А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 18
Текст из файла (страница 18)
2.25, в, на ρ C из табл.2.1 даёт отношение плотности к её значению перед УВ IS.0tв)1хa)-10 tρ62х1031023101а-1451б)БА41010–3б10–210–1τ°1Рис. 2.25После построения решения с пучком фокусирующихся в ЦСволн сжатия естественно рассмотреть решение с их фокусировкой в точке, расположенной на той же особой характеристике, ноне в ЦС, а при m 0 > 0. Диаграмма такого течения изображена нарис. 2.24, в (CW – волна сжатия с фокусом в точке 0), а отвечающие ν = 3, γ = 7/5 и двум значениям m 0 = 10–6 и 10–3 зависимостиρ от τ° на поршне дают на рис. 2.25, в кривые А и Б. При m 0 > 0116течение в фокусе, описывается формулами для плоской ЦПВ (условиями постоянства инварианта I+ и энтропии), т.е. в фокусе припостоянных m = m 0 , z, x и τ переменные U и A или скорость u искорость звука a удовлетворяют связямκU − A = κμ − 1, κu − a = m0α ( κμ − 1) .(19)1/κ2Формулы для ρ и р остаются прежними: ρ = А , р = ρа /γ.Связи (19), по крайней мере, внешне не имеют ничего общегос построенным выше решением.
Несмотря на это, кривые А и Бна рис. 2.25, в отходят от кривой 4, рассчитанной для тех же ν и γ,только при приближении к своим фокусам. Это понятно, ибо приm 0 > 0 точка фокусировки С–-характеристик с неограниченнымростом плотности отвечает хотя и малым, но всё же конечнымτ 0 °. При этих τ 0 ° = τ 0 /τ р > 0 кривые А и Б имеют вертикальныеасимптоты (а и б соответственно): τ° = m 0 1/(νn), ибо на С 0 –характе-ристике, на которой лежит отличный от ЦС фокус, τ° =m1/(νn).117Часть 3.
Стационарные течения газаГлава 3.1. Уравнения стационарного теченияидеального газа. Их интегралы и следствияСокращения: ЗЛ – звуковая линия, ЛТ – линия тока, МСЗ – местная сверхзвуковая зона, ТР – тангенциальный разрыв, УВ –ударная волна, ЦВР – центрированная волна разрежения.Если в некоторой желательно инерциальной системе координат параметры потока не изменяются со временем, то такие течения называются стационарными. Пример стационарного теченияво вращающейся (неинерциальной) системе координат – течениев изолированном рабочем колесе турбомашины. Если системакоординат инерциальная, то дифференциальные уравнения, описывающие стационарные течения в подобластях их непрерывности, получаются из уравнений (1.6.1), (1.6.2′), (1.6.4) и (1.6.7) заменой частных производных по времени (∂/∂t) нулями∇(ρV ) = 0,(1)dV 1d+ ∇p = 0,= V∇,(2)dt ρdtdHV2= 0, H = h +,(3)dt2ds=0.(4)dtСамые простые из них – два последних. Уравнение (4) – одна иззаписей уравнения энергии, а уравнение (3) – следствие уравнений движения (2) и энергии (4).
Во многих задачах его удобноиспользовать вместо одной из проекций векторного уравнениядвижения (2). Здесь и далее оператор d/dt, как и в случае нестационарного течения, означает полную (субстанциональную)производную вдоль траектории частиц. Стационарные теченияотличаются тем, что в них траектории всех частиц, проходящихчерез фиксированную точку, повторяют друг друга, образуя впространстве независящие от времени линии тока (ЛТ). ЛТ покрывают всю занятую движущимся газом часть пространства.118В каждой точке, где хотя бы две компоненты вектора V неравны нулю, V и ЛТ касаются друг друга.
Поэтому в декартовых(xyz) и в цилиндрических (xyφ) координатахdx dy dz dx dy yd φ== ,==.(5)uvw uvwЗдесь dx, … – приращения координат вдоль ЛТ, а u, v и w – соответствующие проекции вектора V. Уравнения (3) и (4) – условиясохранения полной энтальпии H и энтропии s вдоль ЛТ.Если ЛТ пересекает ударную волну (УВ), то энтропия возрастает, а полная энтальпия в силу её непрерывности на УВ не изменяется. Действительно, в общем случае на УВ непрерывна полнаяэнтальпия, вычисленная в системе координат, в которой данныйэлемент УВ неподвижен. В стационарных течениях УВ неподвижны, и H сохраняется при пересечении УВ независимо от ихформы и числа. Последнее существенно в задачах, в которых набегающий поток однороден или кусочно-однороден. При однородном набегающем потоке равенство2h + V 2 = 2 H 0(6)с константой H 0 , вычисленной по параметрам набегающего потока, выполняется всюду, куда приходят начинающиеся в нём ЛТ.При этом энтропияs = s0(7)также заведомо постоянна в полностью дозвуковых течениях, а всверхзвуковых и околозвуковых потоках с местными сверхзвуковыми зонами (МСЗ) при отсутствии УВ, а при их наличии, – покрайней мере, до пересечения ЛТ с УВ.
В ряде задач при равномерном сверхзвуковом набегающем потоке головная УВ или еёчасть имеет постоянную интенсивность. За такими УВ такжесправедливо равенство (7), но с отличной от s 0 константой в правой части. Течения, с постоянной Н, называются изоэнергетическими, а с постоянной s – изэнтропическими.Если интенсивность УВ невелика (например, при сверхзвуковом обтекании тонких тел под малыми углами атаки или причислах Маха, близких к единице), то для них (см. (1.4.7)) ростэнтропии пропорционален приращению давления в кубе. В такихслучаях конечное соотношение (7) также с высокой точностью119выполняется во всём потоке, и равенства (6) и (7) – интегралыуравнений стационарного течения.
Вместе с уравнениями состояния они выражают все термодинамические параметры, включая скорость звука а, через V 2. При этом число подлежащих интегрированию уравнений в частных производных уменьшается спяти до трёх.Близкая ситуация имеет место для течений с кусочнопостоянными распределениями H и s. Один из примеров такоготечения представлен на рис. 3.1, где в приближении идеальногогаза представлена картина истечения из выходного устройствадвухконтурного воздушно-реактивного двигателя с центральнымтелом. Штрихами даны контактные разрывы (в стационарныхзадачах их называют «тангенциальными» – ТР) между потоками,прошедшие через внутренний (с индексом «минус») и внешний (синдексом «плюс») контуры двухконтурного двигателя, и междувторым из них и газом, обтекающим мотогондолу.УВH0, s0ТРЦВРH+, s+, Г+ТРH– , s–, Г–ТРV ≈ 0, p ≈ constРис.
3.1Для двумерных (плоских и осесимметричных) течений равенства (6) и (7) обобщаются на произвольные распределения H и s,включающие кусочно-постоянные как частный случай. Это достигается введением функции тока ψ = ψ(х, у) – стационарногоаналога лагранжевой переменной m, которая применялась в части2 при анализе одномерных нестационарных течений.120Введение функции тока опирается на уравнение неразрывности (1). Если в декартовых координатах xyz параметры течения независят от переменной z или в цилиндрических координатах xyφ –от угловой переменной φ, то уравнение (1) принимает вид∂ ( y ν−1ρu ) ∂ ( y ν−1ρv )(8)+= 0.L≡∂x∂yЗдесь ν = 1 и 2 соответственно для плоских и осесимметричныхтечений.
Уравнение (8) справедливо и при наличии третьей компоненты скорости w = w(x, y).Функцию тока ψ введём дифференциальным равенствомd ψ = ky ν−1ρ(udy − v dx ) ,(9)в котором k – произвольный «нормирующий» множитель, выбираемый из соображений удобства (см. ниже). Согласно (9)∂ψ∂ψ= − ky ν−1ρv ,= ky ν−1ρu .(10)∂x∂yБлагодаря этому при задании ψ = ψ 1 в некоторой точке а плоскости ху величина ψ в любой отличной от а точке b, определённаяинтегрированием уравнения (9), не зависит от пути интегрирования. Покажем это. Два разных, соединяющих точки а и b путиинтегрирования Γ 1 и Γ 2 образуют замкнутый контур Γ = Γ 1 – Γ 2 ,где знак минус перед Γ 2 означает его прохождение от точки b кточке а.
С учётом равенств (9) и (10) и формулы Грина для разности интегралов получим∫ dψ − ∫ dψ = С∫ dψ = k С∫yΓ1Γ2Γν−1ρ(udy − v dx ) =Γ⎧ ∂ ( y ν−1ρu ) ∂ ( y ν−1ρv ) ⎫= k ∫∫ ⎨+⎬ dxdy = k ∫∫ Ldxdy = 0 ,∂x∂y⎭Ω ⎩Ωгде Ω – ограниченная контуром Γ площадь в плоскости ху. Интеграл по Ω в силу уравнения неразрывности (8) равен нулю, что идоказывает сделанное выше утверждение.ЛТ плоского течения, которые начинаются на прямой, перпендикулярной плоскости ху, при любой z-компоненте скоростиw образуют в пространстве цилиндрическую поверхность, перпендикулярную той же плоскости. Аналогично начинающиеся на121окружности у = у 0 , х = х 0 ЛТ осесимметричного течения образуютповерхность вращения.
Далее ЛТ таких течений будем называтьследы на меридиональную плоскость ху цилиндрических поверхностей или поверхностей вращения соответственно. Согласно уравнениям (5)и (9) на ЛТdx dy= , dψ = 0 ,(11)uvт.е. ψ на ЛТ постоянна. Так, в случае рис. 3.1 функция тока постоянна на оси симметрии, на стенках и на сходящих с них ТР.Дифференциальное равенство (9) определяет ψ с точностьюдо аддитивной постоянной.
Поэтому на оси х и на центральномтеле (при у = у cb ) можно положить ψ(х, 0) = 0. Тогда при фиксированном хyy0ycbψ = k ∫ y ν−1ρudy = k ∫ y ν−1ρudy ,и, если газ течёт слева направо (u > 0), функция тока, пропорциональная расходу газа, монотонно растёт с ростом у. Сохранениерасхода на поверхностях разрыва обеспечивает непрерывность ψна УВ.
Таким образом, ψ взаимно однозначно «метит» ЛТ. Согласно уравнениям (3) и (4) в стационарных течениях H и s сохраняются на ЛТ (s – между УВ). Поэтому2h + V 2 = 2 H (ψ), s = S(ψ )(12)с известной по параметрам набегающего потока функцией H(ψ) ис известной либо определяемой при расчёте УВ функцией S(ψ).Равенства (12) назовём интегралами полной энтальпии и энтропии. По аналогии со стационарными течениями идеальнойнесжимаемой жидкости первое из них часто называют интегралом Бернулли.Для двумерных течений есть ещё один интеграл. Так как вплоском случае (при ν = 1) др/дz = 0, то проекция уравнения движения (2) на ось z сводится к равенствуdw / dt = 0.В осесимметричном случае (при ν = 2) в приближении идеального газа из-за отсутствия момента внешних сил сохраняется мо122мент количества движения кольца, составленного из фиксированных частиц, движущихся с одинаковой скоростью, т.е.d ( yw) / dt = 0.В двумерных течениях компонента скорости w касается такжедвумерных УВ и, следовательно, сохраняется при их пересечении.
В согласии с двумя последними уравнениями в дополнениек двум интегралам (12) в плоских и осесимметричных теченияхимеется третий интегралy ν−1w = Γ(ψ)(13)с функцией Γ(ψ), которая, как и Н, определяется по параметрамнабегающего потока. Для устройства, изображённого на рис. 3.1,отличные от нуля функции Γ – (ψ) и Γ + (ψ) могут быть связаны сзакруткой потока за турбиной и за вентилятором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
