное уравнение линий тока в полярных координатах. Вспомним, что направление касательной к лйнии тона в каждой ее точке совпадает с направлением вектора скорости в этой точке.
Возьмем два бесконечно близких радиуса-вектора, составляющих друг с другом угол дф, и проведем в точке А первого радиуса отрезок линии тона АС, вектор скорости ш = АЕ, направ11е Гл. гч. ускОРение ГАЗОВОГО потокА ленный по касательной к линии тока в точке А и дугу окружности АВ радиуса г (рис. 4А4). Рассмотрим бесконечно малый прямоугольный криволинейный треугольник АВС. Тангенс угла А этого треугольника равен отношению ВС Ь. АВ Г Лр' (28) Уравнение (28) представляет собой дифференциальное уравнение линий тока в полярных координатах. В случае обтекания угла ю, и ю„ определяются формулами (19) и (20), поэтому дифференциальное уравнение (28) примет вид Его можно переписать также в таком виде Интегрируя это дифференциальное уравнение, найдем 1п г = — — 1п сов( у ~р) +1пг, А+1 /т/ з — т '(г' А+т где через 1пгс обозначена произвольная постоянная интегрирования.
После потенцирования получим а+г (29) Уравнение (29) есть уравнение линий тока в полярных координатах. Здесь гс — длина радиуса-вектора линии тока при ~Р = О, т. е. в невозмущенном потоке. Из уравнения (29) видно, что все линии тока представляют собой подобные кривые с центром подобия в вершине угла. Расстояние по нормали между двумя соседними линиями тока увеличивается в направлении течения.
Но угол между кривыми АВ и АС равен углу между их касательными АЕ и АЕ, т. е. $8(~-ЕАЕ)= й/гор. Вектор скорости ю разложим на составляющие и~, н и~„. Из треугольника АРЕ видно, что 18(~-ВЕА) = ю,!ю„. Но из построения ясно, что ~-РЕА = = ~-ЕАЕ. Таким образом, ~Ь. гор м з 3. ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ вЂ” МАЙЕРА Найдем теперь угол 6, между касательной к линии тока и направлением невозмущенного потока, движущегося со скоростью звука, т. е. угол, на который поворачивается поток, дойдя до соответствующего луча, составляющего угол ~р с перпендикуляром к направлению скорости невозмущенного потока (при Л„= 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
