А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.3. Согласно уравнениям (5±), вплоскости хt С+-характеристики – это траектории звуковых волн,распространяющихся относительно газа вправо, а С–-характеристики – траектории звуковых волн, распространяющихся относительно газа влево. При движении по характеристике любогосемейства время изменяется монотонно.Пусть (рис. 2.4) на отрезке ab оси х, т.е. при t = 0, энтропияпостоянна. Тогда в силу условия её сохранения на ТЧ она будетпостоянна в области, ограниченной слева и справа С0-характеристиками, вышедшими из точек a и b, до тех пор пока в указанной области не возникнут УВ.
Так как произведение ρа – функция р и s, то в такой области, т.е. при s = s 0 = const, это произведение – известная функция только давления, и можно ввести47pΦ( p) =hdpdh∫o ρa = ∫o a .ph(8)Здесь и далее р° – произвольно выбранное давление, а h°, a°, … –отвечающие р° и s 0 другие термодинамические параметры. Поскольку ρа ≥ 0, то Ф – монотонно растущая функция р, и между ри Ф имеет место взаимно однозначное соответствие. Следовательно, Ф можно считать функцией любого термодинамическогопараметра, кроме энтропии.tC0C0s ≡ s0as0 = constbxРис. 2.4Для совершенного газа с учётом выражения для h как функции скорости звука имеемhdh 2( a − a o )Φ = Φ(a ) = ∫=.(9)γ−1o ahОтвечающая формуле (9) зависимость Ф = Ф(р) изображена нарис.
2.5.С учётом определения Ф формулой (8) в подобластях изэнтропического потока уравнения (6±) можно заменить наd (u ± Φ ) + ( ν − 1)(3 − ν)v 2 ± audt = 0 .xЕсли же в дополнение к изэнтропичности ограничиться течениями с плоскими волнами (ν = 1), то отсюда следует, что вдоль С±характеристик выполняются уравненияC± : dI ± = 0, I ± = u ± Φ .(10)48Таким образом, для изэнтропических течений с плоскими волнами вдоль С+- и С–-характеристик постоянны соответственно I+ иI–.
По этой причине найденные комбинации u и Ф получили название инвариантов Римана (I+ – правый инвариант, а I– – левый инвариант).ΦpΦ( p) =dp∫ ρa =po02(a − a o )γ −1p°p−2a oγ −1Рис. 2.5Итак, одномерные течения с плоскими волнами (ν = 1) описываются характеристической системой уравнений:∂∂ dxdsdvdwd= 0,= 0,= +u ,= u;C0 : = 0,∂x dtdtdtdtdt ∂t(11)±1 d±p∂ d±xd± ∂± d uC :±= 0,= + (u ± a ) ,= u ± a.∂x dtdt ρa dtdt ∂tВ подобластях изэнтропичности уравнения, выполняющиеся наС+- и С–-характеристиках, сводятся кd + (u + Φ )d − (u − Φ )= 0,= 0, Φ ( p ) =dtdtp∫pdp=ρaoh∫ a.dhhoДля совершенного газа:1/ γρo ⎛ p o ⎞=⎜ ⎟ρ ⎝ p⎠Отсюда при γ = 1 имеемn⎛ p⎞γ −1., a=a ⎜ o⎟ , n=2γ⎝p ⎠o49(12)pa = a , ρ = o2 , Φ ( p ) =aopp∫p∫dpdpp= ao= a o ln o , Φ (0) = −∞ .ρappoopГлава 2.3. Выдвижение поршня из однородногопокоящегося газа.
Простая волна.Центрированная простая волнаСокращения: ПВ – простая волна, ПВР – ПВ разрежения, УВ –ударная волна, ЦВР – центрированная ПВР.Пусть в начальный момент t = 0 газ справа от поршня (при х >> 0 на рис. 2.6, а; нижний индекс «0» метит параметры при t = 0)однороден и покоится. В момент t = 0 поршень начинает двигаться влево со скоростью U(t) < 0, причём U(0) = 0. На рис. 2.6, а еготраектория – жирная линия. Газ начнет двигаться в том же направлении, т.е. его скорость u ≤ 0.
Вдоль траекторий частиц сохраняется энтропия. Все они начинаются на полуоси х (при t = 0),где энтропия постоянна. Поэтому, пока не возникнут УВ, течениебудет изэнтропическим, в котором все отличные от скорости uпараметры – функции только давления р:ρ = ρ( p, s0 ) = ρ( p ), a = a ( p, s0 ) = a ( p ) ,(1)и можно ввести инварианты Римана. Если в формуле (2.2.9) дляфункции Ф(р) положить р° = р 0 , то Ф(р 0 ) = 0 и на оси х оба инварианта I 0± = u 0 ± Ф(р 0 ) = 0.Cb+ta)tCb+Ca+б)C a+baU = U(t)x0u0 = 0, p0 = const,s0 = constU = const50xu0 = 0, p0 = const,s0 = constРис. 2.6Инварианты сохраняются вдоль характеристик. Часть течениясправа от Ca+ – С+-характеристики, выходящей из начала координат, покрыта и С+- и С–-характеристиками, которые, начинаясь наоси х, несут нулевые значения обоих инвариантов: u ± Ф(р) = 0.Следовательно, справа от Ca+ u = 0, р = р 0 , а сама характеристикаCa+ – прямая: х = а 0 t – траектория звуковой волны, движущейсяпо невозмущённому газу.
Скорость С–-характеристик равна (u –– a), и они, обгоняя частицы, покрывают всю область между Ca+ итраекторией поршня (пока газ успевает следовать за ним). Поскольку С+-характеристики с оси х сюда не приходят, то слева отCa+ при I + ≡ u + Ф(р) ≠ 0 инвариант I – ≡ u – Ф(р) = 0, иpu = u( p ) = Φ( p ) =dp∫ ρa .(2)p0Известная функция u(р) в этой формуле, как и функции в правыхчастях формул (1), не зависят от траектории поршня (жирнойкривой на рис.
2.6, а). Течение, в котором все параметры – заранее известные функции одного из них, называется простой волной (ПВ).Равенство (2) выполняется и на траектории поршня, где скорость газа u = u W (х) = U(x) ≤ 0, т.е.Φ( pW ) ≡pWdp∫ ρa = uW= U ( tW ) ≤ 0 .(3)p0В силу этого неравенства (равенство – только при x W = t W = 0)верхний предел интеграла р W < р 0 . Таким образом, при выдвижении поршня давление на нём падает.На любой С+-характеристике, выходящей из произвольнойточки W траектории поршня, постоянен инвариант I+ = u + Φ(р).Согласно формуле (3) на нейu + Φ( p ) = 2uW .+Кроме того, слева от Ca , включая рассматриваемую С+-характеристику, выполняется равенство (2).
Следовательно, на С+-характе51ристике, выходящей из точки W, u = u W , р = р W , а в силу формул(1) скорость звука а = а W = а(р W ) также постоянна. Значит, согласно уравнению (2.2.5+) для наклона С+-характеристикdx / dt = u + a = uW + aW(4)+любая выходящая с траектории поршня С -характеристика прямолинейна.Если со временем скорость поршня U(t) < 0 монотонно убывает, увеличиваясь по модулю, то согласно формуле (3) давлениер W также уменьшается монотонно, т.е. реализуется течение разрежения (ПВ разрежения – ПВР). Этот вывод справедлив длялюбого газа, ибо информация о знаке ωрр при его получении неиспользовалась.
Выясним, как при этом изменяется наклон С+-характеристик, равный согласно уравнению (4) сумме (u + a). Врассматриваемой ПВР все параметры – функции р, причём производные d/dp и д/др ≡ (д/др) s совпадают. С учётом сказанного,равенства (2) и определения а2 имеем−1dp ⎛ ∂ρ ⎞2−1 ∂a 2 ∂ ⎛ −1 ⎞a2 ==⎜ ⎟ = 2 ,= ⎜ 2 ⎟ = − + ρ2 a 4ω pp ,ρ ω p ∂p ∂p ⎜⎝ ρ ω p ⎟⎠ρd ρ ⎝ ∂p ⎠(5)3 42ρωa∂aρ ∂ad (u + a )dada dppp.= 1+= 1+= 1 + ρa= 1+=∂pdududp du2 ∂p2Для нормального газа (с ωрр > 0) искомая производная положительна.
Поэтому наклон С+-характеристик к оси t с уменьшениемскорости уменьшается, и они расходятся веером, как изображенона рис. 2.6, а.Если в точке b к криволинейному участку траектории поршняab плавно примыкает прямолинейный участок, то ПВР будет ограничена слева выходящей из точки В С+-характеристикой Cb+ . Поэтой характеристике к ПВР примыкает равномерный поступательный поток с u = U(t b ) = U. Зафиксировав скорость U, начнёмуменьшать протяженность участка ab. В пределе он стянется вначало координат, а С+-характеристики ПВР станут выходящимииз него лучами (рис. 2.6, б):x/t = u + a .(6)52Такое течение – центрированная простая волна разрежения(ЦВР).
В дополнение к уравнению (6) для ЦВР справедливы всесоотношения, записанные выше для ПВР, в частности, – равенство (2.2.6–). Пользуясь им, по скорости U можно определить р + ≡≡ р(U) < p 0 , а по р + и формулам (1) – все остальные параметры налевой границе ЦВР. Так же находится С+-характеристика и одновременно – проведённый из начала координат луч (6), отвечающие любой величине скорости из интервала [U < 0, 0].Решение, описывающее ЦВР, можно построить, воспользовавшись тем, что среди определяющих параметров задачи выдвижения поршня с конечной постоянной скоростью нет величины с размерностью длины. По этой причине указанная задача автомодельная с автомодельной переменной ξ = х/(а 0 t).
Условиясуществования нетривиального решения описывающих её обыкновенных дифференциальных уравнений приводит к равенствам(2) и (6). В случае совершенного газа первое из них, справедливоедля произвольной ПВР, в том числе для ЦВР, принимает видu = 2( a − a0 ) /( γ − 1) .(7)Как видно из рис. 2.6, граничные С+-характеристики Ca+ и Cb+ –линии разрыва частных производных по х и t от u, p и любыхфункций p, т.е. ρ, а и т.д. Действительно, справа от Ca+ и слева отCb+ все параметры постоянны. Значит, все их производные по х иt равны нулю.
С другой стороны, в ограниченной теми же характеристиками волне разрежения параметры изменяются и по х, ипо t. Следовательно, не равны нулю и их частные производные.Покажем, почему такое возможно.На граничной С+-характеристике, например, на Ca+ , параметры постоянны: u ≡ 0, p ≡ р 0 . Поэтому полные производные от u иp вдоль неё равны нулю. С учётом наклона этой характеристикиэто значит, что четыре частные производные u t , u x , p t и p x справаи слева от неё удовлетворяют связямut + a0ux = 0, pt + a0 p x = 0 .Согласно характеристической системе (2.2.11) на Ca+ те же производные удовлетворяют равенствам53ρ0a0 (ut + a0ux ) + pt + a0 px = 0, ρ0 a0 (ut − a0u x ) − pt + a0 p x = 0 .Из выписанных уравнений третье – следствие первых двух, и дляопределения на Ca+ четырёх производных есть только три независимых уравнения.
Это и делает возможным неоднозначностьпроизводных при известных параметрах в данном случае – на С+характеристиках. Использование указанного свойства – стандартный, хотя и достаточно трудоемкий способ получения уравнений в характеристической форме.Для ПВР и ЦВР есть предельная скорость истечения um, которая отвечает р = 0 в интеграле, определяющем функцию Ф(р).Согласно равенству (2)p0hdp 0 dh 2a0.(8)| u |= − Φ( 0) ≡ ∫==ρa ∫0 a γ − 10В цепочке равенств (8) последний переход, согласующийся с результатом, вытекающим из формулы (7), справедлив для совершенного газа.Если при выдвижении поршня модуль его скорости сразу (вЦВР) или с некоторого t = tm превысит |um|, то поршень оторветсяот газа.
При этом между поршнем и движущейся с постояннойскоростью um границей газа возникнет зона пустоты (вакуума).На её границе р = ρ = 0 и, кроме того, обычно (например, для совершенного газа с γ > 1) обращается в нуль скорость звука а. Втаком случае в плоскости хt уравнения границы с пустотой ипрямолинейной, как и все в ПВР, последней С+-характеристикисовпадают, ибо um + а(um) = um. По той же причине С–-характеристики, приходящие на границу с вакуумом, касаются её.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
