А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Скорость КР(«поршня») u c при этом подбирается так, чтобы в обеих задачах опоршне за ЦВР и УВ (рис. 2.10, а; ЦВР и УВ могут поменятьсяместами), за двумя УВ (рис. 2.10, б) или за двумя ЦВР (рис. 2.10,в) в соответствии с условиями (1.3.6) и (1.3.7) при одинаковыхскоростях, равных u c , получались одинаковые давления р с .Если ни для одной из рассмотренных хt-диаграмм такую скорость u c найти не удалось, это означает, что из-за большой разности скоростей |u + – u – | оба потока даже при предельном расширении до вакуума не взаимодействуют друг с другом (рис.
2.10, г).В УВ и в ЦВР сохраняются y- и z-компоненты вектора скорости.Решение ЗР широко применяется прежде всего в современных численных методах газовой динамики. В настоящее времясамые эффективные и распространенные разностные схемы – этотак называемые распадные схемы – развитие схемы, предложенной С.К. Годуновым (1959, см.
[18]). ЗР – важнейший их элемент.66а)tЦВРб)2′1′t′ЦВРtКРУВУВТП12КРx′0′≡ i1xM1′ ≈ 1M2′ >> 12Диафрагма0101xРис. 2.11Самостоятельный интерес представляет использующая решение ЗР элементарная теория ударной трубы – устройства, получившего широкое распространение как инструмент экспериментального исследования гиперзвуковых течений. Схема ударнойтрубы и хt-диаграмма её работы даны на рис. 2.11, а. Ударнаятруба состоит из секций низкого (1) и высокого (2) давления. Доразрыва диафрагмы газ с обеих её сторон покоится. Обычно откачивание газа из секции низкого давления продолжается довольно долго. Из-за этого температура трубы и газа в ней близкик температуре окружающей среды T 0 . Итак, в начальный моментв ударной трубе: u 1, 2 = 0, T 1, 2 = T 0 , p 2 >> p 1 .
Если обе секции заполнены одним совершенным газом (γ 1,2 = γ), то из равенстватемператур следует равенство скоростей звука а 1,2 = а 0 .В элементарной теории ударной трубы реальный процессразрыва диафрагмы моделируется её мгновенным исчезновением.Из физических соображений естественно ожидать, что после разрыва диафрагмы реализуется хt-диаграмма рис. 2.10, а, т.е. погазу в секции 1 распространяется УВ, а по газу в секции 2 – ЦВР.Покажем, что это действительно так.67uc/а124310p2/p11pc/p1Рис.
2.12Для ЦВР из условий сохранения инварианта I+ и энтропии сиспользованием формулы (1.2.12) для отношения а 2′ /а 2 имеемnn⎛p ⎞⎛p ⎞2a2aγ −1u2′ + 2′ = 2 , a2′ = a2 ⎜ 2′ ⎟ = a2 ⎜ c ⎟ , n =.2γγ −1 γ −1⎝ p2 ⎠⎝ p2 ⎠Отсюда, допуская отличие начальных температур (Т 2 ≠ Т 1 ) и скоростей звука (а 2 ≠ а 1 ), найдём, чтоnnnuc2 a2 ⎡ ⎛ pc ⎞ ⎤2 a2 ⎡ ⎛ pc ⎞ ⎛ p1 ⎞ ⎤⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ =⎢1 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ .(1)=a1 γ − 1 a1 ⎢ ⎝ p2 ⎠ ⎥ γ − 1 a1 ⎢ ⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠ ⎥⎣⎦⎣⎦Здесь учтено, что u 2′ = u c и р 2′ = р c . Согласно (1) u с /а 1 монотонноубывает (кривая 1 на рис. 2.12) от 2(а 2 /а 1 )/(γ – 1) при р с /р 1 = 0 донуля при р с /р 1 = р 2 /р 1 .На УВ, идущей вправо, по формуле (2.4.22) имеем(1 − p1 / pc ) 2 pc / p1uc(2)=.a1γ[ γ + 1 + ( γ − 1) p1 / pc ]В формуле (2) с ростом р с /р 1 ≥ 1 числитель растёт, а знаменательуменьшается.
Следовательно, u c монотонно растёт от нуля прир с /р 1 = 1 до бесконечности при р с /р 1 → ∞. При р с /р 1 > 1 кривые 1и 2, отвечающие формулам (1) и (2), обязательно пересекутся,причём в единственной точке (рис. 2.12).При фиксированном р 2 /р 1 увеличение отношения Т 2 /Т 1 , аследовательно и а 2 /а 1 «поднимает» кривую 1 и, таким образом,увеличивает значение р с /р 1 в точке её пересечения с кривой 2.
Втом же направлении, но сильнее действует увеличение р 2 /р 1 .68В УВ газ нагревается, а в ЦВР – охлаждается, и при T 2 = T 1 сразных сторон от КР (рис. 2.11, а) Т 2′ < T 1′ и a 2′ < a 1′ . В результате при одинаковых скоростях u 1′, 2′ = u с числа Маха M 2′ > M 1′ .При большом перепаде давления на диафрагме, когда УВ получается сильной, согласно формулам (1.4.30) имеем (D – скоростьУВ)γ +12ρ D 2γp2 γ ( γ − 1) 2 24D2ρ1′ =ρ1 , p1′ = 1 , a12′ = 1′ =D,u=,1′γ −1γ +1ρ1′( γ + 1) 2( γ + 1) 2M 1′ = 2 /[ γ ( γ − 1)] ≈ 1.8898,γ=1.4т.е.
в типичном случае M 1′ близко к двум. Однако из-за разогревагаза в УВ и охлаждения в ЦВР отношение а 1 /а 2 заметно большеединицы, обеспечивая гиперзвуковые скорости в области 2′.Ещё одна возможность реализации ЗР возникает после фокусировки волн сжатия. В общем случае в точке образования УВ (вГл.
2.4 – в точке i) пересекаются лишь бесконечно близкие характеристики, и интенсивность УВ в момент возникновения нулевая.Однако при специальном выборе траектории поршня (ТП) в точке i можно сфокусировать С+-характеристики, идущие с конечного её отрезка (рис. 2.11, б).
В таком случае интенсивность возникшей УВ будет конечной уже в точке i.Для построения требуемой траектории поршня учтем, что впроизвольную точку i с координатами t i и x i = а 0 t i приходят прямолинейные С+-характеристики ЦВ сжатия. Кроме того, для упрощения дальнейших формул в качестве масштабов длины, времени, скорости, плотности и давления возьмем x i , t i , а 0 , ρ 0 иρ 0 а 0 2.
В результате x i = t i = а 0 = ρ 0 = 1, а р 0 = 1/γ.Так как в ЦВ сжатия постоянен инвариант I–, тоγ −1(3)a = 1+u,2а С+-характеристики ПВ сжатия в силу формулы (2.3.6), как показано на рис. 2.11, б, – прямыеx′ x − 1γ +1== u + a = 1+u.t′ t − 12Отсюда на каждой С+-характеристике ЦВ сжатия, в том числе веё лежащей на траектории поршня концевой точке,69⎛ γ +1 ⎞(4)x = 1 + ⎜1 +u ⎟ (t − 1) .2 ⎠⎝Для построения ТП воспользуемся постоянной на каждойтраектории частиц лагранжевой переменной m. В плоском случае(при ν = 1) равенство (2.1.7), которым она была введена, принимает вид: dm = kρ(dx – udt). На С+-характеристиках dx = (u ++ a)dt и dm = kρadt.
Положив m = 0 на ТП и выбрав k = 1, проинтегрируем это уравнение сначала по отрезку 0i, где ρа = 1, а затемпо любой С+-характеристике от ТП до точки i. Это даст m i = 1 и(5)t = 1 − 1/(ρa ) ,где t – время на ТП. Формулы (3) – (5) и выражение ρ = ρ(а) изравенств (2.2.12) дают параметрическое представление ТП, реализующей ЦВ сжатия. Параметром служит скорость газа и поршня u ≥ 0. При u → ∞ газ изэнтропически сжимается в точку. Ограничившись любым конечным u + , пристроим к концевой точкенайденной ТП прямолинейный участок dx/dt = u + . После достижения им горизонтали t = 1 на оси x′ возникает ЗР с покоящимсянесжатым газом при x′ > 0 и сжатым равномерным движущимсясо скоростью u + > 0 потоком на конечном отрезке оси x′ < 0.Для выяснения типа x′t′-диаграммы ЗР, возникающей послереализации ЦВ сжатия, перейдём в формуле (3) от скорости звукак давлению.
При а 0 = 1 с учётом формулы (2.2.12) найдём( p / p0 ) n − 1γ −1.(6)u=2, n=γ −12γС другой стороны, согласно формуле (2.4.22) на УВ, выходящейиз точки i,(1 − p0 / p ) 2 p / p0.(7)u=γ[ γ + 1 + ( γ − 1) p0 / p ]При одинаковых р/р 0 скорость газа за ЦВ сжатия с фокусом вточке i, которая даётся формулой (6), и определяемая формулой(7) скорость газа за выходящей из этой же точки УВ различаются.Поэтому согласно решению ЗР из точки i влево пойдёт либо ЦВР,как показано на рис. 2.11, б, либо УВ.
Если при одинаковых давлениях скорость газа за УВ больше (меньше), чем за ЦВ сжатия,то влево пойдёт ЦВР (УВ).70Для малых сжатий р/р 0 = 1 + δ с δ << 1, и формулы (6) и (7)примут видδ γ +1( γ + 1)(3γ + 1) 3δ γ + 1 2 3( γ + 1)2 3uCWC ≈ − 2 δ2 +δ,u≈−δ +δ .SWγ 4γγ 4γ 224 γ 332 γ 3В силу чего( γ + 1)(5 − 3γ ) 3uSW − uCWC ≈δ .96 γ 3Согласно сказанному выше для малых сжатий при γ < 5/3 влевопо газу будет распространяться ЦВР.
Для сильного сжатия тот жерезультат получается для любых γ > 1. Действительно,[1 − 1/( γp )] 2 γp( γp )n − 1 2( γp ) n2p, uSW =,uCWC = 2≈≈γ −1γ −1γ +1γ ( γ + 1) + ( γ − 1) / puSW − uCWC ≈2p2−( γp ) n ≈γ +1 γ −12p> 0,γ +1а n = (γ – 1)/(2γ) = 1/2 – 1/(2γ) < 1/2 при γ > 1. Для γ < 5/3 кривая 3на рис. 2.12 отвечает ЦВ сжатия, а кривая 4 – ЦВР. Точка пересечения кривых 2 и 4 определяет интенсивности УВ и ЦВР.Глава 2.6. Слабо возмущённое течение. Бегущие волны.Эволюционные и неэволюционные разрывыСокращения: БВ – бегущая волна, КР – контактный разрыв, ПВ– простая волна, УВ – ударная волна, УВР и УВС – ударные волны разрежения и сжатия, ФГ – фронт горения, ЦВ – центрированная ПВ, ЦВР – ЦВ разрежения.Для выявления качественных особенностей слабо возмущённых течений с плоскими волнами линеаризуем описывающие ихуравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
