А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Согласно более полному анализу погрешность этой формулы равна О([p]2).a2 ≈ a1 −p/p111-ε εне реализуетсяω/ω11Рис. 1.9Для совершенного газа, для которого согласно формуле(1.1.4) h = γpω/(γ – 1), уравнение УА (5) принимает видγω + ω2( p2 ω2 − p1ω1 ) − 1( p2 − p1 ) = 0 .(23)γ −12Вогнутая кривая р = р(ω), получающаяся из этого уравнения, показана на рис. 1.9. Кривая имеет вертикальную и горизонтальную асимптоты:25ω2γ −1pp2ω→≡ ε, 2 → ∞;→ −ε, 2 → ∞ ,ω1γ +1p1p1ω1которые получаются из (23) при соответствующих предельныхпереходах.Наличие вертикальной асимптоты, отвечающей скачкам уплотнения большой интенсивности, показывает, что при ударномсжатии совершенного газа отношение плотностей на УВпри р 2 /р 1 → ∞ρ2γ +1,(24)→ρ1γ −1т.е. конечно и сравнительно невелико. Так, согласно (24) при γ == 7/5 = 1.4 максимальное сжатие равно 6 и даже при нереальноблизком к единице γ = 1.1 – всего 21.Горизонтальная асимптота с р 2 /р 1 = – ε < 0 и отрицательныер 2 /р 1 на УА приω2 γ + 1>ω1 γ − 1отвечают, как и весь участок УА с ω 2 /ω 1 > 1, запрещенным в нормальном газе скачкам разрежения.
Наряду с вогнутостью изэнтропы для совершенного газа (рис. 1.4) его нормальность следуетиз формулы (8).Вертикальная асимптота (р 2 /р 1 → ∞) отвечает сильным УВ.Ввиду особой важности таких УВ остановимся на них подробнее.Выясним, какие из параметров набегающего потока (с индексом«1») окажутся несущественными. Очевидно, что это не ρ 1 , ибопри пренебрежении им (замене ρ 1 на 0) закон сохранения потокамассы (1)ρ2Vn 2 = ρ1Vn1 ≡ ρ1D(25)приводит к бессмысленному результату: ρ 2 V n2 = 0.В уравнении сохранения нормальной компоненты количествадвижения, переписанном в форме⎛ p⎞⎛ a2⎞p2 + ρ2Vn22 = ρ1Vn12 ⎜ 1 2 + 1⎟ ≡ ρ1 D 2 ⎜ 1 2 + 1⎟ ,⎝ γD⎠⎝ ρ1Vn1 ⎠первое слагаемое в скобке мало, если26D21>> .(26)2γa1При выполнении этого условия предыдущее уравнение станетp2 + ρ2Vn22 = ρ1Vn12 ≡ ρ1D 2 .(27)Аналогично закон сохранения энергии при выполнении болеежесткого, чем (26), условияM 2D >> 2 /( γ − 1)(28)примет вид2h2 + Vn22 = Vn12 ≡ D 2 .(29)Вместе с уравнением состояния в форме: h 2 = γp 2 /[(γ – 1)ρ 2 ]уравнения (25), (27) и (29) позволяют выразить параметры потоказа сильной УВ через её скорость D и единственный термодинамический параметр набегающего («невозмущённого») потока ρ 1γ +122ρ2 =ρ1 , p2 =ρ1 D 2 , Vn02 = Vn 2 + D =D.(30)γ −1γ +1γ +1Выведем важное для дальнейшего соотношение Л.
Прандтля. В согласии с законом сохранения энергии (3) на УВ введёмдля совершенного газа критическую скорость а ∗ , такую, что2 γp12a 2γ +1 2+ V12 ≡ 1 + V12 =a∗ ,( γ − 1)ρ1γ −1γ −1(31)2 γp22a22γ +1 222+ V2 ≡+ V2 =a∗ .( γ − 1)ρ2γ −1γ −1При разгоне или торможении газа с сохранением полной энтальпии а ∗ – скорость газа там, где она равна скорости звука. Как показано ниже, такие разгон или торможение реализуются при стационарных течениях.С использованием законов сохранения на УВ потоков массы(1) и нормальной компоненты количества движения (2) выразимρ 2 и р 2 через V 2 и параметры набегающего потока:ρ2 = ρ1V1 / V2 , p2 = p1 + ρ1V1 (V1 − V2 ).Подстановка этих выражений во второе равенство (31) даст2 γp1V22 γ (V1 − V2 )V2γ +1 2++ V22 =a∗ .( γ − 1)ρ1V1( γ − 1)γ −1M 2D ≡27Если из этого уравнения, умноженного на отношение V 1 /V 2 , вычесть первое равенство (31), то результирующее соотношениепримет вид( γ + 1)(V1 − V2 )V1 ( γ + 1)(V1 − V2 ) 2=a∗ .γ −1( γ − 1)V2Откуда и получается требуемое соотношениеV1V2 = a∗2 .(32)В данном равенстве V 1 и V 2 – нормальные к скачку составляющие вектора скорости в связанной с УВ системе координат.
Привведении непрерывной на УВ критической скорости а ∗ также использовались только эти компоненты.Глава 1.5. Ударные волны в сложных средах. Волныдетонации. Изотермический скачокСокращения: ДА – детонационная адиабата, ДВ – детонационная волна, ИС – изотермический скачок, ПРМ – прямая Рэлея–Михельсона, ТЖ – точка Жуге, УА – ударная адиабата, УВ –ударная волна.При произвольных уравнениях состояния УА – геометрическое место точек 2, значения ω2 и р 2 в которых для заданных ω 1 ир 1 связаны уравнением (1.4.5 1 ), может иметь весьма сложнуюформу: менять знак кривизны, не проходить через начальнуюточку – 1 и т.п.
Особую роль на таких УА играют те точки 2 –точки Чепмена–Жуге (D.L. Chapman, E. Jouget) или точки Жуге(ТЖ) – J, в которых ПРМ, соединяющая точки 1 и 2, касается УА(рис. 1.10, Г – УА). Покажем, что в ТЖ выполняется равенство|V 2 | = a 2 , а энтропия s 2 как функция р 2 принимает экстремальное(минимальное s 2m или максимальное s 2 m) значение.28pM2 < 12 (Jl)s2mωpp > 0M2 > 1ωpp < 0s2m2 (Jr)M2 < 1Γ1ω0Рис. 1.10Итак, пусть ω 1 и р 1 , определяющие термодинамическое состояние газа перед УВ, фиксированы, а давление р 2 , характеризующее её интенсивность, изменяется.
Вместе с р 2 изменяютсявсе параметры за УВ и скорость V 1 , а следовательно, в согласии суравнением ПРМ (1.4.4) иp − p1j2 = − 2.ω2 − ω1В левой ТЖ (J l ) j2 = j2(p 2 ) минимально, а в правой (J r ) – максимально. В обеих точкахdj 2 / dp2 = 0 .(1)Запишем выполняющиеся на УА Г законы сохранения количества движения и энергии (1.4.2) и (1.4.3) в формеp2 = p1 + ρ1V12 − ρ2V22 = p1 + j 2 (ω1 − ω2 ),2h2 = 2h1 + V12 − V22 = 2h1 + j 2 ( ω12 − ω22 ).Отсюда при фиксированных р 1 , ω1 и h 1 имеемω2 − ω22 2(2)dp2 + j 2 d ω2 = (ω1 − ω2 )dj 2 , dh2 + j 2 ω2d ω2 = 1dj2с dр 2 , dω2 , dh 2 и dj2, взятыми вдоль Г. Но Tds = dh – ωdp, в силучего после исключения dh 2 второе равенство (2) примет видω2 − ω22 2T2 ds2 + ω2 ( dp2 + j 2 d ω2 ) = 1dj ,2а с учётом первого равенства (2)29( ω1 − ω2 ) 2 2dj .(3)2T2Итак, вдоль Г энтропия s 2 и j2 меняются в одинаковом направлении.
Поэтому на рис. 1.10 s 2 минимальна (s 2m ) в точке J l и максимальна (s 2 m) – в точке J r .Для доказательства того, что в ТЖ |V 2 | = a 2 , с учётом равенства (3) и определения скорости звука а– 2 = ρ р = – ω р ρ2 запишем−dp2( ω1 − ω2 ) 2 2d ω2 = ω p 2 dp2 + ωs 2 ds2 =+ωdj .s2(ρa )222T2Подставив dω 2 в первое уравнение (2) и разделив на dр 2 , получим2⎛ω − ω2 ⎞ dj 2⎛V ⎞.1 − ⎜ ⎟ = (ω1 − ω2 ) ⎜ 1 − j 2 ωs 2 1⎟2T2 ⎠ dp2⎝ a ⎠2⎝ds2 =Согласно (1) правая часть данного равенства в ТЖ равна нулю.Следовательно, за такой УВ модуль нормальной к ней компоненты вектора скорости в ТЖ равен скорости звука.Наконец, в ТЖ, в которой dj2/dp 2 = ds 2 /dp 2 = 0, имеем2d ( j 2ω p 2 )d (V / a ) 22d ⎛ j ⎞==−=dp2dp2 ⎜⎝ ρa ⎟⎠2dp2(4)dj 2ds2222= −ω p 2− j ω pp 2 − j ω ps 2= − j ω pp 2 .dp2dp2Таким образом, для нормального газа над ТЖ V 2 < a 2 , а под нейV 2 > a 2 .
В ненормальном газе, наоборот, над ТЖ V 2 > a 2 , а подней V 2 < a 2 .Для обычных УВ в нормальных газах вогнутая УА проходитчерез начальную точку, которая в таких случаях является единственной «точкой Жуге», отвечающей УВ нулевой интенсивности.При этом сделанные выше выводы тривиальны, ибо при р 2 = р 1«УВ» движется относительно газа перед ней со скоростью звука(имеется в виду нормальная к УВ компонента скорости), а приращение энтропии равно нулю. Сказанное тем не менее не означает, что изображённые на рис. 1.10 ситуации возможны толькопри знакопеременной производной ω рр . Другая возможность, интересная и для теории, и для приложений, – не проходящая30через начальную точку вогнутая УА в нормальном газе. Именноэто имеет место в детонационных УВ (детонационныхволнах – ДВ).Отличие ДВ от обычной УВ в том, что при неизменных законах сохранения (1.4.1) – (1.4.3) в законе сохранения энергии(1.4.3) или в его следствии – уравнении УА (1.4.5) h 1 и h 2 – разные функции р и ω.
Приходящая на ДВ горючая смесь, например, водорода, кислорода и инертных газов (при детонации в воздухе – азота и аргона) – совершенный газ, который при низкой(«комнатной») температуре из-за пренебрежимо малых скоростейхимических реакций находится в неравновесном («метастабильном») состоянии. Если по холодной горючей смеси пройдёт УВдостаточно большой интенсивности, то благодаря повышениютемпературы скорость реакций многократно возрастёт, и начнется горение – процесс перехода к термодинамическому равновесию.
Пусть отношения главных радиусов кривизны в общем случае пространственного фронта УВ к ширине зоны реакцииR 1,2 >> 1. Тогда течение в зоне реакции можно считать одномерным, и для него законы сохранения (1.4.1) и (1.4.2) и их следствие– уравнение ПРМ (1.4.4) справедливы не только для начального иконечного, но и для промежуточных состояний (без индексов –параметры любого промежуточного состояния):p − p1p − p1j 2 = ρ12V12 = ρ22V22 = ρ2V 2 = −=− 2.(5)ω − ω1ω2 − ω1Основной эффект горения – тепловыделение, связанное с изменением состава.
Поэтому, пренебрегая изменением показателяадиабаты, примем, что (q > 0 – теплота реакции)γpωγp ωγp ωh = h( p, ω, α) =+ αq, h1 = 1 1 + q, h2 = 2 2 + α2 q .γ −1γ −1γ −1Согласно таким уравнениям состояния h – функция трёх переменных, одна из которых (доля несгоревшего горючего α) меняется от 1 в холодной горючей смеси и сразу за УВ до α 2 << 1 впродуктах сгорания.
При этом уравнение УА (1.4.5), справедливое и для промежуточных состояний, примет видR31γpω γp1ω1 ω1 + ω−−( p − p1 ) = (1 − α) q, 0 ≤ α2 ≤ α ≤ 1 .(6)γ −1 γ −12Переменная α как функция расстояния х от фронта УВ определяется решением задачи Коши для уравнения кинетики:dα 1= f ( p, ω, α), α(0) = 1 .(7)Vdx τЗдесь τ – характерное время реакции, f(р,ω,α) – известная функция, а α 2 определяется условием термодинамического равновесия: f(р 2 ,ω2 ,α 2 ) = 0.Принятые уравнения состояния и кинетики хотя и упрощаютописание процесса горения, для выяснения интересующих нассвойств ДВ всё же довольно сложны. Дальнейшее упрощениесостоит в пренебрежении малой величиной α 2 .
В таком приближении уравнение кинетики (7) нужно только для понимания описанной выше исходной постановки, а уравнение детонационнойадиабаты (ДА), связывающее начальное (точка 1) и конечное(точка 2) состояния, запишется в формеγp2 ω2 γp1ω1 ω1 + ω2−−( p2 − p1 ) = q .(8)γ −1γ −12При ω2 = ω 1 и р 2 = р 1 левая часть этого уравнения обращается внуль при отличной от нуля правой, т.е. ДА не проходит черезточку 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
