А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Поэтому [u] вформулах (7) и (8) можно заменить на [р]. Cогласно формулам(1.4.7) и (4) приращения [s] и [I–] на слабых УВ пропорциональны[р]3. Следовательно, в случае рис. 2.7, а, когда УВ возникает нанепрерывной C+-характеристике,[ s ] = k s ξ3 / 2 , [ I − ] = k I ξ3 / 2 .(9)Если же точка i располагается на разрывной характеристике (рис.2.7, б и в), то[ s ] = k s ξ 3 , [ I − ] = k I ξ3 .(10)Разрывы выводящих производных, обусловленные образованием УВ, распространяются затем по соответствующим характеристикам. Разрывы производных энтропии распространяются поС0-характеристике, прошедшей через точку i.
Разрывы производных от инварианта I– распространяются по С–-характеристике,прошедшей через точку i, отражаясь от траектории поршня по С+характеристике как разрывы производных инварианта I+. Разрывам производных от инвариантов пропорциональны разрывыпроизводных от всех параметров, кроме энтропии.Рассмотренные случаи различаются принципиально. В случае(10) первые и вторые выводящие производные от s и I– непрерывны, а разрывы третьих и следующих производных конечны. Вслучае (9) при непрерывных первых производных разрывы всехпроизводных, начиная со второй, бесконечны.Получим для любой ПВ функцию x = x(t,u). Если U(t) – скорость поршня, то на нёмu(t ) = U (t ),tt00X (t ) = ∫ U (t )dt = ∫ u(t )dt .(11)Обозначив через τ время ухода С+-характеристики с траекториипоршня, проинтегрируем по t уравнение (2.2.5+)dx/dt = u + a60вдоль С+-характеристики от τ до t.
В ПВ на С+-характеристике u иа = a(u) постоянны. Поэтомуx = x (t , τ) = X ( τ) + {u( τ) + a[u( τ)]}(t − τ) .(12)При заданной скорости поршня, т.е. u(τ) = U(τ), уравнения (11) и(12) вместе с выражением для скорости звука а = а(р) и эквивалентным условию постоянства инварианта I– равенством (2.3.2)pdp(13)u = u( p ) = Φ( p ) = ∫ρap0дают параметрическую зависимость х от t и u. Последняя нужналишь для подстановки в условия (1) и (2), которые эквивалентныxτ ≡ (∂x / ∂τ)t = 0, xττ ≡ (∂ 2 x / ∂τ2 )t = 0 .(1 τ , 2 τ )При получении условия (2 τ ) учтено, что в силу (1 τ ) (индекс «t»опущен)22∂ 2 x ∂ 2 x ⎛ d τ ⎞ ∂x d 2 τ ∂ 2 x ⎛ d τ ⎞=+=⎜ ⎟⎜ ⎟ .∂u 2 ∂τ2 ⎝ du ⎠ ∂τ du 2 ∂τ2 ⎝ du ⎠Рассмотрим теперь движение поршня с постоянным ускорением с > 0 в совершенный газ.
В такой задаче выражения (11) и(13) имеют видcτ 2γ −1γ −1(14), a = a0 +u( τ) = cτ, X ( τ) =u = a0 +cτ .222Подставив их в формулу (12), найдём x(t,τ) и вычислим производные, входящие в условия (1 τ ) и (2 τ ). В результате получимcτ 2 ⎛γ +1 ⎞γ +1+ ⎜ a0 +x=cτ ⎟ (t − τ), xτ =ct − γcτ − a0 , xττ = −γc . (15)2 ⎝22⎠В данном случае х ττ ≠ 0. Значит, согласно условию (3) с u d = 0 УВвозникает на граничной характеристике х = а 0 t, выходящей изначальной точки траектории поршня, в которой τ = 0. Отсюда, извыражения для х τ и из условия (1 τ ) найдём, что время и координата начальной точки i УВ2 a02a02(16)ti =, xi =.( γ + 1)c( γ + 1)cПока УВ слабая, её форму можно найти аналитически. Справа от УВ (рис.
2.9, б) – покоящийся газ, т.е. в формуле (5) a 1 = a 061и u 1 = 0. Пусть х = х(t) – уравнение УВ, а u, a, … – параметры заУВ (на рис. 2.9, б – слева от неё). Тогда с учётом равенств (14)уравнение (5) примет видdxa +u+aγ +1=D= 0= a0 +cτ ,(17)24dtгде τ = τ(t) – время выхода с траектории поршня С+-характеристики, приходящей в рассматриваемую точку УВ. В начальнойточке УВ τ = 0, а t = t i и х = х i определены формулами (16). Координата х и время t точек на УВ и τ на траектории поршня связаныпервым уравнением (15) – уравнением С+-характеристики, соединяющей эти точки. Продифференцировав его по t, придём к уравнениюγ +1dx⎛ γ +1⎞ dτ.= a0 +cτ + ⎜ct − a0 − γcτ ⎟dt2⎝ 2⎠ dtИсключив из него и из (17) dx/dt и умножив результат на dt/dτ,получимdt 2a + γc τ.+ t=4 0( γ + 1)cτdτ τОграниченное при τ = 0 решение этого уравнения и результат егоподстановки в первое уравнение (15) с учётом формул (16) даютпараметрическое представление УВ с τ ≥ 0 в качестве параметра4 γτγc τ 2.(18)t ( τ) = ti +, x ( τ ) = a0 t ( τ ) +3( γ + 1)6Эти формулы и выражения u = u(τ), a = u(τ) из (14) и x = x(t,τ)из (15) для ПВ сжатия между траекторией поршня и УВ, в которых τ ≤ t ≤ t(τ) с t(τ) из (18) для каждого τ ≥ 0, дают полное решение задачи о движении поршня с постоянным ускорением.
Еслипри τ ≥ τ + поршень станет двигаться с постоянной скоростью U +== cτ + , то скорость УВ также станет постоянной и равнойD+ =dxdt=τ+dx ( τ) ⎛ dt ( τ) ⎞⎜⎟dτ ⎝ dτ ⎠62−1= a0 +τ+γ +1cτ + ,4а её траектория – прямой, выходяще из точки: t + = t(τ + ), x + =x(τ + ).Такую же, как в (16), зависимость t i и x i от a 0 и ускоренияпоршня c можно получить и из простого анализа размерностей.Действительно, из всех определяющих параметров данной задачикинематические размерности (комбинаций времени Т и длины L)имеют только они: [a 0 ] = L/T, [c] = L/T2, а единственная безразмерная константа – γ.
Поэтомуti = f ( γ )a0 / c, xi = ϕ( γ )a02 / cс неизвестными функциями f(γ) и ϕ(γ). Очевидно, что эти формулы менее информативны, чем (16).Согласно формулам (16) t i и x i стремятся к нулю при стремлении к бесконечности ускорения поршня. Это позволяет сделатьнекоторые качественные заключения об аналогичной задаче с U == ctn, но с n ≠ 1.
В таких случаях ускорение dU/dt = nctn – 1. Поэтому если 0 < n < 1, то начальное ускорение бесконечно и естественно ожидать, что УВ возникнет в начале координат. Её начальная интенсивность и в этом случае будет нулевой, поскольку издесь U(0) = = 0. При n > 1 УВ возникает внутри ПВ сжатия.Заканчивая параграф, рассмотрим задачу о движении поршнясразу с постоянной скоростью U > 0. Из её размерных определяющих параметров (U, а 0 , ρ 0 ) нельзя составить комбинаций сразмерностями длины и времени. Значит, u/a 0 , ρ/ρ 0 и р/(ρ 0 a 0 2)могут зависеть только от автомодельной переменной ξ = х/(a 0 t),отношения U/а 0 и безразмерных комбинаций, связанных с термодинамическими свойствами газа (для совершенного газа это γ).В силу автомодельности в плоскости хt на каждом идущем изначала координат луче ξ = const параметры постоянны.
Этомуусловию удовлетворяет любая комбинация секторов с постоянными параметрами, разделённых идущими из начала координатУВ и ЦВР. На самом же деле, единственная, возможная для нормального газа комбинация содержит одну УВ и равномерный,движущийся со скоростью U поток между ней и траекториейпоршня – ТП (рис. 2.9, в).
Пусть это не так, т.е. возможны УВ иЦВР, выходящие из начала координат, и секторы постоянных параметров между ними. Но две УВ, идущие по газу в одну сторо63ну, невозможны, так как согласно неравенствам (1.4.15) – (1.4.17)скорость догоняющей волны больше скорости догоняемой. Аналогичная ситуация с ЦВР, ибо её граничные С+-характеристики –звуковые волны, бегущие по газу вправо со скоростью звука, аУВ относительно газа перед ней движется со сверхзвуковой, аотносительно газа за ней – с дозвуковой скоростью. Одной жеЦВР не может быть из-за того, что за ней скорость потока отрицательна, и не выполняется условие непротекания на поршне.С учётом сказанного и с теми же обозначениями, что при рассмотрении УВ, возникающей на граничной характеристике, законы сохранения (1.3.8), (1.3.9) и (1.3.11), справедливые на УВ,примут видρ( D − U ) = ρ0 D, p + ρ( D − U )2 = p0 + ρ0 D 2 ,(19)2 γp2 γp0+ ( D − U )2 =+ D2.( γ − 1)ρ( γ − 1)ρ0Первые два из них дают D/a 0 и ρ/ρ 0 как функцию р/р 0 на УВ:UD p / p0 − 1 ρp / p0 − 1=,=, MU = .(20)2γ MUρ0a0a0p / p0 − 1 − γMUПодстановка их в третье уравнение (19) даёт2( p / p0 − 1)2 − γ[( γ + 1) p / p0 + γ − 1]MU2 = 0 .(21)Разрешив это уравнение относительно р/р 0 и взяв корень, отвечающий сильной УВ при М U >> 1, получим( γ + 1)MU + 16 + ( γ + 1)2 MU2p= 1+γ MU .4p0Вместе с формулами (20) это выражение даёт полное решениезадачи о движении поршня с постоянной скоростью в покоящийся однородный совершенный газ.
Ниже понадобится получающееся из уравнения (21) выражение для U2 как функции р/р 0 :2a02 ( p / p0 − 1)2U2 =.(22)γ[( γ + 1) p / p0 + γ − 1]64Глава 2.5. Распад произвольного разрыва (задачаРимана). Теория ударной трубы. Центрированнаяволна сжатияСокращения: ЗР – задача Римана о распаде произвольного разрыва, КР – контактный разрыв, ПВ – простая волна, УВ – ударная волна, ЦВ – центрированная ПВ, ЦВР – ЦВ разрежения.Задача Римана (ЗР) о распаде произвольного разрыва ставится так. В начальный момент времени t = 0 при x < 0 и прих > 0 заданы постоянные разные значения параметров газа.
В общем случае р – ≠ p + , ρ – ≠ ρ + , u – ≠ u + , γ – ≠ γ + и т.д., где индексы«минус» («плюс») метят параметры при x < 0 (при х > 0).Из заданных определяющих параметров задачи нельзя составить комбинации с размерностями времени и длины. Поэтомутечение при t > 0 будет автомодельным, с автомодельной переменной ξ = х/(а – t), а безразмерные отношения u/а – , a/a – , ρ/ρ – , …будут функциями ξ и безразмерных констант γ – , γ + , a + /a – , u – /а – ,u + /а – , ρ + /ρ – . При t > 0 возможны две принципиально разные ситуации: левый и правый газы соприкасаются (рис.
2.10, а–в) и несоприкасаются (рис. 2.10, г).ЦВРа)tКРУВ0ЦВРУВ0xКР0КРУВв)tб)ttЦВРЦВРp=ρ=00x65xг)ЦВРxРис. 2.10Траектория соприкосновения – контактный разрыв (КР)уже потому, что по разные стороны от него могут быть разныегазы. Через КР газ не протекает. Поэтому для течения с каждойстороны от него траектория КР эквивалентна траектории поршня,который либо выдвигается из однородного потока газа влево иливправо, либо вдвигается в него. То, что в общем случае однородный поток движется, а поршень может находиться от него не слева, а справа, вносит непринципиальные изменения в формулыГл. 2.3 и 2.4, дающие решения соответствующих автомодельныхзадач о движении поршня с постоянной скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
