А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Согласно уравнению (8) ДА располагается правее УА(рис. 1.11, а).p2′a)ДА2′JM2 < 1JΓ2°10б)t2M2 > 12°°ω32b0(a)cxРис. 1.11Как отмечалось выше, ДВ начинается УВ, в которой согласноУА (на рис. 1.11, а – штриховой кривой Г) давление р 2′ и температура Т 2′ существенно выше их значений р 1 и Т 1 перед УВ.Вследствие этого начинается процесс горения (в рамках принятоймодели – уменьшения параметра α от 1 до 0), описываемый уравнениями (5) – (7). Согласно первому из них в плоскости ωр изменению состояния газа отвечает движение по ПРМ 1–2′ от точки 2′на УА Г до точки 2 на ДА. При этом р падает, а ω растёт. Как и вГл.
1.4, из рассмотрения взаимного расположения ПРМ и касательной к Г в точке 1 следует, что для всей верхней ветви ДА(слева от штриховой вертикали) V 1 строго больше, чем a 1 .Если давление за УВ равно р 2′J , то реализуется ДВ, за которойM 2 = V 2 /a 2 = 1. Такая ДВ называется самоподдерживающейсяили ДВ Чепмена–Жуге. Смысл этого названия разъясняет рис.1.11, б. На нём представлена xt-диаграмма течения с ДВ, инициированной движением поршня в газ. Жирная кривая с начальнымучастком ab – траектория поршня, жирная кривая с прямолинейным участком ас – траектория ДВ, тонкие линии – траекториизвуковых волн, бегущих по газу вправо. Начальная скоростьпоршня достаточна для инициирования пересжатой ДВ, отвечающей участку ДА над точкой J на рис. 1.11, а. Здесь в силу равенства (4) для нормального газа M 2 = V 2 /a 2 < 1.
Благодаря этомувызванные остановкой поршня в момент t = t b волны разрежения(начиная с волны bс) догоняют ДВ и ослабляют её. На рис. 1.11, ауменьшению интенсивности ДВ соответствует движение точки 2по ДА вниз. Когда точка 2 опустится до ТЖ J, в которой V 2 = a 2 ,дальнейшее ослабление ДВ прекратится, ибо волны разреженияперестанут догонять ДВ.Согласно рис. 1.11, а, если давление за УВ р 2′ < р 2′J , то детонации не будет. Возможны иные режимы горения, удовлетворяющие тем же законам сохранения и потому в плоскости ωрописываемые уравнением ДА (8).
В силу уравнения (5) всем режимам горения, как и УВ, отвечают точки 2, попадающие во второй и четвёртый квадранты, ограниченные на рис. 1.11, а штриховыми прямыми, проведёнными через точку 1. Отрезку ДА от33точки J до штриховой вертикали отвечают режимы, носящие название быстрого горения. Их особенность – сверхзвуковой потокдо и после волны. Для скорости таких волн (наклона отрезка1–2°) требуется дополнительное условие, получаемое из анализафизических механизмов их распространения. Участку ДА сразупод штриховой горизонталью (в частности, её отрезку 1–2°°) соответствуют режимы медленного горения. На них V 1 < a 1 и V 2 << a 2 , и также требуется дополнительное условие для скоростифронта пламени (см.
Гл. 2.6).Заканчивая параграф, рассмотрим разрыв, появляющийся втечениях невязкого, но теплопроводного газа. Модель такогогаза используется при высоких (например, термоядерных) температурах, когда вклад излучения в перенос энергии (лучистаятеплопроводность) много больше его вклада в перенос количества движения. Данная ситуация принципиально отличается отрассмотренной в Гл. 1.4 для простой иллюстрации (рис. 1.5) того,как благодаря теплопроводности растёт энтропия. Там в зоне перехода влияние вязкости не менее важно, чем влияние теплопроводности.Пусть в приближении невязкого теплопроводного газа естьодномерное течение (тепловая волна), параметры которого внекоторой инерциальной системе координат не зависят от времени.
Направим ось х по равномерному набегающему потоку. Тогдаперед тепловой волной (при x → x 0 , где x 0 ≥ – ∞) поток равномерный с u → D > 0, ρ → ρ 0 , … . Вместе с Т → Т 0 исчезает тепловой поток, равный – λT′ 0 , где T′ = dT/dx, а λ – коэффициенттеплопроводности. Поэтому законы сохранения массы, хкомпоненты количества движения и энергии для x ≥ x 0 сведутся кравенствамρu = ρ0 D, p + ρu 2 = p0 + ρ0 D 2 , ρu(2h + u 2 ) − 2λT′ = ρ0 D(2h0 + D 2 ) .Справа от тепловой волны (при x → x + ≤ ∞) поток также выравнивается.
Поэтому λ + T′ + → 0, а параметры перед и за ней послесоответствующей замены индексов связаны уравнением УА(1.4.5). Особенность невязкого теплопроводного газа в том, что внём тепловая волна может состоять из непрерывного «предвестника», заканчивающегося скачком особого типа.34Дальнейший анализ проведём для типичных для невязкоготеплопроводного газа условий холодного фона, когда p 0 << ρ 0 D2,2h 0 << D2.
Поэтому p 0 и h 0 можно пренебречь, и выписанныевыше законы сохранения для x 0 ≤ х ≤ х + сведутся к равенствам(9)ρu = ρ0 D, ρ0 Du + p = ρ0 D 2 , ρ0 D (2h + u 2 ) − 2λT′ = ρ0 D 3 .3Для лучистой теплопроводности λ = λ(Т, ρ) = βТ /ρ, где β – константа.При высоких температурах вклад излучения в р и h можетбыть большим и даже определяющим, однако для наших целейгаз можно считать совершенным.
Тогда при соответствующемвыборе масштабов его уравнения состояния примут вид(10)p = ρT, h = γT /( γ − 1) .Согласно первым равенствам (9) и (10) ρ = ρ 0 D/u, p = ρ 0 TD/u,что после подстановки во второе равенство (9) приведёт к квадратному уравнению: u2 – Du + T = 0. Двум его решениямD⎛T ⎞(11)u1,2 = u1,2 (T, D ) = ⎜ 1 ± 1 − 4 2 ⎟2⎝D ⎠отвечают две записи уравнения энергии – третьего равенства из(9), которое после подстановки ρ = ρ 0 D/u 1,2 и с учётом формулыдля h из (10) примет вид4βεu1,2 D 6 τ3τ′ − ρ02 F1,2 ( τ, ε) = 0,(12)F1,2 ( τ, ε) = 2τ − ε ± ε 1 − 4τ , τ = T / D 2 , ε = ( γ − 1) /( γ + 1).Условию u(Т = 0, D) = D удовлетворяет u 1 . Поэтому при интегрировании уравнения (12) следует начинать с u 1 и F 1 .
Если послеэтого поменять местами τ и х, то определение х = х(τ) сведётся кквадратуре:τx − x01 (1 + 1 − 4ϑ )ϑ3d ϑ.(13)=2βεD 5 ρ02 ∫0 2ϑ − ε + ε 1 − 4ϑОтсюда при малых τx − x0τ3≈, τ : ( x − x0 )1/ 3 ,(14)2βεD 5 3ρ02 (1 − ε)а в силу уравнений (11), определения τ = Т/D2 и формул ρ = ρ 0 D/uи p = ρ 0 TD/u для малых τ35ρ0≈ ρ0 (1 + τ), p = ρT = ρτD 2 ≈ τρ0 D 2 .
(15)1− τЕстественно возникает вопрос о структуре тепловой волны наеё правом конце (при х → х + ≤ ∞). Если она соединяет холодныйгаз с равномерным горячим потоком, где τ = τ + , то τ′ → 0 при х →→ х + , и в силу уравнения (12) с u 1 и F 1 при её непрерывнойструктуре F 1 (τ + , ε) также обращается в нуль (рис. 1.12, а). Покажем, что в принятой модели этого не происходит. После переносав равенстве F 1 (τ + , ε) = 0 радикала вправо и возведения обеих егочастей в квадрат придём к квадратному уравнению( τ + − ε + ε2 ) τ + = 0 .(16)Его корень τ +1 = 0 отвечает холодному, а корень τ +2 = ε(1 – ε) –горячему газу. При возведении в квадрат могут появляться корни,не удовлетворяющие исходному уравнению. Корень τ +1 = 0 уравнению F 1 (τ +1 , ε) = 0 удовлетворяет, а τ +2 = ε(1 – ε) не удовлетворяет.
Действительно, при ε ≤ 1/2u ≈ (1 − τ) D, ρ ≈1 − 4 τ +2 = 1 − 4ε + 4ε2 = (1 − 2ε) 2 = 1 − 2ε .(17)Следовательно,F1 ( τ +2 , ε) = 2τ +2 − ε + ε 1 − 4τ +2 = 2ε(1 − ε) − ε + ε(1 − 2ε) = 2ε(1 − 2ε) ,т.е. F 1 (τ +2 , ε) > 0 при 0 < ε < 1/2, и решение (13) не может обеспечить переход от холодного фона к также равномерному горячемупотоку.τ+τa)б)x0x0xв)x0ττ+u/D100p/(ρ0D2)x0x360xг)xРис.
1.12На самом деле, любое из уравнений F 1,2 (τ + , ε) = 0 приводит куравнению (16) и к корням τ +1 и τ +2 , причём F 2 (τ +1 , ε) = – 2ε, аF 2 (τ +2 , ε) = 0. Как следствие этого, решение (13) справедливо доτ = τ +2 = ε(1 – ε), когда происходит переключение от первого корня (11) и от функции F 1 (τ +2 , ε) = 2ε(1 – 2ε) ≥ 0 в уравнении (12) кu 2 и F 2 (τ +2 , ε) = 0. Переключение при фиксированном τ = τ +2 итемпературе2( γ − 1) 2T+ = τ +2 D 2 = ε(1 − ε) D 2 =D( γ + 1)2и разрывных прочих параметрах (рис.
1.12, б–г) отвечает изотермическому скачку (ИС), который впервые был введён Рэлеем(1910 г.). Согласно формулам (9) – (11) и (17) в ИС2p+ ρ + u− u− ( τ +2 ) 1 + 1 − 4τ +2 1 − ε======,(18)εγ −1p− ρ − u+ u+ ( τ+2 ) 1 − 1 − 4 τ+2где индексы «–» и «+» метят параметры перед и за ИС.За ИС все параметры постоянны, и в законе сохранения энергии – в уравнении (12) с индексами «+» равны нулю F 2 (τ +2 , ε) иτ′. С учётом этого из уравнений (9), (11), (17) и (18) получим2Dργ +1γ −1u− = (1 − ε) D =, ρ− = 0 =ρ0 , p− = ερ0 D 2 =ρ0 D 2 ;γ +11− ε2γ +1(19)γ −1ρ0 γ + 12ρ0 D 22u + = εD =D, ρ + = =ρ0 , p+ = (1 − ε)ρ0 D =.γ +1ε γ −1γ +1С учётом отличия обозначений и направления потоков формулыдля u + , ρ + и p + сводятся к формулам (1.4.30) для сильных УВ всовершенном газе.
Согласно формулам (19) при ε = 0 или γ = 1нет предвестника, а при ε = 0.5 или γ = 3 нет изотермическогоскачка. С другой стороны, в силу формул (19) для энтропийнойфункции χ = р/ργ перед ИС и за ним имеемγ−1χ+ ⎛ ε ⎞γ2γ 2χ − = (1 − ε) εD , χ + = (1 − ε)ε D ,=⎜≤ 1.⎟χ − ⎝ 1 − ε ⎠ 0≤ε≤ 0.537Итак, χ, а согласно формуле (1.1.5) и энтропия при переходе через ИС уменьшается (равенство имеет место, только для ε = 0,когда χ + = χ – = χ 0 = 0, и не имеющий предвестника ИС изэнтропичен). Уменьшение энтропии в ИС – результат отличия от нуляT1ў, а, следовательно, и теплового потока слева от ИС.
Разумеется, при переходе через всю тепловую волну энтропия не убывает(s + ≥ s 0 ).Наконец, если начало отсчёта х совместить с ИС, то в силуформулы (13) координата переднего фронта тепловой волны2βεD 5ρ02ε (1−ε )(1 + 1 − 4ϑ )ϑ3d ϑ.(20)214ϑ−ε+ε−ϑ0Отсюда и из формулы (14) следует, что в приближении холодного фона протяженность непрерывного предвестника конечна.При построении на рис. 1.12 распределений τ, скорости идавления в предвестнике учтены качественные особенности, следующие из формул (14), (15) и (20), а для разрыва параметров вИС – из соотношений (19) для γ = 7/5.x0 = −∫Глава 1.6. Дифференциальные уравнения теченияв подобластях непрерывности параметров(уравнения Эйлера)При отсутствии в Ω поверхностей разрываd∂AAd Ω = ∫ d Ω,∫dt Ω∂tΩа по формуле Гаусса–Остроградского∫ Bndσ = ∫ ∇Bd Ω.∂ΩΩВ результате уравнение (1.2.2) примет вид⎛ ∂A⎞∫Ω ⎜⎝ ∂t + ∇B ⎟⎠d Ω = 0.Откуда следует, что∂A+ ∇B = 0∂t38или после подстановки А и В из табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
