Часть 1 (1161645), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Множитель при третьем члене правой части уравнения (61), представляющий собой отношение рассеиваемого тепла к конвективному тепловому потоку, не приводит к новым критериям, так как равен отношению температурного критерия к числу Рейнольдса: в сЬТР? сЬТ рпз а' (66) К сказанному следует добавить, что для среды переменной плотности в уравнениях Навье — Стокса массовые силы суть объемные силы Архимеда, так как по закону Архимеда «частица, окруженная жидкостью отличной плотности, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненный ею объем жидкости». Таким образом, сила Архимеда, приложенная к частице, имеющей объем гг, равна (1 У )?г=е(Р Р )У Проекции силы Архимеда, отнесенной к единице объема, которые должны быть подставлены в уравнения Навье — Стокса, можно представить в виде х=у.(р — р„), у=а„(р — р.), я=у,(р — р ), Относительное изменение объема, а следовательно и плотности, пропорционально изменению температуры: Ь?г Р— Р„ у = —" = 1 (Т- — Т) Р где р — коэффициент объемного расширения.
В идеальном газе при постоянном давлении р/р = Т )Т, т. е. р = ?(Т, поэтому у г„? ьт,ьт ьт, ? ьт р»» гг«Т~ ЬТ Т Рг ЬТ Безразмерный множитель а ЬТ 1 Т Рг (67) где д„, ус, у, — проекции ускорения силы тяжести на координатные оси. Отношение силы Архимеда к инерционной силе, которое должно стоять в этом случае в правой части уравнения Навье— Стокса для оси у, запишется в виде У Вгг(Р— Р ) г ГЛ, П. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ 86 называют числом Архимеда; оно имеет значение для гидродинамического подобия в том случае, когда перепады температур в газовом потоке велики, а скорости малы. Как видим, критерий Архимеда получается от деления относительного перепада температур на число Фруда. В общем случае (~.Ф 1/Т ) трат,Р тс Аг =— д4 ис Безразмерную величину (68) ги агат с (69) выражающую отношение силы Архимеда к силе вязкости, называют числом Грасгофа.
Итак, для выполнения условий гндродинамического и теплового подобия нужно, чтобы в модели значения критериев подобия: и 1 Р= —, У числа Рейнольдса: ис Рс = — = — Р е числа Прандтля: (70) яхт *сз 2 Э числа Грасгофа: и температурного критерия: 6 = —, =с„аг,' были такими же, как и в натурном объекте. Для газов должно соблюдаться также равенство значений числа Маха и М=— Ю и отношения теплоемкостей й = — Р. с„ 5 8. Слоистые течения К одному из простых частных случаев точного решения уравнений Навье — Стокса мы приходим в случае так называемых слоистых течений, когда сохраняется лишь одна составляющая скорости, а остальные две всюду равны нулю: и=и(х, р, г, г), Э=О, и О.
6 8. СЛОИСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ 87 Если массовые силы пренебрежимо малы, то в этом случае урав- имеют вид пения движения ди ди — +и — = д1 дх /д~и д~и д и) 1 д ~'ди 1 дуз дхз ! 3 дх (дх /' — + др дх — + др ду др — + дх 1 р 1 О= О= а уравнение неразрывности — вид др д (ои) — + — ' = О. д1 дх Если, кроме того, ограничиться случаем установившегося течения несжимаемой жидкости (ди/д1 = О, р = соп81), то из уравнения неразрывности вытекает неизменность скорости в направлении течения ди/дх = О, а из последних двух уравнений движения — постоянство давления в поперечных направлениях: др/др = О, др/дг = О.
Тогда из первого уравнения движения получим '1 (7() Пусть слоистое течение вязкой несжимаемой жидкости рпс. 2.6. Пзоскопараплелъпое течение является плоскопараллель- в канале ным, причем скорости течения в направлении оси з не изменяются: ди/дз = О. Тогда в первом уравнении движения сохранятся только тангенциальные вязкие напряжения, действующие в плоскости х, у: а„=О, т,„= О и ди т =)6 —. ду Соотношение (71) выражает закон вязкого трения Ньютона в простейшем виде; дифференцируя (71), получим дтух д и = )8 дУ ду Тогда первое из уравнений движения примет вид = )8 др ли (72а) дх Рассмотрим плоскопараллельное слоистое течение вязкой несжимаемой жидкости в канале, образуемом двумя бесконечными параллельными пластинами.
Если расстояние между пластинами равно 26 н начало коор- динат лежит на оси канала (рис. 2.6), то в качестве граничного гл. и. элкмвнты гидгодинлмики условия задачи можно принять условие прилипания жидкости к стенке и = 0 при у = ~Ь. (72б) Интегрируя дифференциальное уравнение (72а), имеем Ыр ии — „у+ с,=р,— „. (72в) Из условия симметрии следует, что в средней плоскости (у = 0) 2(и722у = О, и, значит, С2 = О. Интегрируя теперь уравнение (72в), получим 2 ив У'+С = Ри откуда на основании (72б) имеем лр 2 вх и, следовательно, и = — — — (у — Ь ). 2 р в'х (72г) Скорость течения на оси канала (прп у = 0) вр и = — — — Ь. 2в Ых (72д) (73а) ь ( 7 (~ илу 1 1 Вычислим градиент давления вдоль канала.
Для этого определим из (73а) вторую производную скорости в поперечном направлении д и 2 Ыу2 Ь2 Поделив почленно равенство (72г) на (72д), получим в у 1 2 ° 22 Ь'' Ив (73а) следует, что безразмерный профиль скорости при слоистом движении жидкости в плоском канале не зависит ни от величины вязкости, ни от величины продольного градиента давления и представляет собой квадратичную параболу. Пользуясь условием постоянства расхода жидкости, можно, исходя из (73а), определить так называемую среднюю скорость течения в канале 8 8, СЛОИСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ и подставим ее значение в (72а) ер 2Рио йо Итак, потери давления при слоистом течении жидкости в плоском канале пропорциональны скорости и обратно пропорциональны квадрату высоты канала.
Изменение давления на участке конечной длины х = 1 равно 2Рио~ о Ьо (74) или в безразмерном виде йр 86Р ио Рий В. о о Р— 2 Здесь Ь = 2Ь вЂ” полная высота канала. Заменяя с помощью (73б) максимальную скорость на среднюю, получаем известную формулу Дарси ср (75) в которой коэффициент потерь на трение 24 А=в =Ро (76) выражается через число Рейнольдса, определяемое по средней скорости и высоте канала Рисри ко (77) Р 2ри 6Ри ь и (78) нлп в безразмерном виде тю $2Р 12 ст (79) Ри рь ен Р— ср 2 Величина со называется коэффициентом новерхностноео трения. Значения т п с, можно определить п непосредственно из (75), Знак минус в формуле (75) указывает на то, что давление вдоль канала убывает.
Вычислив с помощью (73а) значение поперечного градиента скорости у стенки (у = Ь), найдем пз (71) напряжение трения у стенки гл. и. элкмкнты гидгодннлмики 90 если учесть, что сила разности давлений, действующая на столбик жидкости высотой й и длиной ), должна уравновешиваться силой трения, приложенной к стенкам '): т 2) = Ьрй. Отсюда а а т = — Ьр — = — — р— 2 ) 2 2 ' (80) т.
е. ), с1 = Дифференциальное уравнение (72а) описывает также слоистое течение между двумя параллельными стенками, из которых одна движется в своей плоскости со скоростью с1, а другая неподвижна (течение Куэтта) . 9 9. Уравнения движения идеальной жидкости Анализ уравнений движения Навье — Стокса, проделанный Нрандтлем еще в 1904 г., показал, что в случае жидкости малой вязкости (вода, воздух и т.
п.) при достаточно больших значе- ниях числа Рейнольдса влияние вязкости сказывается лишь в тонком слое, прилегающем к поверхности обтекаемого тела,— пограничном слое а). Вне этого слоя роль вязкостных сил ока- зывается настолько малой, что соответствующими членами в уравнениях Навье — Стокса (26) или (27) можно пренебречь.
В таком случае получим уравнения движенкя идеальной сжимаемой жидкости (идеального газа) ди ди ди ди др р — +ри — +ри — + риг — =Х вЂ” —, дг дх ду дх дх ' ди ди ди ди др о — + ри — + ри — + рщ — = У вЂ” —, дс ' дх ду дг ду ' ди~ ди, ди> дв др р — + ри — + ри — + рщ — = Я вЂ” —, дг дх ду дх дх' или, в векторной форме, д% р — = К вЂ” ягай р, де (82а) илн, наконец, — + (т(1 ту) % = — — — ассад р. д1Ч и ) д1 р р (82б) ') Профиль скорости в поперечном сечении стабилен и плотность жндности неизменна, а следовательно, суммарное количество движения вдоль щели постоянно.
') Подробнее о пограничном слое см. гл. ЧП 9 3. уРАВнения дэнн~ения идеАльной жидкОсти 91 Так как во многих случаях при этих условиях теплопередача существенно проявляется тоже лишь в пограничном слое, то в остальной части газового потока согласно уравнению энергии(50) (83) и, в частности, при установившемся движении гв = сопзп (84) Но в отсутствие трения и теплообмена в газе осуществляется идеальный адиабатический процесс, в связи с чем вместо уравнения энергии можно использовать уравнение идеальной адиабаты — = сопз1. Р Р А Уравнение энергии может быть также записано в виде де 1 — + (тт' 17) е = — — 81У р тт', дГ Р (85б) И'т где е = (р+ — — полная (внутренняя+ кинетическая) энергия 2 единицы массы движущегося газа. Правая часть уравнения (85б) представляет собой работу снл давления.
В случае, если жидкость является идеальной и несжимаемой (Р = сопз1), задача интегрирования уравнений движения (81) сильно упрощается. На зто указал впервые еще Эйлер, чье имя носят уравнения движения (81). Аналитические методы решения уравнений движения идеальной жидкости получили большое раавитие, и в настоящее время изучено множество случаев обтекания тел (крылья, решетки крыльев, тела осесимметричной формы, всевозможные каналы и т. и.). Из совокупности работ этого направления образовалось важное направление современной механики — классическая гидродинамнка. В сочетании с теорией пограничного слоя гидродинамика идеальной леидкости стала мощным средством решения задач аэродинамики самолета, гидродинамики корабля, механики движения жидкости по трубам и многих других.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
