Часть 1 (1161645), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2,1б Схема обтекания закругленных нулли для несжимаемой н острых кромок жидкости) должно стать отрицательным, что невозможно. Когда радиус закругления равен нулю, т. е. когда жидкость обтекает острую кромку (угловую точку контура рис. 2.16, б), скорость обращается в бесконечность точно так же, как в центре точечного вихря, индуцирующего циркуляцпопное движение. Но бесконечно большая скорость требует нереального бесконечного отрицательного давления. Поэтому бесконечно большая скорость невозможна, следовательно, невозможно безотрывное обтекание острых кромок, и происходит срыв ! ) Как нетрудно показать, циркуляция по любому замкнутому контуру, не охватывающему ядро, равна нулю, т. е.
ядро играет роль вихРя. гл. и. элемннты Гидгодинлмини 108 струй'). Единственно возможным случаем безотрывного обтекания тела с острой кромкой (крылоного профиля) потоком идеальной несжимаемой жидкости является случай, изображенный на рнс. 2.16, в; здесь острая кромка лежит на линии раздела потоков, обтекающих верхнюю и нижнюю стороны профиля, и струи жидкости плавно сходят с контура тела.
В реальной жидкости, обладающей вязкостью, при срыве струй из завихренных частиц пограничного слоя образуется вихрь, который как бы «округляет» острую кромку, и струи жидкости обтекают уже не острую кромку, а этот вихрь. $12. Примеры плоских потенциальных установившихся течений несжимаемой жидкости Определим потенциальную функцию е(х, у) и функцию тока ф(х, у) для некоторых простейших случаев безвихревого течения несжимаемой жидкости. П р и м е р 1.
Плоскопараллельный поток. Выберем систему координат так, чтобы ось х была направлена по скорости потока Игб тогда (рис. 2.17) и= Иги и=о. Подставляя значения этих составляющих скорости в (95а) и (97), получим после интегрирования следующие выражения для потенциальной функции и функции тока: е = Иг,х, (107) ф = Иг~у. (108) П р имер 2. Источник и сток. В случае источника жидкость движется по прямым, исходящим во все стороны иа начала координат как из центра.
Рис. 2Л8. Источник на пло скости Рис. 2Л7, Плоскопараллельный поток ') В дальнейшем будет показано, что в сверхзвуковом потоке газа возможно безотрывное обтекание острой кромки; при этом скорость нигде ие обращается в бесконечность. Мощность источника характеризуется секундным расходом жидкости Д, зная который легко определить зависимость радиальной и окружной составляющих скорости потока от расстояния г до центра источника $12. ПРИМЕРЫ ПЛОСКИХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ 109 (рис. 2.18): зг=зг = — ю =О. 1'З г 2яг' (109) Соответственно г'г х "ля, у 0 у ,=, з(пЕ= — —. г 22я 2 2( 2' Производя интегрирование согласно (96а), находим уравнение линий тока ф = л агс19 = я 0* 0 у 1г 2л х 2л (110) которые представляют собой семейство лучей, исходящнх иа начала координат.
В полярной системе координат выражение для проиавольной потенциальной функции (95а) записывается так: ду дг (111) где зг, определяется формулой (109). В соответствии с этим после интегрирования следующее выражение для потенциала: 2 <~ получаем (112) В соответствии с этими значениями проекций скорости, нндуцируемой вихрем интенсивности Г, получаем следующие выражения искомых функций: Г Г 1р = — 8, ф = — 1п г. 2п ' 2я Выше уже указывался (см. $10) графический способ построения некоторого результирующего течения, образующегося в результате наложения двух известных плоскопараллельных установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости. Оту же операцию можно провести и аналитическим путем, используя известное свойство линейных функций (к которым принадлежат и потенциальная функция (95б), и функция тока), что сумма любого числа частных решений также является решением.
Таким обрааом, если имеются два течения с потенциалами щ и йз н с функциями тока ф, и грг, то соответствующие функции результирующего .течения будут равных их суммам: 'Р %~+ Р~ чР = 29~+ зйз. Линии равного потенциала представляют собой семейство концентричесних окружностей, центры которых совпадают с центром источника. В приведенных выше выражениях расход 0 можно рассматривать как алгебраическую величину. Положительные значения Д соответствуют источнику, отрицательные — стону. В последнем случае жидкость движется к центру по тем же линиям тока, что и в случае источника. Пример 3. Точечный внхрь.
В предыдущем параграфе было покалано, что в случае точечного вихря Г зг = —, ю=О. и 2яг' ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ ао В качестве примера рассмотрилг поток, который получается от наложения источника н стока равных расходов. Поместим начало координат посредине расстояния между центром источника и центром стока и за ось х примем прямую, соединяющую эти центры. Пусть абсцисса источника — е, абсцисса стока +с. При таком расположении системы координат потенциал скоростей и функция тона для источника и стока определяются, согласно (110) и (112), следующими формулами: рист — — 2„1в 'г (х+э) +у, фаст 2— ,1 агс(й + з, () у гу = — — 1п г (х — з) +у, ф = — — агсгд —. 1) ст 2л х — е Для результирующего потока ~р = — ~1в У (х -(- з) -(- у — 1п )г (х — в) + уэ), ~агс Фй — — агота — ~.
(~( у . у 2я) х+з х — в Рассмотрим предельный случай, когда расстояние между центрами источника и стока, равное 2е, стремится к нулевому значению и одновременно расход каждого из ннл Ч' стремится к бесконечности, но так, что произведение 2з() остается все время постоянной величиной 2з9 = М = сонэк Поток, который получается в пределе, нааывается диполем, постоянная М, его характеризующая,— моментом диполя, а ось х (в данном случае) — осью диполя. Вычислим потенциал скоростей и функцию тока диполя.
По определению имеем И)- 1п г' (х+з)'+у' — 1п У(х — э)'+у 2пе о 2с у у агсся + — агсся $ = — 11пг 2кз о 2з Заметим, что знаменатель каждого из выражений, которые стоят здесь под знаком предела, можно рассматполя ривать как приращение независимого переменного, а числитель — как соответствующее приращение функции, В соответствии с этим по определению производной мы можем написать: 5 !3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ После дифференцирования получаем М х М соеО М у М з1пО 1р = — — = — —, ту = — — = — — —. (114) лвп 2п 3+ з 2п г ' лвп 2л з ) уз 2к г Анализ выражения (114) показывает, что линии тока суть окружности, проходвщие через начало координат и имеющие центры на оси у. Жидкость по указанным окружностям вытекает из начала координат и вновь в него втекает.
Очевидно, что в этом случае расход жидкости через произвольный замкнутый контур, окружающий диполь, равен нулю (рис. 2.19). Согласно (114) линии равного потенциала также являются окружностями, проходящими через начало координат, но с центрами, расположенными на оси х. 5 $3.
Интегральная форма уравнений газовой динамики Математическое исследование течений с реаким изменением параметров (например, в ударных волнах) с помощью дифференциальных уравнений ((42) и (26), (50) — для вязкого газа или (84), (83) — для идеального) оказывается затруднительным в связи с необходимостью выделения особьгх поверхностей (разрывоз) и расчета изменения параметров на них по специальным соотношениям. Эти трудности можно избежать, применяя интегральные уравнения, не содержащие производных от функций, характеризующих состояние среды.
Для этого получим уравнения, выражающие законы сохранения массы, количества движения и энергии в интегральной форме. Выделим в пространстве, заполненном потоком, фиксированный (не зависящий от времени) объем )г, ограниченный поверх41яс. 2.20. К выводу интегральных уравнений законов сохранения: а) рас.сматриваемый объем У с поверхностью о, б) скорость, поверхностная сила и внешняя нормаль к элементу поверхности оо постыл 8 (рис.
2.20, а). В рассматриваемом объеме в каждый момент времени заключена масса газа ) рс()г. Количество газа, покидающего объем 4г за единицу времени, составляет величину ( р(%н) о!8 ') (рнс. 2.20, 6), где и — единичный вектор внешней ') (туп) — скалярное произведение векторов % и и, гл.п. элементы гидгодинлмики 112 нормали к элементу поверхности оЯ. Так как скорость изменения массы в объеме Р равна скорости потока массы через его границу Я, то получаем закон сохранения массы, или уравнение неразрывности, в виде — ~рЛ~+ ~ р(тт'и) НЯ = О. (115) г е Получим уравнение количества движения. Газ в объеме г' обладает количеством движения ~ртт'АР.
Изменение этой величины происходит за счет вытекания газа через границу Я, причем за единицу времени теряется величина ) р(ттп) тРНЯ. Кроме того, на газ, заключенный в объеме г', действует сила со стороны остальной части газа. В общем случае эта поверхностная сила действует под углом к внешней нормали. Касательная составляющая напряжения р, связана с вязкостью.
Для идеального газа напряжение поверхностной силы сведется к нормальной составляющей, которую можно представить в виде р„= — рп, где р— давление. Так как скорость изменения количества движения в объеме г' равна действующей силе плюс скорость потока импульса через границу Я, получим закон сохранения количества движения — ~р%11Р+ 1р(ЖН)ЪЧ1(Я= — 1 рва.
(116) Полная энергия гааа (внутренняя ллюс кинетическая) в объеме У равна )р(У+ — 1Л', где ('= — —. Ее изменение 2/ ' Ь вЂ” 1р' свяаано с переносом энергии через поверхность Я, причем за еди- И'~1 ницу времени уносится ) р(11+ — ) (Жп) ЮЯ, а также с работой е сил давления р, которая за единицу времени равна ) р(ттп)1)Я. е Скорость изменения энергии в объеме г равна мощности действующих сил плюс скорость потока энергии через границу Я В результате получаем уравнение сохранения энергии в фиксированном объеме г' З 1 р (Г1 + — ) д' + 1 р (У + — ) (%11) ЫЯ = — 1 р(жп) 11Я (117) Эти уравнения представляют собой наиболее общую форму записи уравнений газовой динамики.
Они допускают существование разрывных решений. Уравнения газовой динамики в диффереи- в $3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ из циальной форме могут быть получены из интегральных уравнений. Для получения единственного решения задачи, кроме системы уравнений, необходимо задать дополнительные начальные и граничные (или краевые) условия. При этом важно, чтобы задача была корректно поставлена. Это означает, что решение задачи сутцествует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных (малому изменению исходных данных соответствует малое изменение решения). Требование корректности важно при численном решении задачи, так как всякое численное решение является приближенным и необходимо, чтобы метод решения был устойчив к малым погрешностям в исходных и промежуточных данных.
8 Г, Н. Абрамович, ч. 1 Г л а е а 111 СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ й 1. Прямые скачки уплотнения В случае полета тела со сверхзвуковой скоростью (лт, ) ак) перед ним возникает ударная волна (скачок уплотнения), вызывающая значительное сопротивление. Если рассматриваемое тело представляет собой летательный аппарат, снабженный воздушно-реактивным двигателем, то в сверхзвуковой струе воздуха, которая тормозится при втекании в двигатель, также происходит скачок уплотнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
