А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2.17, ж) находится точка 1. Тогда проинтегрировав уравнение (11+) вдоль отрезка 1–3 и учтя, чтох 1 = u 1 = F1+ = 0, придём к равенствуxx3u3 + 3 ( p3 - p1 ) + ( n - 1) F3+ x3 = 0 ,r 3 a3а после сокращения на х 3(r a )3 u3 + p3 - p1 + ( n - 1)(r aF + )3 = 0 .Для точки 3 в случае, когда точка 1 находится в ЦС, это уравнение и второе уравнение (8) определяют u 3 и p 3 . В нём в первойитерации (ρа) 3 заменяется на (ρа) 1 , а F3+ – на F2+ / 2 .Для точки 3 в ЦС (рис. 2.17, з), где х 3 = u 3 = F3+ = 0, аналогичным способом придём к уравнениюp3 = p2 − (ρau ) 2 − ( ν − 1)(ρaF − ) 2 ,которое без итераций определяет давление р 3 .
Поскольку ось tсовпадает с ТЧ, то энтропия s 3 в ЦС известна, а по р 3 и s 3 изуравнений состояния находятся ρ 3 и а 3 . Наконец, уравнениеt3 = t2 + 2x2 /( a2 − u2 + a3 )89– результат интегрирования уравнения (2–) также без итерацийопределит t 3 .При отсутствии УВ рассмотренные задачи и их модификациимогут решаться не только в прямом (в сторону роста t), но и вобратном направлении (в сторону уменьшения t).Глава 2.9.
Изэнтропическое расширение и сжатие газаиз покоя в покойСокращения: УВ – ударная волна, ПВР – пучок волн разрежения, ТП – траектория поршня.Можно так выбрать траекторию поршня (ТП), чтобы за малоевремя изэнтропически расширить или сжать газ из покоя в покой(согласно [19] J.P. Morreeum, J. Saillard сделали это в 1978 г., в1993 г.
А.Н. Крайко [20] пришёл к нему, решая вариационнуюзадачу о сжатии, оптимальном по энергозатратам). Начнём из неподвижного однородного газа выдвигать поршень сразу с конечной скоростью (рис. 2.18, а). В плоском случае (при ν = 1) в начало координат поместим неподвижную стенку. Тогда скоростьu(0,t) = 0 при всех ν (при ν = 2 и 3 – в силу симметрии течения). Ввозникшем при этом неавтомодельном пучке волн разрежения –ПВР нет причин для образования УВ.
Поэтому течение будет оставаться изэнтропическим, а из условия сохранения нулевой (приν = 2) закрутки – и незакрученным. В ПВР на оси t плотность идавление монотонно падают. В некоторой точке f пересеченияоси t с С–-характеристикой af получится любое меньшее начального давление р f < р 0 и плотность ρ f = ρ(р f , s 0 ) < ρ 0 . Из точки fпроведём С+-харак-теристику fb, на которой, как и в точке f, положим u ≡ 0. Согласно условию совместности (2.8.5+):dp ν − 1 +du +Fx dx = 0 ,+xρaпричём F+ х (u = 0, v = 0, …) = 0.
Следовательно, одновременно сu ≡ 0 на fb постоянно давление: р ≡ р f , а при отсутствии междухарактеристиками аf и fb УВ – все термодинамические парамет90ры. Наконец, из условия сохранения массы газа и уравнения прямолинейной С+-характеристики: x b = x 0 (ρ 0 /ρ f )1/ν, t b = t f + x b /a f .b°ta)в)bfda–0b°fxatbб)а–0axРис.
2.18Решение задачи Гурса с известными характеристиками af и fbпозволяет рассчитать изэнтропическое течение в характеристическом четырёхугольнике adbf и построить в нём квадратичной ин91терполяцией по m траекторию частиц m = 1, проходящую черезточки а и b. Она и будет искомой ТП, которая осуществляет расширение из покоя в покой. На самом деле, весь четырёхугольникadbf считать не нужно. Достаточно при решении задачи Гурсавдоль С+- или С–-характеристик лишь на одну точку залезать вобласть m > 1.
При отсутствии именно в этой части характеристического четырёхугольника adbf пересечений одноимённыххарактеристик (опыт расчётов подтверждает, что это так) задачуследует считать решенной. Над характеристикой fb, как и под характеристикой aa–, газ покоится, и все его параметры однородны.Рассматриваемые одномерные безударные течения описываются уравнениями∂u∂u 1 ∂p∂ρx ν−1 ∂ρx ν−1u+u += 0,+= 0,∂t∂x ρ ∂x∂t∂xкоторые инвариантны относительно одновременной замены u на–u и t на –t и сдвига по времени.
Поэтому после зеркального отражения относительно оси х и сдвига по t из течения расширенияполучим течение сжатия из покоя в покой (рис. 2.18, б).Взятое из работы [21] распределение скорости («в периодической гамме») для сферически симметричного расширения из покоя в покой совершенного газа с γ = 1.4 при падении плотности в100 раз приведено на рис. 2.18, в.Как видно из рис. 2.18, б и в, основное время сжатия – времяпробега звуковой волны по несжатому газу (в нём и расстояниебольше и скорость звука меньше, чем в сжатом газе над fb).
Аналогично – при расширении. Для технических устройств размеры– величины порядка метра или его долей. Следовательно, соответствующие времена – сотые и тысячные доли секунды. Такимобразом, решенные задачи избавляют при анализе термодинамических циклов тепловых машин от предположений о бесконечномедленных сжатиях и расширениях.Глава 2.10. Задача о сильном точечном взрывеСокращение: УВ – ударная волна.92Задача о сильном точечном взрыве решена Л.И.
Седовым в1946 г. вскоре после взрывов первых атомных бомб. Эта задача –поучительный пример того, как оправданные упрощения физического характера привели к решению, несоизмеримо более сложному в исходной (полной) постановке.Главная особенность взрывов ядерных устройств обусловленавеличиной выделившейся энергии Е. Она столь велика, что ударная волна (УВ), возникшая при взрыве, остаётся сильной на расстояниях, много больших размера устройства, а его масса пренебрежима по сравнению с массой газа, вовлекаемого при этом вдвижение.
В результате из параметров среды, в которой произошел взрыв, в соотношения на УВ входит только плотность несжатого газа ρ 0 . При взрыве в совершенном газе определяющиепараметры рассматриваемой задачи – Е, ρ 0 , γ и константа ν = 1, 2и 3 соответственно для плоского, цилиндрического и сферического взрывов.
При ν = 1 и 2 в качестве Е рассматриваются удельныевеличины, приходящиеся на единицу площади или длины.Для дальнейшего важны размерности определяющих параметров. Пусть квадратные скобки означают размерность заключенного в них параметра, а М, L и Т – размерности массы, длиныи времени. Размерность Е зависит от симметрии задачи: при ν = 3это – вся энергия, а при ν = 2 и 1 – упомянутые выше удельныевеличины, т.е. [E] = L2M/T2 при ν = 3, [E] = LM/T2 при ν = 2 и [E] == M/T2 при ν = 1. Итак,[ E ] = MLν−1 / T 2 , [ρ0 ] = M / L3 .Исключив массу из Е и ρ 0 , получим константу с, размерность которой содержит размерности только длины (для удобства в первой степени) и времени:1/(2 +ν )⎛E⎞L22 1 2= , , , ν = 1, 2, 3.c=⎜ ⎟, [c ] = n , n =2+ν 3 2 5T⎝ ρ0 ⎠Из константы с и независимых переменных х и t можно составитьединственную безразмерную автомодельную переменнуюxξ= n .(1)ct93Искомые параметры (ρ, u, а, р и т.д.) как функции независимых переменных (t и х) и определяющих параметров не могутзависеть от произвола в выборе единиц измерения.
Действительно, год, сутки, час, минута и секунда, связанные с движениемЗемли вокруг Солнца и с её вращением, не имеют никакого отношения к рассматриваемой задаче. По указанной причине в любой задаче искомые параметры и независимые переменныедолжны измеряться своими, связанными с каждой задачей масштабами. Поэтому (R, … – функции ξ и констант γ, ν, n)xρ( x, t , E , ρ0 , γ, ν) = ρ0 R( ξ), u( x, t ,...) = n U ( ξ),t(2)2x1 2⎛ x⎞a ( x, t ,...) = n A( ξ), p( x, t ,...) = ρ0 ⎜ n ⎟ P ( ξ), P = RA ,γt⎝ t⎠Введение множителя n в формулы для u, a и р упрощает уравнения и условия, определяющие функции U, A, …, а ν наряду с показателем автомодельности n в числе аргументов оставленодля задач, в которых n не выражается явно через ν.tCC+–0ξ = ξsxРис. 2.19На рис.
2.19 для n < 1 линии постоянства переменной ξ, а следовательно – и функций U, A, … изображены в плоскости xt кривыми, выходящими из начала координат. В согласии с определением ξ оси координат – тоже такие линии: оси х отвечает ξ = ∞, аоси t – ξ = 0. При 0 ≤ ξ ≤ ξ s располагается «зона взрыва» от его94эпицентра (ξ = 0) до УВ (ξ = ξ s < ∞), а при ξ s ≤ ξ ≤∞ – невозмущённый покоящийся газ (однородная, холодная атмосфера).Траектория УВ совпадает с кривой ξ = ξ s . Иначе УВ пересекалась бы линиями постоянства автомодельной переменной. Припересечении на линии ξ = const с одной стороны от УВ поток невозмущён, а с другой возмущён, что противоречит формулам (2).При уравнении траектории УВ: x s = ξ s ctn, её скорость D = dx s /dt == nξ s ctn – 1 = nx s /t. Но за сильной УВ согласно формулам (1.4.30)ρs γ + 1γp2D2ρ D 22 γ ( γ − 1) 2=D ,, us =, ps = 0 , as2 = s =ρ0 γ − 1γ +1γ +1ρs( γ + 1)2и при D = nx s /t из сравнения с формулами (2) найдём (B = A2)222 γ ( γ − 1)γ +1, Us =, Ps =, Bs =, Φ s = Φ ( ξs ,...) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
