А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В трубеЦВР с предельной скоростью движения границы с пустотой возникает при мгновенном исчезновении перегородки, отделяющейпокоящийся газ от вакуума.mГлава 2.4. Движение поршня в газ. Образованиеударной волныСокращения: ПВ – простая волна, УВ – ударная волна, ЦВР –центрированная ПВ разрежения.54Изменим в задаче, решённой в Гл. 2.3, направление движенияпоршня, т.е. пусть он не выдвигается, а вдвигается в газ.
Начнёмс плавного движения, при котором скорость поршня U(t) монотонно растёт от U(0) = 0. Пока в возникающем течении отсутствуют УВ, слева от граничной С+-характеристики, как и при выдвижении поршня, реализуется ПВ, однако теперь – не разрежения, а сжатия. При этом для нормального газа с ω рр > 0 наклонС+-характеристик к оси t будет не уменьшаться, а увеличиваться,как показано на рис.
2.7. На нём жирная кривая – траекторияпоршня, параллельные прямые – С+-характеристики, отвечающиепокоящемуся газу, а идущие от траектории поршня сходящиеся ипересекающиеся прямые – С+-характеристики ПВ сжатия.На каждой из пересекающихся С+-характеристик значенияпараметров постоянны и равны их значениям либо на оси х, гдеu = u 0 = 0, либо на траектории поршня, где u = U(t) ≥ 0. Согласнопостроенному решению в точках пересечения двух, трёх и иногочисла С+-характеристик, которые занимают целые области плоскости хt, при фиксированных х и t решение неоднозначно. В рамках используемой в газовой динамике модели сплошной средыпри фиксированных х и t два значения параметры могут принимать только по разные стороны поверхности разрыва.
Наличиеже целых областей многозначности – абсурд, возникший из-затого, что при построении решения не учитывалась возможностьпоявления УВ. Как показано ниже, введение УВ в момент нарушения однозначности решения, устраняет этот абсурд.tt4t3а)tt2t2ζζt1ξt1ξΔxxв)t3Δx i0tt3t2t1б)ix0550xРис. 2.7Для определения момента зарождения УВ проследим за эволюцией течения. Если УВ возникает не при t = 0, то возможныразные ситуации, изображённые на рис.
2.7, а–в и на отвечающихим рис. 2.8, а–в. Кривые 1-4 на рис. 2.8 дают распределения скорости по х при t = t 1 - t 4 . Левая ордината кривой k – значение скорости u = U(t k ) на траектории поршня, а опускающаяся из этогоконца тонкая вертикаль показывает отличную от нуля ординатупоршня х = Х(t k ) в тот же момент времени. Во всех случаях приt = t 1 характеристики ещё не пересеклись, и зависимости u == u 1 (х) = u(х,t 1 ) однозначные.a)u3б)uв)u422332ud111xxxРис. 2.8В ПВ сжатия С+-характеристики, несущие фиксированныезначения u, сближаются. Поэтому при t = t 2 > t 1 те же измененияскорости от 0 до U(t 1 ), показанные на рис.
2.8 штриховыми горизонталями, отвечают меньшим приращениям х. В результате начальные участки кривых 2 становятся круче, чем кривые 1, и т.д.,и неизбежно в некоторый момент t = t i у кривой u = u i (x) впервыепоявится вертикальная касательная. На рис.
2.8, а это – кривая 3,а на рис. 2.8, б и в – кривые 2. В рассматриваемой ПВ сжатия неоднозначную зависимость u = u(x,t) удобно заменить однозначной зависимостью x = x(t,u). Тогда в точках, где касательная ккривым на рис. 2.8 вертикальна, выполняется условие(∂x / ∂u )t = 0.(1)56Точки, в которых выполняется условие (1), т.е. касательная ккривой на рис. 2.8 вертикальна, есть не только у кривых u = u i (x),но и у любой кривой u = u(x, t k > t i ).
Более того, у кривой 4 нарис. 2.8, а таких точек две. На рис. 2.8, а кривая 3 отличается откривой 4 тем, что у неё точка с вертикальной касательной является и точкой перегиба, т.е. в ней одновременно с условием (1) выполняется равенство(∂ 2 x / ∂u 2 )t = 0.(2)На кривой 4 точки с вертикальной касательной с точкой перегибане совпадают, и условия (1) и (2) при одинаковых значениях t и u(или х) выполняться не могут.Если закон движения поршня задан, то этим, как показанониже, определяется зависимость x = x(t,u), и два условия (1) и (2)позволят найти время t i и координату х i точки, в которой впервыепересекутся бесконечно близкие С+-характеристики. Так, однако,будет не при любом законе движения поршня, что связано с особой ролью граничной С+-характеристики.
До того момента, покаеё не опередит УВ, распространяющаяся со скоростью D > a 0 ,граничная характеристика отделяет ПВ сжатия от покоящегосягаза. Граничная характеристика разрывная в том смысле, что наней рвутся производные параметров газа. Возможны и другиеразрывные С+-характеристики, идущие из таких точек траекториипоршня, в которых скачком изменяется его ускорение. Подобнуюситуацию отражают рис. 2.7 и 2.8, в. На них ускорение поршняувеличилось скачком при u = u d . Если УВ, как на рис. 2.7 и 2.8, би в, возникает на разрывной характеристике, то соответствующаяточка кривой u = u k (х) – излом, а не точка перегиба, и условие (2)в ней не выполняется.
Да этого и не требуется, ибо тутu = ud ,(3)причём на граничной характеристике (рис. 2.7 и 2.8, б) u d = 0. Нарис. 2.7 С+-характеристики, на которых оказалась начальная точка УВ, даны более жирными прямыми. На рис. 2.8 распределенияскорости, содержащие слабые УВ, даны сплошными кривыми 3 и4 с жирными вертикальными отрезками, а непрерывные участкинеоднозначности – пунктиром.57а)tcapб)twpТПciв)twУВixxaaxРис. 2.9Как введение УВ позволяет избавиться от многозначностирешения, поясняет рис.
2.9, а. На нём iw – отрезок УВ, возникшейв точке i, а ic и ip – отрезки С–-характеристики и траектории частиц, которые проходят через эту точку. После введения УВ пересекавшиеся на рис. 2.7, а С+-характеристики заканчиваются сразных сторон УВ. Течение под iw и слева от траектории ip –изэнтропическое, а в четырёхугольнике awic – ПВ сжатия. Это –в точной постановке. На самом же деле, УВ, имея в общем случаев точке i нулевую интенсивность, некоторое время остаётся слабой. Для слабых УВ по формуле (1.4.7) приращение энтропии –величина порядка приращения давления в кубе и им можно пренебречь.
Это позволяет и за УВ ввести инварианты I±. Найдём,как при пересечении слабой УВ изменяется инвариант I–. Согласно определению I– формулами (2.2.8) и (2.2.10) при пересеченииС–-характеристикой УВp2dp.ρap1[ I ] = [u ] − [Φ ( p )] = [u ] − ∫−Здесь и далее [ϕ] = ϕ 2 – ϕ 1 , а индексы «1» и «2» метят параметрыперед и за УВ. Разложение подынтегральной функции в ряд дастp22 2⎞dp [ p ] ⎛ ρ1 a1 ω pp11[ p ] ⎟ + O ([ p ]3 ) .=−∫p ρa ρ1a1 ⎜⎜⎟4⎝⎠158Подставив полученное выражение в предыдущую формулу ивоспользовавшись соотношением (1.4.18) для слабой УВ, движущейся по газу вправо, найдём2 2⎞[ p ] ⎛ ρ1 a1 ω pp1−[ I ] = [u ] −[ p ] ⎟ + O ([ p ]3 ) = O ([ p ]3 ) .(4)⎜⎜ 1 −⎟ρ1a1 ⎝4⎠Такая же оценка получается для приращения инварианта I+ в УВ,движущейся по газу влево.Итак, согласно оценке (4) в слабых УВ приращением I– можно пренебречь, как и приращением энтропии. В результате за УВреализуется ПВ сжатия с прямолинейными С+-характеристиками.Для скорости слабой УВ согласно формуле (1.4.22)D = (u1 + a1 + u2 + a2 ) / 2 .(5)Эта формула эквивалентна правилу равных площадей: слабую УВнужно вводить так (рис.
2.8), чтобы площади с обеих сторон вертикального отрезка между ним и пунктирной кривой были равны.От того, где зарождается УВ (на непрерывной или на разрывной характеристике), зависит закон роста её интенсивности с удалением от начальной точки i. На схемах в кружках на рис. 2.7, а иб вверх и вправо из точки i идёт УВ, а ξ – расстояние, отсчитываемое от i вдоль её траектории. На рис. 2.7, а с разных сторон наУВ приходят С+-характеристики, а по правилу (5) УВ идёт побиссектрисе угла между ними, Δх и ζ – расстояния между этимихарактеристиками вдоль отрезков, проведённых в направленииоси х и нормали к УВ. В точке i касательные к УВ и к пришедшейв эту точку С+-характе-ристике совпадают. На рис.
2.7, б из приходящих на УВ характеристик есть только та, что приходит нанеё слева (со стороны ПВ сжатия). При ξ << 1 углы между С+характеристиками и УВ малы. Поэтому ζ ≈ k 1 Δх, где k 1 = sinσ, аctgσ = u i + a i . В ПВ параметры на каждой С+-характеристике постоянны. Поэтому их разности, например, [u] с разных сторон отУВ на расстоянии ξ от точки i и при ξ = 0 на концах отрезков Δх иζ совпадают.
Наконец, ζ = k 2 ξ[u] для малых [u]. Следовательно,(6)Δх = k 3 ξ[u]. k 3 = k 2 /k 1 .В первом случае (рис. 2.7, а), когда в точке i выполняются условия (1) и (2), подстановка Δх = k 4 [u]3 в равенство (6) даёт59[u ] = k ξ1/ 2 , k = k2 /( k1k4 ) .(7)Во втором случае (рис. 2.7, б и в), когда в точке i выполняютсяусловия (1) и (3), подставив Δх = k 4 [u]2 в равенство (6), получим[u ] = k ξ, k = k2 /( k1k4 ) .(8)В ПВ все параметры – функции одного из них.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
