Часть 1 (1161645), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Например, в случае обтекания тела плавной формы при больших значениях числа Рейнольдса пограничный слой настолько тонок, что распределение давлений по поверхности тела определяется в первом приближении из уравнений движения идеальной жидкости. Далее, как будет показано в гл. У1, по известному распределению давлений можно рассчитать пограничный слой и найти напряжения трения у поверхности.
При необходимости можно во втором приближении рассчитать влияние пограничного слоя на внешнее обтекание тела (за пределами слоя) и затем определить более точно напряжения трения. Но ГЛ.Ц. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ часто к расчету второго приближения не прибегают, так как первое приближение дает удовлетворительные результаты. Особенно простой впд имеет решение уравнений движения (81) в случае безвпхревого движения идеальной жидкости, когда завихренность равна нулю (см. выражения (2) ), т. е.
1 /дв ди) , = —,' ф — '— ,")=О. (86) Из условий (86) следует, что существует некоторая функция ср, частные производные которой по координатам х, у, з равны соответствующим компонентам скорости, т. е. дф дф дф и= — и= — и~ = —. дх ду дх ' Действительно, подставляя этп значения в (86), получаем тождества дв ди дзф д ф — — — = — — — ь Оит.д.
ду дх дх ду ду дх Функцию ф принято называть потенциалом скорости, а безвихревое движение — потенциальным. Заменим в левой части первого из уравнений (8() полную производную скорости суммой ее частных производных и прибавим к ней равную нулю сумму ди дв ди дв Р— + ит — — о — — и~ —. дх дх дх дх ' Тогда зто уравнение приводится к виду ди 1 дтУ 1 др — + — — — 2 (оо, — ихое) = Х вЂ” — —, д1 2 дх р дх' (87а) где И' = унт+ из+ и~а — полная скорость течения жидкости. Аналогичным путем можно преобразовать уравнения движения по остальным двум координатным осям: ди , 1 дн'з — + — — — 2 д1 2 ду + 2 дв 1 дИ'~ д1 2 дх 1 др (во> — иа ) = У вЂ” —— х г 1, дут (876) 1 др (иву — иет„) = Я вЂ” — —.
р дх Система уравнений (87) называется уравнениями Ламба— Громеко. Если существуют потенциал скорости ф, потенциал У 9. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ЕЗ объемных сил бс дср — =и, дх дсу — — р ду ! д~р — = ис дг д дд — =г, дг то уравнения (87) записываются так: дд др дх дх' до др ду ду ' (88) дд др дг дг ' Здесь использовано условие независимости смешанной производ- ной от порядка дифференцирования Согласно (88) производные от комбинации Р+ — + — — О И'г дср 2 дс (89) по х, у и г равны нулю.
Значит указанная комбинация является функцией только оставшейся переменной — времени С. Это приводит нас к так называемому интегралу Лагранжа: Р+ — + — — О+С(с), где С(с) — произвольная функция времени. Так как по определению ~др то интеграл Лагранжа можно представить в следующем виде: — + — + — = б + С (с). др И'г дср р 2 дс (90в) В случае установившегося движения (дср/дс = О, С(с) = сопз$) имеем др РУ вЂ” + — = О+ сопзФ. р 2 а также некоторая функция Р(х, у, г, с), удовлетворяющая условиям др С др др 1 др др 1 др р дх ду р ду дг р гл.
и. элкмкнты гидгодинхмики 94 Если жидкость баротропна, т. е. плотность является однозначной функцией давления, то интеграл (90б) всегда может быть вычислен; при установившемся движении несжимаемой жидкости (р = сопза) интеграл Лагранжа выглядит так: р к' — + — = О + сопз$. 2 Важной особенностью интеграла Лагранжа является то, что он справедлив во всем пространстве, заполненном жидкостью.
Если потенциала скорости не существует, т. е. движение является вихревым, то уравнения движения идеальной жидкости (81) также можно проинтегрировать, но только вдоль линии тока и при условии установившегося движения. При установившемся движении элементарное перемещение частицы вдоль линии тока Ыг = И'г(г или в проекциях на координатные оси х, у, г Ых=исМ, Ну=рай, йг= и~А. Умножим теперь каждое из уравнений (81) на соответствующую проекцию элементарного перемещения вдоль линии тока и сложим эти три уравнения: или+ р~Ь+ юани> = = Хс(х+ Уду+ ЯИг — ~ — — Нх+ — — г(у-)- — — Ыг). / $ др $ др 1 др ), р дх р ду р дх Левая часть данного уравнения есть полный дифференциал от (И'з)2). Если существует потенциал силовой функции (Ы() = = Хдх+ УИу+ Я ~(г)и жидкость баротропна ( — = ЙР), то это (др р уравнение можно записать в виде После интегрирования приходим к известному интегралу Бернулли ууг Р + — = т) + сопз$, нли Ыр И'~ — + — — 6 = сопз$.
р 2 Если силовое поле обусловлено только земным притяжением н ось г направлена вертикально вверх, то проекции силы, действующей на единицу массы, равны да Х=О, У=(), г= — у= —. дх У 10. ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕН11Я или для несжимаемой жидкости — + — + А'г = сопзс. р и" 2 (91а) Напомним еще раз, что в отличие от интеграла Лагранжа интеграл Бернулли справедлив только вдоль линии тока, т. е.
значение константы в правой части (91) для разных линий тока неодинаково. Лишь в случае установившегося потенциального течения интеграл Бернулли переходит в интеграл Лагранжа и делается пригодным для любой точки пространства. й 10. Плоские установившиеся движения идеальных жидкости и газа Плоские (двумерные) установившиеся движения идеальной сжимаемой жидкости описываются следующей системой дифференциальных уравнений: уравнениями движения ди ди др ри — + ро — = — —, дх ду дх' ди ди др ри — + ро — = —— ди ду ду (здесь объемные силы опущены), уравнением неразрывности (93) уравнением идеального адпабатпческого процесса (вместо уравнения энергии) — = сонет.
(94) Рй В несжимаемой жидкости (р = сонет) уравнение (94) отпадает, а уравнение неразрывности упрощается: (95) Если существует потенциал скорости 1р, то ду д1у — =и, — =о. дх ' ду Подставляя (95а) в (95), получаем для потенциала скорости (95а) В таком случае интеграл Бернулли принимает уже известную из гл. 1 форму — + 2 +уз=совет, 1У2 (91) Р Гл.
и. элементы гидгодинАмики 96 уравнение Лапласа д(р д(р —,+ —,=О, дх ду (95б) или иоу — оох=О. (96) Как известно из математики, если выполняется равенство да дда ду дх' то левая часть уравнения (96) представляет собой полный дифференциал некоторой функции ~(х, у). Для потенциальных течений несжимаемой ягидкости это условие, как следует из уравнения неразрывности (95), всегда выполняется. Таким образом, дифференциальное уравнение линии тока можно записать следующим образом: Йу = и с(у — о ох = О, (96а) или ф(х, у) = сопзФ.
Функция ф значение которой вдоль линии тока сохраняется постоянным, называется функуией тока. Составляющие скорости можно, согласно (96а), выразить как частные производные от функции тока и= —, о= — —. дф дй (97) ду ' дх' Если подставить (97) в уравнение неразрывности (95), то оно обратится в тождество д~~р д 1р — — — = О. дх ду ду дх Физический смысл функции тока очеяь прост. Проведем в потоке две близкие линии тока через произвольные точки 1 и 3 к решению которого и сводится задача построения плоскопараллельного потенциального потока идеальной несжимаемой жидкости.
При этом используется граничное условие непроницаемости для жидкости твердой границы обтекаемого тела И'„= О, т. е. равенство нулю около стенки нормальной к ней составляющей вектора скорости. При движении вдоль линии тока частица жидкости за время Пг проходит путь ПЯ = ру'й или в проекциях на координатные оси ох = и й, оу = и Ж. Исключая отсюда время, получаем уравнение линии тока З 10. ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ (рис.
2.7). Нетрудно видеть, что объемный расход жидкости в плоском течении между соседними линиями тока равен с) у = и т)у — и 1(х = 1ГФ Таким образом, У' = ~ (и11У вЂ” пых) = тР(хт, Ув) — тР(хм Ут), 1 т. е. Секундный объемный расход жидкости, протекающей между линиями тока 1 и 2, равен разности значений функции тока на этих линиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
