Часть 1 (1161645), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ввиду непроницаемости линий тока для жидкости значение функции тока на каждой линии тока постоянно. Сравнивая (97) и (95а), мы видим, что семейства линий тока (0р = сопз1) и линий равного значения потенциала скорости (1р = сопзФ) образуют ортогональную сетку кривых. Если известны два каких-либо плоскопараллельных установившихся течения идеальной несжимаемой жидкости, т.
е. для каждого из этих течений известны величина и направление скорости в каждой точке плоскости, то можно построить новое результирующее течение, которое возникнет в результате наложения этих двух известных — — — РИ1УЛ1ЮПРУЮЩПР ППЮПП Рис. 2.8. Графическое сложение потоков Рис. 2.7. К определению расхода жидкости между соседними линиями тока течений. Для этого в каждой точке плоскости нужно построить векторы скорости каждого из двух известных течений.
Сумма этих векторов представляет собой вектор скорости нового результирующего течения. Дадим простой способ графического определения линий тока результируюп\его потока по линиям тока накладываемых потоков. Для этого нанесем на чертеж линии тока двух каких-либо плоскихпотоков (рис.2.8).Пересечение этих линий тока образует сетку. Линии тока надо вычертить так, чтобы стороны клеток Ч Г Н. Абрамович. ч, 1 Гл. и. элементы гидгодннлмини 98 и — +и — +р~ — + — )=0 др др Iди да ) дх ду (дх ду/ (98) и выразим градиенты плотности через градиенты давления и скорость звука: др ардр т др др ардр т др дх Йрдт ив дх' ду ар ду,тт ду' (99) Выражая в (99) градиенты давления с помощью (92) через ско- рости, получим др р у ди дит др р / да да~ — = — — (и — + р — р — = — — (и — + п — ).
(99а) дх ит ~ дх ду)' ду ив ~ дх ду)' Подставляя (99а) и (95а) в уравнение неразрывности (98), имеем (а' — и') — У вЂ” 2ип — т + (а' — п') — Р = О. (100) дх дх ду дут Мы вывели основное дифференциальное уравнение газовой динамики для плоского потенциального установившегося течения. В частном случае малых скоростей движения газа (и и а, и С а) уравнение (100) переходит в уравнение Лапласа (95б), определяющее движение несжимаемой жидкости. Для построения поля скоростей в сверхзвуковом потоке обычно решают уравнение (100) методом характеристик.
При исследовании обтекания тонких тел на малых углах атаки как в дозвуковом, так и сверхзвуковом потоке уравнение (100) решают методом малых возмущений (метод линеариэации). ') Легко показать, что для выполнения этого условии достаточно провести линии тока так, чтобы расход между любыми двумя соседними лнннямн тока для обоих потоков был одинаковым.
этой сетки изображали в определенном масштабе векторы скорости накладываемых потоков в данной точке '). Тогда для получения линий тона результирующего потока достаточно соединить между собой последовательные точки пересечения линий тока накладываемых потоков, т. е. провести диагональ в каждой клетке сетки. Эти диагонали изображают в том же масштаое векторы скорости результирующего потока в соответствующих точках (рис.
2.8). В случае сжимаемой жидкости (газа) уравнения (92) — (94) удобно преобразовать, вводя в них скорость звука а = ИрЯр. Для этого уравнение неразрывности (93) представим в виде 5 11. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ 5 И. Циркуляция скорости В установившемся плоском движении скорость частицы пг является функцией двух координат и = и(л, у). Зта векторная функция определяет коле скоростей. При исследовании различных случаев газовых течений, в частности обтекания крыльев и иных тел, полезно ввести некоторую величину, связанную с полем скоростей рассматриваемого течения и называемую циркуляцией скорости. Под циркуляцией скорости Г по замкнутому контуру Е понимают интеграл ~ пгсоз(тт, 1) Ж. (101) Здесь иг — величина скорости, (тт, 1) — угол между скоростью и направлением контура в данной точке, пь — элемент длины дуги контура. Знак ~ показывает,что интеграл берется по замкнутому контуру.
Таким образом, циркуляция скорости представляет собой предел суммы произведений тангенциальной к контуру проекции Ю Рис. 2ИО. К суммированию цириулнции Рис. 2.9. К суммированию цир- куляции скорости на соответствующий злемент длины контура. Положительным направлением обхода на контуре будем считать направление обхода против часовой стрелки '). Из самого определения циркуляции следует, что циркуляция по любому контуру Б может быть выражена в виде суммы циркуляций по отдельным клеткам произвольной сетки, покрывающей площадь, ограниченную контуром Г (рис.
2.9). В самом ') Иногда удобнее считать положительнмм противополовгное направление. гл. и. элвмвнты гидгодинамики деле, рассмотрим некоторый замкнутый контур АРСВА. Пусть произвольная дуга АС разбивает область, ограниченную этим контуром, на две клетки: АСВА и АРСА (рис. 2ЛО). Выразим циркуляцию для каждой клетки. Для первой клетки ГАсВА = () (с соя ((т~ () Л. (АСВА) При этом интеграл по контуру АСВА может быть разбит на два интеграла: интеграл по дуге СВА и по дуге АС.
Для второй клетки ГАРСА = (у ш соя (%', () (((. (АЬСА) Интеграл по этому контуру составляется из интегралов по дуге АРС и по дуге СА. Сумма циркуляций по контурам АСВА и АРСА равна сумме четырех интегралов, причем интеграл по дуге АС, входящий в первую циркуляцию, и интеграл по дуге СА, входящий во вторую циркуляцию, взаимно уничтожаются, ибо онн представляют интеграл по одной и той же дуге, проходимой в противоположных направлениях (подынтегральная функция в обоих интегралах одна и та же). Поэтому сумма циркуляций по контурам АСВА и АРСА равна сумме интегралов по дугам СВА и АРС, т. е. интегралу по контуру АРСВА.
Итак, Г*сьь + Гьвсь = Гьвсьь. Таким образом, сумма циркуляций по контурам двух смежных клеток равна циркуляции по всему контуру Х. Если каждую из клеток АВСА и АСРА разбить еще на две клетки, то для каждой из них можно полностью повторить приведенное выше рассуждение. Продолжая процесс разбиения дальше и повторяя каждый раз такие же рассуждения, мы приходим к высказанному выше положению о суммировании циркуляций (см.
рис. 2.9). Выразим теперь подынтегральное выражение в формуле (10() с помощью полярных координат (ц (р). Для этого рассмотрим рис. 2.И. Пусть М(г, (р) — точка произвольного контура Ь, Ж = =МУ вЂ” элемент дуги этого контура, и — скорость в точке М с проекциями к(, и и)„. Обозначим угол ((т, () = ~- '(т'МР = а, ~-РМК = (), ~-ЛМК = "(. Из рисунка видно, что х = Т вЂ” р. Поэтому соз(ъ, ()= соз(» = соз(( — р) = сов ( соз р+ зш Т з)п р.
Но из малого криволинейного прямоугольного треугольника МУК получаем мк в . лк йр соз у = — = — гйп у = — = г —. МЛ( И' Л~М и' 1 и, циркуляция скорости 1о1 Далее, очевидно, что юг соз(1 = —, ю' Подставляя эти значения в выражение для соэ(чг, 1), найдем агюг гирюа сон(тт, 1) = — — + — —. =и а Тогда подыитегральное выражение в формуле (101) принимает вид ю„й +ю гйр иг соз (тт, 1) сП = и~ Ж = пг„дг + пг„г Йр.
Таким образом, в полярных координатах получаем следующую формулу для циркуляции скорости: Г = ~1 пг„яг + нг„г Йр. (102) Элементарное перемещение частицы жидкости или газа в общем случае, как указывалось, состоит иэ трех частей: поступательного перемещения, вращения и деформации частицы. Движения, Рнс. 2.11. К определению связи меж- Рнс. 2.12, К опредаленню зазнхренду вихрем н циркуляцией ности з полярных координатах в которых вращение частиц отсутствует, называются безвихревььни, движения с вращением — вихревыми. При движении жидкой частицы МАЛ (рис.
2Л2) с вращением форма ее в общем случае иэмеияется. Пусть через малый промежуток времени дт грани МВ и МК займут положение МВ' и МК'. Перемещение частицы в целом, определяемое поступательной скоростью, в данном вопросе ие имеет значения. Определим угловые скорости вращения точек В и К относительно точки М. Если составляющие скорости в точке М обозначить через т02 гл. и.
элвмвнты гндтодинамики гп, и пт„, то составляющие скорости в точке К равны дв„ дв„ пгг+ — Лг и юо+ — Лг, дг а составляющие относительной скорости точки К (относительно двг дв точки М) — 'Лг и — "Лг. Очевидно, вращение точки К относительно точки М создает только вторая из этих составляющих, так как первая перпендикулярна к направлению вращения (направлена по МК). Таким образом, окружная скорость вращения точки К относительно М, за счет которой проделывается путь дв „еУ отЬЬ КК', равна — „"Лг, а относи- д тельная угловая скорость вращения точки К около центра М равна д℠— Ьг дг ви юк = — =— ог дг' Составляющие скорости в точке В равны (Рис.
2ЛЗ) дшг дп„ и,+ — "Лгр и и>ш+ — Лф. дф н др Вращение точки В относительно М происходит по направлению, перпендикулярРис. 2ЛЗ. К определению приращений ному к хорде МВ. В силу скорости н полярных координатах малости угла Лф можно счи- тать хорду МВ перпендикулярной к радиусу СМ, а длину хорды М — равной длине дуги МВ.
Тогда направление вращения точки В относительно М параллельно радиусу СМ. Найдем проекции обеих составляющих скорости точки В по направлению вращения. Из рис. 2.13 видно, что эти проекции соответственно равны дв дш„ — (иг„+ — Лф/соэЛф и (и„+ — Лгр) згпЛф. дф / дф Знак минус у первой проекции принят потому, что эта проекция создает вращение по часовой стрелке, а положительным считается вращение против часовой стрелки.
Считая приближенно соз Лф = 1 и э1п Лф ж Лф и отбрасывая член второго порядка малости, имеющий множителем (Лф)т, получим следующие значения рассматриваемых проекций: дв — ( „+, Л,~ ° .Лф. 5 1к циРКРляция скОРОсти Чтобы получить окружную скорость вращения точки В относительно М, нз полученных выражений нужно, очевидно, вычесть проекции составляющих скорости в самой точке М на то же направление СМ. Но проекция 1Р, на СМ равна самой величине и„ а проекция 1о. Иа СМ равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
