Часть 1 (1161645), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, окружная скорость точки В относительно М, которая обусловливает перемещение ВВ' (рнс. 2.12), выражается так: диг 1вийф (1вг + Лф 1дг дф Тогда относительная угловая скорость вращения точки В около центра М равна дв, др и> 1 дм МЛ г г д1р так как МВ = гагр. За среднюю угловую скорость частицы относительно точки М принимают среднюю арифметическую угловых скоростей крайних точек В и К: ыв+мк 1 дх х 1 д"') 1ЕСР— 2 2(дг г г дф Это выражение удобно преобразовать к виду или в полярных координатах д (и~„г) дм„ вЂ” —" = О. дг дф (105) Чтобы выяснить связь между понятиями вихря и циркуляции скорости, преобразуем подынтегральное выражение в формуле (102). Рассмотрим элементарную площадку МК1РВ, ограниченную координатными линиями МК, МВ и В)т', КЖ (рис.
2.14). Формула (103) определяет величину взвихренности или вихря скорости (см. з 1) в полярных координатах. В гидродинамике доказывается, что движения идеальной жидкости, бывшие безвихревыми в некоторый момент времени, всегда остаются безвлхревыми. Коли же движение было в некоторый момент вихревым, оно всегда будет вихревым. Возникновение вихрей должно быть вызвано специальными причинами, например вязкостью газа илн жидкости.
Условием отсутствия вихрей является 1», =О, (104) гч, и. элементы гидгодинамики 104 Составим подынтегральное выражение для циркуляции по контуру МК)тВ. Очевидно, получим дю дю„ оГ = штйг+ (ши+ — ог (г + от) оф — шт + — пф) ог — шаг оф. Рнс. 2.15. К суммированию цнрку- лнцнн н вавнхренностн Рнс. 2.14. К определению циркулнцнн в полнрных координатах противоположно направлению обхода по контуру МК)тВ. Произ- водя выкладки и отбрасыван член третьего порядка малости дш — (с1г) Ыф, получим ди дм '1 1 (д(пи ) дмт1 ЫГ = (г — + и„— — ) нг нф = — 1 " — — 1 гдф с1г. д " дф) ° 1 д дф! Сравнивая это выражение с выражением (103) для вихря ско- рости ю и замечая, что произведение гарт(г представляет собой элементарную площадь с1г', охватываемую контуром МК1тВ, за- пишем последнее выражение в такой форме: стГ 2ю сЦт. Если теперь разбить площадь, охватываемую произвольным контуром т, на элементарные площадки, образованные сеткой координатных линий (рис.
2.15), и использовать правило суммирования циркуляций, то получим Гь = ~~.",ИГ1 = ~ 2енс(Рь Здесь ш, — тангенциальная проекция скорости на отрезке э~~и МК = Нг,ш„+ — Нг — тангенциальная проекция скорости на дуди~~„ ге КХ = (г + Лг) с1ф, ш„+ — ссф — тангенциальная проекция дф скорости на отрезке )тВ = дг и ш„— тангенциальная проекция скорости на дуге ВМ = г Йр.
У последних двух членов принят знак минус потому, что положительпое направление скорости на отрезке )тВ и на дуге ВМ 105 1 ы. цигнтляция скорости или, если перейти от сумм к интегралам: Г = ф ш, г(г + и „г дор = 2 ~ ю с(Р. ь (у) (106) Полученный результат и выражает искомую связь между вихрем скорости и циркуляцией'). Если величина вихря одинакова во всех точках: ю = юо = сопз1, то Г = 2о)о ~ ЯР = 2юоР (р) Пр н мер 1. Вращение жндкостн как твердого тела.
Пусть жидкость вращается как тэердое тело вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью з. Тогда величина скорости э каждой точке ю = ег, где г — расстояние точки от начала координат. Найдем радиальную н окружную сестазляющяе скорости. Ясно,что в данном случае юг=0, и„=ю=ег. ') Формула (106) выражает для плоского движения теорему Стокса (см., например, Фабрикант Н. Я. Аэродяяакяка.— Мз Наука, 1964). ') В гидродинамике доказывается для весьма широкого класса практически важных движений, что н в случае яеусгансвявшегося движения циркуляция по аамкнутому контуру постоянна, однако в этом случае рассматркэается так называемый жидкий контур, т. е.
контур, состоящий яэ одних н тех же частиц. Последнее утверждение называется теоремой Томпсона. Из этой теоремы следует, что если некоторая масса жидкости в начальный момент времеви имела безэяхреэое движение нлк покоилась, то н впредь в этой части жидкости яе возникает вихрей, о чем уже упоминалось выше (см. также учебянк Н. Я. Фабриканта, цитированный выше, в первой сноске).
') Об одиночном вихре см. ниже — пример 2. т. е. в атом случае циркуляция по некоторому . контуру равна удвоенному произведению величины вихря на площадь, охватывавмую контуром. Предположим далее, что движение является установившимся и безвихревым (ю = О). В атом случае циркуляция по любому неподвижному контуру равна нулю'). Последнее заключение, однако, верно лишь в том случае, если внутри неподвижного контура находятся только частицы жидкости, совершающие безвихревое движение. Циркуляция по неподвижному аамкнутому контуру отлична от нуля, если контур охватывает область, внутри которой находится, например, одиночный вихрь') или обтекаемое тело.
Таким обрааом, мы видим, что возникновение циркуляции всегда связано с образованием вихрей в потоке жидкости или газа. Рассмотрим теперь некоторые простейшие примеры движения жидкости, которые позволяют выяснить физический смысл понятий вихря и циркуляции.
ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ 106 Составим выражение для вихря скорости. По формуле (103) го и г (~ г) 1 (д (гши) дшг) 1 д з 2г ~ дг д(р ~ 2г дг Величина вихря скорости во всех точках одинакова и равна постоянной угловой скорости вращения частиц жидкости. Этот результат был заранее очевиден, ибо он непосредственно следует из самого определении вихря. Найдем теперь циркуляцию по контуру, окружагОщЕму НачалО КоОРдикат. В качестве такого контура возьмем окружность радиуса г. Из формулы (102) получим Г = ~ ш, дг + шог йр = — ) егг йр = 2пзг . Ь о циркуляция пропорциональна квадрату радиуса.
Разделив ее на площадь круга Р, найдем Г 2изг — з — = — =2е=2ш, или Г =, 2шр. Это равенство иллюстрирует теорему Стокса (106); в данном случае циркуляция по окружности равна удвоенному произведению постоянной величины вихря ш на площадь круга.
П р и м е р 2. Безвихревое циркуляционное движение. В качестве второго примера рассмотрим такое плоское движение жидкости, когда частицы жидкости движутся по концентрическии окружностям вокруг начала координат со скоростями, обратно пропорциональными расстояниям частиц от начала координат, так что скорость в каждой точке ш = с/г, где с — постоянная. Здесь радиальная и окружная составляющие скорости равны ш, = О, ш„= ш = с/г.
Найдем величину вихря: ш = — ~ — (гши) — "~ = — (г — ) = О. Таким образом, величина вихря во всех точках, кроме начала координат, равна нулю. В начале координат (г = 0) скорость равна бесконечности, т. е. начало координат математически является особой точкой. Физически такое движение возможно лишь вне некоторого ядра конечного радиуса го Ядро может состоять из твердого тела нли из жидкости той же или другой плотности. Вне ядра течение является безвихревым. На поверхности ядра скорость имеет некоторую конечную величину шо = с/гс. Найдем значение циркуляции по окружности с центром в начале координат: зя Г = " с г дгр = 2яс = сопя(.
г а В данном случае циркуляция по любой окружности есть величина постоян- ная. Так как ш = с/г, то можно записать Г = 2пс 2ягш = сопз( = 2лгошм ТОТ 5 !1. ПИРКУЛЯПИЯ СКОРОСТИ где гв — радиус ядра, а ыг — скорость на его поверхности '). Таким образом, скорость в любой точке о о Г иг = — = г 2яг Рассмотренное движение жидкости носят название бегвихревого циркуляционного движения, а соответствующее ему поле скоростей называется полем скоростей плоского иголироеянного вихря, ЕСли счятзть жидКоСтЬ несжимаемой, то давление рм з з р= г — ~— = г — роя 2 2„з убывает с уменьшением расстояния от начала координат, т.
е. от центра вихря. Прн гв-гО ядро переходит в точку. Эту точку называют точечным иголировонным вихрем Поэтому безвнхревое цяркуляцнонное движение можно связать с точечным вихрем; последний индуцирует в каждой точке плоскостя скорость, перпендикулярную к отрезку, соединяющему зту точку с вихрем, н равную по величине Г/2лг, где г — длина указанного отрезка, т, е, нндуцнрует безвяхревое движение с циркуляцией Г. Отметим теперь одно важное явление, относящееся к обтеканию тел потоком идеальной жидкости. Если контур обтекаемого тела имеет участок, представляющий собой дугу с малым радиусом закругления (рис. 2.16, а), то часть потока вблизи этой дуги походит на циркуляционное движение: скорость увеличивается по меРе ~И~~ приближения к контуру дуги и при достаточно малых радиусах закругления может стать очень а большой. Прн некотором усе закругления скорость должна быть столь велика, что давление (вычнс- Ф Лнеьшв пс Уравнениш БЕР- Рггс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
