А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1.1∂ρL≡+ ∇(ρV ) = 0;(1)∂t∂ (ρVk )(2)+ ∇(ρVk V ) + i k ∇p = 0, k = 1,2,3;∂t∂ρ(2e + V 2 )+ ∇{ρV (2h + V 2 )} = 0.(3)∂tДифференциальные уравнения течения в форме (1) – (3)удобны при численном интегрировании, но неудобны для анализа. По этой причине преобразуем их. Начнём с уравнения (2). Учтя уравнение (1), получим∂dV 1d(2′)+ ∇p = 0,= + V∇ .dt ρdt ∂tЗдесь d/dt – полная (или субстанциональная) производная повремени вдоль траектории частиц.Аналогично из уравнения энергии, учтя, что ρe = ρh – p, ивведя полную энтальпию H формулой: 2H = 2h + V2, получим∂H∂p∂H1 ∂pHL + ρ+ ρV∇H −=0∝+ V∇H −=0∂t∂t∂tρ ∂tилиdH 1 ∂p−=0(3′)dt ρ ∂tс тем же d/dt, что в (2′).Согласно уравнению (3′) для стационарных (независящих отвремени t) теченийV ∇H = 0 ,(4)т.е.
полная энтальпия Н сохраняется вдоль линий тока. Последние определяются как линии, которые в пространстве x 1 , x 2 , x 3касаются вектора скорости, т.е.dx1 dx2 dx3.(5)==V1V2V3Ещё одна форма уравнения энергии получается вычитаниемиз (3′) скалярного произведения векторного уравнения (2′) на V:39dV 2 / 2 1+ V∇p = 0 .ρdtВ результате получимdh 1 dp−=0.(6)dt ρ dtОтсюда с учётом термодинамического соотношения (1.1.2) следует условие сохранения энтропии вдоль траекторий частиц:ds=0.(7)dtДля идеального газа в подобластях непрерывности параметроввыполнение данного условия можно было постулировать в качестве одной из форм записи уравнения энергии.Дифференциальные уравнения течения идеального газа, записанные в форме (1) – (3), а также с заменой векторного уравнениядвижения (2) на (2′) и уравнения энергии (3) на любую из егоформ (3′), (6) или (7), называют уравнениями Эйлера.40Часть 2. Одномерные нестационарные теченияс плоскими, цилиндрическими и сферическими волнамиГлава 2.1.
Уравнения одномерных течений.Их интегралыРассмотрим одномерные нестационарные течения с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами, в которых всепараметры – функции времени и единственной пространственнойкоординаты х. В течениях с плоскими волнами х – одна из декартовых координат (рис. 2.1, y и z – две другие координаты, а u, v иw – соответствующие проекции вектора скорости V). В теченияхс цилиндрическими и сферическими волнами х – расстояние отоси или от центра симметрии. Отвечающие им цилиндрические исферические координаты и компоненты V также представлены нарис.
2.1. Для течений со сферическими волнами условие сферической симметрии приводит к единственной отличной от нулярадиальной компоненте u вектора скорости V.z (w)z (w)r ≡ x (u)y (v )φ (v )r ≡ x (u)x (u)v =w≡0Рис. 2.1Для одномерных течений все параметры – функции только t их. Пусть для течений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами ν = 1, 2 и 3. Тогда ∇(ρV) = x1–νд(xν–1ρu)/дх, и уравнение неразрывности (1.6.1) принимает вид∂ ( x ν−1ρ) ∂( x ν−1ρu )L≡+= 0, ν =1, 2, 3(1)∂t∂x41или∂u ν − 1∂∂dρd+ρ +ρu = 0,= + u , ν =1, 2, 3 .(1 ν )∂x∂xdtxdt ∂tПри ν = 1 и 3 проекция уравнения движения на ось х имеетодинаковую форму, а при ν = 2 в нём появляется центростремительное ускорение.
С учётом этого для трёх ν = 1, 2 и 3 уравнениедвижения в проекции на ось х запишем в формеdu ∂pρv 2, ν =1, 2, 3 .ρ += ( ν − 1)(3 − ν)(2)dt ∂xxДля течений с плоскими волнами из-за того, что давление р == р(t, х), т.е. не зависит от у и z, проекции уравнения движения надве другие оси сведутся кdvdw(3), (4)= 0,=0.dtdtУравнение (4) выполняется и для цилиндрически симметричныхтечений, а уравнение (3) для них нарушается из-за наличия ускорения Кориолиса. Для таких течений проще записать закон сохранения z-компоненты момента количества движения. Этот момент благодаря отсутствию соответствующего момента силы(давление не зависит от угла φ) сохраняется в частице. Объединив уравнение сохранения момента с уравнением (3), получимdΓ= 0, Γ = x ν-1v , ν = 1, 2 .(3 ν )dtКак уже отмечалось, для сферически симметричных теченийw = v = 0.Наконец, как и в случае произвольного пространственноготечения, уравнение энергии можно записать в форме уравнениясохранения энтропии в частице или его следствий:dsdh 1 dp d ρ 1 dp.(5, 5 1 , 5 2 )= 0,=,=dtdt ρ dt dt a 2 dtЗдесь и далее частицами называются нормальные соответствующей оси х плоские, цилиндрические или сферические поверхности, движущиеся в направлении оси х со скоростью u.
Траектории этих поверхностей, определяемые уравнениемdx / dt = u ,(6)42назовём траекториями частиц.Уравнения (5) – (5 2 ) отличаются от их аналогов в общем, пространственном случае только более простым видом оператораполной производной по времени. Для одномерных теченийd∂∂= +u ,dt ∂t∂xа в общем пространственном случаеd∂= + V∇dt ∂tили в декартовых координатахd∂∂∂∂= + u +v + w .∂x∂y∂zdt ∂tВведём массовую лагранжеву переменную m дифференциальным равенствомdm = kx ν−1ρ( dx − udt ) ,(7)в котором k – нормирующий множитель, выбираемый из соображений удобства.
Согласно (7) m определена с точностью до аддитивной постоянной, а в силу уравнения (6) она сохраняется натраекториях частиц. Покажем, что разность значений m в двухточках плоскости xt не зависит от пути интегрирования, т.е. чторавен нулю интеграл от dm по любому замкнутому контуру Г.Пусть в плоскости xt контур Г ограничивает область Ω. Еслив Ω нет разрывов, а L – левая часть уравнения неразрывности (1),тоν- 1тi dm = k тi x r (dx - udt ) = k тт Ldxdt = 0.GΩGЕсли через Ω проходит траектория разрыва (рис. 2.2), то в силууравнения (1.3.20) с заменой Vn0 на u, непрерывности координатых и приращения dt на ней справедлива последовательность равенств (как и в Гл. 1.2 – 1.4, [ϕ] – разность ϕ на разрыве):dx ⎞ ⎤⎡⎛[ρ(u − D )] = 0, ⎢ kx ν−1ρ ⎜ u − ⎟ ⎥ = 0, [dm] = 0, dm = kx ν−1ρ(udt − dx ) .dt ⎠ ⎦⎝⎣Поэтому43тi dm = т dm + т dm + т dm - т dm = тiGG+G-Gd +Gd -dm +G+ + Gd +тidm =G- + Gd -= k тт Ldxdt + k тт Ldxdt = 0.Ω+Ω−tdx/dt = DΩ + Γd+Γ+Γd–Ω–Γ–xРис.
2.2Если t постоянно, то согласно определению (7) dm = kxν – 1ρdx,и при k > 0 переменная m – монотонно растущая функция х. Поскольку m сохраняется вдоль траекторий частиц, то ей можно«метить» эти траектории. При этом в начальный момент на левойгранице области течения (на неподвижной или подвижной стенке, на оси или в центре симметрии и т.п.) при х = х – удобно положить m – = 0.
Если рассматривается движение ограниченной массы газа, ограниченного и слева, и справа, то множитель k обычновыбирают так, чтобы на правой границе (при х = х + > х – ) m + = 1.При таком выборе для любого фиксированного t, например, t = 0:−1⎛ x+ ν−1⎞k = ⎜ ∫ x ρdx ⎟ .⎜x⎟⎝ −⎠Введение лагранжевой переменной позволяет записать интегралы энтропии (5), поперечных скоростей и момента количествадвижения (4) и (3 ν ):s = S ( m), ν = 1, 2, 3; w = W ( m ), x ν−1v = Γ( m ), ν = 1, 2 .(8)Здесь W(m) и Γ(m) определяются только начальными условиями,а S(m) – начальными условиями и изменениями энтропии на УВ.44Глава 2.2. Характеристики и инвариантыСокращения: ТЧ – траектория частиц, УС – условия совместности.Из выписанных в Гл.
2.1 уравнений часть (2.1.3) – (2.1.5)dsdh 1 dp d ρ 1 dp=0∝=∝=;(1 s )dtdt ρ dtdt a 2 dtdΓ= 0, Γ = x ν-1v , ν = 1, 2 ;(1 Γ )dtdw=0(1 w )dtсодержит оператор дифференцирования вдоль единственного направления – направления траекторий частиц (ТЧ) в плоскости хt,определяемого уравнением (2.1.6)(1 х )dx/dt = u .Уравнения в частных производных, которые в плоскости независимых переменных хt содержат оператор дифференцирования по единственному направлению, назовём характеристическими или уравнениями, имеющими характеристическуюформу, а соответствующие линии в той же плоскости – характеристиками.
В указанном смысле характеристические уравненияпо существу есть обыкновенные дифференциальные уравнения,описывающие изменения (или постоянство) соответствующихпараметров вдоль заранее неизвестных кривых плоскости независимых переменных. Очевидно, что в общем случае указанныхобыкновенных дифференциальных уравнений недостаточно дляопределения параметров, входящих в них. Несмотря на это, какбудет видно из дальнейшего, наличие характеристик играет чрезвычайно важную роль в исследовании свойств течений, построении решений и т.д. В то же время уравнения (1 s ) – (1 x ), как и всеуравнения системы (2.1.1) – (2.1.5), квазилинейные, т.е. линейныеотносительно производных, но содержащие искомые функции вкоэффициентах при производных (в частности, u в оператореd/dt) и в свободных членах.45ТЧ – характеристики, на которых выполняются уравнения (1),назовём С0-характеристиками (рис. 2.3).
С учётом направлениястрелы времени при движении вдоль С0-характеристик время tможет лишь монотонно расти (или монотонно убывать) при допущении любого изменении координаты х.t–C : dx/dt = u – a0C : dx/dt = u+C : dx/dt = u + axРис. 2.3В отличие от уравнений (1 s ) – (1 w ) уравнения (2.1.1 ν ) и(2.1.2 ν )dρ∂u ν − 1+ρ +ρu = 0 ,(2)dtx∂xdu ∂pρv 2ρ += ( ν − 1)(3 − ν)(3)dt ∂xxсодержат операторы дифференцирования разных функций вдольдвух разных направлений: ТЧ (полную или субстанциональнуюпроизводную по t) и прямых t = const. В этом смысле указанныеуравнения – настоящие уравнения в частных производных.Уравнения (2) и (3) содержат производные от трёх переменных. Исключив из уравнения неразрывности (2) производную отρ с помощью уравнения энергии в форме (2.1.5 2 ), получимdp∂u ν − 1 2+ ρa 2+ρa u = 0 .(2′)dtx∂xТеперь два квазилинейных уравнения (2′) и (3) содержат производные только от u и р, что существенно для дальнейшего.Посмотрим, нельзя ли квазилинейные уравнения (2′) и (3) заменить такими их линейными комбинациями, которые имели быхарактеристическую форму.
С этой целью сложим уравнение (2′)46с уравнением (3), умноженным на пока неизвестный множительλ. В результате получим⎛ du a 2 ∂u ⎞ ν − 1dp∂p+ λ + λρ ⎜ +ρ {a 2u − ( ν − 3)λv 2 } = 0 . (4)⎟+∂xλ∂dtdtxx⎝⎠Это уравнение будет характеристическим при двух значениях λ:λ=± a .Подставив их в уравнение (4) и вспомнив определение оператора d/dt, придём к двум, отличным от ТЧ характеристическимуравнениям и отвечающим им характеристикам. В любой точкеплоскости xt направление характеристики первого (второго) семейства или С+(С–)-характеристики определится уравнением(5±)dx/dt = u ± a ,а выполняющееся вдоль них уравнения имеют видdp(3 − ν)v 2 ± au(6±)+ ( ν − 1)du ±dt = 0 .ρax±Уравнения (6 ) называются условиями совместности (УС).В силу уравнений (7) §2.1 и (5±) на С±-характеристиках приращения m связаны с dt или dх равенствамиρadxdm = ± kx ν−1ρadt = kx ν−1.(7±)a±uРасположение С+- и С–-характеристик относительно ТЧ (С0характеристик) показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
