Часть 1 (1161645), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3.3): с и>а = — юв~ тогда относительная скорость газа за фронтом волны (8) ю1 = юп и~в. Остановив ударную волну встречным потоком газа, мы получи- $19 З Ь ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ Р!ю! = Рвн2». Пренебрегая силой трения ввиду малой толщины скачка уплотнения из уравнения количества движения получим Р1 Р =Р 'Р (2Р н21) ° Сопоставляя эти уравнения, найдем 2 2 Рт Ри = Рвюн — Р2ю2 = ю22рн(Р2 — Ри) откуда Р2 Ри Р1 Рн = ю1юи (10) Если извне тепло не подводится, то полное теплосодержание газа остается постоянным. Теплоотдачей можно пренебречь, так как боковые поверхности струи в области скачка ничтожно малы.
Поэтому из уравнения теплосодержания следует 2 2 2 и'в Ш 2 а срТ = срТв + = срТ2 + = сопз21 здесь Тв — температура торможения. Из этого уравнения имеем „2 Ти — Т* — —. Согласно уравнению состояния газа Р1 Рн — = — =В, 92|2 Рити следовательно, Ф ° Тв= Р",= — ';, Нрн ЛР2 ли некоторую неподвижную поверхность, пересекая которую все элементарные струйки газа одновременно претерпевают скачкообразные изменения скорости движения, плотности, давления и температуры.
По этой причине ударную волну называют также скачком уплотнения. Скачки уплотнения удобно наитлюдать в сверхзвуковых аэродинамических трубах при обтекании воздухом неподвижных твер- 2и Ш дых тел. Примем площадь поперечного сечения струи равной единице (Т = 1 м2) и, пользуясь известными уравнениями газовой динамики, найдем связь между значениями скорости газа до и после скачка уплотнения (рис. 3.3). Уравнение неразрывности дает ГЛ. 1П. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 120 Рн = Рн Из термодинамики известно соотношение В=с й поэтому (Р.* Рн = Ри ( — — — юн~. ( рв 2й )' и По аналогии получаем в 1Р Л вЂ” 1 Рь =Р~~— 2й (Щ Вычтя равенство (11) из равенства (12), имеем Рн й — 1с н нт Рн — Рн = (Рр — Ри) в + (Рнюн — РРМ в 2й откуда на основании (9) выводится Рр Рн 2й Ри р,— р й-)-1р' (13р Используя выражение 1(41) гл.
Ц для критической скорости в н 2й эв в 2й а„р —— — ~™.Т й+1 й+ 1рв н найдем Рр Рн 2й и = — ВТн = ай . Рг — Рн й+ 1 (141 Наконец, сопоставляя равенства (10) и (14), приходим к следующему простому соотношению между величинами скорости газа до и после прямого скачка: 1снЮГ = анр. (151 Это кинематическое соотношение можно привестИ к безразмер- ному виду, вводя приведенные скорости (А, = и/а ): "'н нт — — =1 Ъ анр ннр ° в Здесь р„р,— полное давление соответственно за и перед скачком уплотнения, ЄР— плотность газа, соответствующая полному торможению, в тех же сечениях. Следовательно, й С ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 121 ИЛИ (16) откуда видно, что в пр мом скачке уплотнения всегда сверхзвуковая скорость газа переходит в дозвуковую, так как если и, ) ) а„„ то ю1 ( а„„.
Одновременно можно заметить, что чем больше значение приведенной скорости перед скачком, тем меньше ее значение после скачка, т. е. чем выше начальная скорость ю., тем сильнее получается скачок уплотнения. С уменьшением начальной скорости скачок ослабевает и исчезает совсем при зз, = ю1 = а. Установим теперь связь между давлением и плотностью газа в скачке уплотнения. Для этого сложим равенства (11) и (12): » Рн А — $т $' Рз + Рн = (Р1 + Рн) н (Рн»'н + Ртн'Т).
2й Из уравнения неразрывности следует Рнюн+ РР'г = юню1(рг+ Рн) Подставляя этот результат в предыдущее выражение, имеем Р1+Рн Р„ь — 1 юн»'1 Рг+ Рн Рн откуда на основании (10) и (13) получаем основное динамическое соотношение Рг Рн »1 Р| + Рн (17) Ру Рн Рт+ Рн согласно которому отношение прироста давления к приросту плотности в скачке уплотнения пропорционально отношению среднего давления к средней плотности.
Отсюда, между прочим, следует уже известный нам результат, что при бесконечно малом скачке уплотнения (р1 = р„р1 нз р,) получается вРР— =й —, »Р Р Это подтверждает сделанное выше предположение, что звуковой волне отвечает идеальный адиабатичвский процесс. Рассмотрим более детально термодинамический процесс изменения состояния газа в скачке уплотнения. Для этого представим динамическое соотношение (17) в несколько ином виде: Р,+Р Р,+Рн Р1 Рн Р1 Р» Разделим числитель и знаменатель в левой части этого равен- ГЛ. ПЬ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ ства на величину р„а в правой на р1. Р1 Рн — +1 1+— Рн А Р~ Ра Рн 1 —— Рн Р, Отсюда после несложных преобразований получается зависимость отношения р1/р, от отношения р~/р, в скачке уплотнения, носящая название ударной адиабаты: й+1 Рн а — 1+ Р (18) Рн й+1 Рн 1+ Существенной особенностью ударной адиабаты является то, что при неограниченном возрастании давления в скачке уплотнения (р1 - ) увеличение плотности имеет определенный предел, который как это видно из уравнения (18), равен (19) Например, для воздуха (й = 1,4) увеличение плотности в скачке уплотнения не может быть более шестикратного: При скачке уплотнения в газе с меньшим значением показателя й может наблюдаться более сильное, но также ограниченное возрастание плотности; например, при й = 1,2 = 11.
Р, Рн наах Следует подчеркнуть, что в отличие от ударной адиабаты в случае идеального адиабатического процесса, в котором имеет место зависимость увеличение плотности с ростом давления является неограниченным (р1 — при р1 — ). Сравнение адиабат ударной и идеальной произведено на рис. 3.4. Изменение давления и плотности газа в прямом скачке уплотнения можно представить в функции числа М перед скачком. Из уравнения количества движения с учетом формулы для скорости $ !, пРямые скачки уплОтнения 123 звука [(34) гл. Ц и уравнения неразрывности найдем —" — 1 = йМ.' Ь вЂ” Р" ~. Рн !! Р! / Если с помощью ударной адиабаты заменить отношение р./р! его выражением через отношение р!/р„, то после некоторых преобразований получим Р 2л а и — 1 Р„= 4+1 " а+1 В частности, для воздуха (й = 4,4) — = — Мн — —.
Р =Е н 6' (20) Можно выразить отношение давлений в прямом скачке уплотнения и в функции приведенной скорости перед скачком 2,.; для этого следует в равенстве (20) произвести замену Р переменных по формуле Р (45) из гл. 1: у аФалта й — 1 а+1 (2!) Рн Ь вЂ” 1 1 —— ,а+1 н к /а /х Ра Р! а!н (22) н ! 1+ 2 Ма а — 1 и При уменьшении скорости набегающего потока до критического значения (М, = 1) скачок уплотнения вырождается (р!=Р„).
В дозвуковом потоке, как уже указывалось выше, скачки уплотнения невоз- рис. 3.4. Сравнение ударной и идеальной можны. В прямом скачке адиабат уплотнения повышение давления зависит только от значения числа М в набегающем потоке, причем с возрастанием М давление увеличивается неограниченно (р! — при М, — ). Подставив результат (20) в уравнение (18), нетрудно вывести зависимость плотности за прямым скачком уплотнения непосредственно от числа М или с помощью (45) гл. 1 от приведенной скорости Х, в набегающем потоке: ГЛ. П1.
СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ Из равенства (22) еще раз заключаем, что даже при бесконечно большом значении числа М плотность газа увеличивается в скача+1 ке не более чем в — раэ. / — 1 Определим потери полного давления в прямом скачке уплотнения. Полное давление в струе после скачка, очевидно, равно В Р, Р, Р1— А А (23) Полное давление перед скачком равно Ри Э Ри = ь — 1 и 1 — а+1 А2 н Р1 2 Пи= =ни Ф Рн (24) Ь вЂ” 1 1— А+1 1,2 Прн скорости полета, равной или меньшей скорости звука (Х, ( $), волновое сопротивление исчезает о. = 1; формула (24) справедлива только нри Х, > 1. При бесконечно 2 и+1 большой скорости полета ~» = — ~ получается и = О, од= Ь вЂ” 1! пако при этом потери не поглотят всего первоначального запаса Ф1 полного давления, так как другой множитель (Р ) стремится к бесконечности. Кривая зависимости и, 1(А) для воздуха (й = 4,4) приведена на рис.
3.5. Из равенств (73) гл. 1 и (22) можно получить формулу для определения плотности заторможенного газа после прямого скачка уплотнения (25) поэтому коэффициент сохранения полного давления, учитываю- щий волновое сопротивление (потери в прямом скачке), можно представить, если использовать выражение (21), следующим об- разом: 6 Ь ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ В заключение заметим, что выведенное выше равенство (10) и уравнение неразрывности дают возможность представить скорость потока перед скачком как следующую функцию возрастания давления и плотности: Р1 — Р» Рт ' — Рн Рн Но зто есть уже известное выражение (5) для скорости распространения прямой ударной волны в неподвижном воздухе. Такой результат является вполне естественным, так как для того, чтобы Рис.
3.5. Зависимость коэффициента ДГ сохранения полного давления эа прямым сначком уплотнения от приведенной скорости г - Ф остановить ударную волну, следует направить газовый поток навстречу волне и сообщить ему скорость, равную скорости волны. Подставляя выражение (22) в соотношение (т5), получаем новую формулу для относительной скорости газа за фронтом скачка Отсюда с помощью (19) обнаруживается, что относительная приведенная скорость газа за скачком не может быть меньше некоторого определенного значения: (26) Если перейти от неподвижного скачка уплотнения к скачку, распространяющемуся в неподвижном газе со скоростью и1, = = — 1р„то с помощью полученных равенств можно определить абсолютную скорость, которую приобретает газ в следе за скачком: (27й П'и = 1пн П'1 = аар ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
