А.Н. Крайко - Теоретическая газовая динамика (краткий курс) (1161636), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Закрутка сГ – (0) ≠ 0 при наличии центрального тела неизбежно приведёт котрыву потока. Действительно, при движении вдоль осесимметричного центрального тела у уменьшается, а в силу интеграла(13) w = Г(0)/у растёт (в предположении безотрывности течения –неограниченно). Но величина w ограничена в силу интегралов(12), что и обуславливает отрыв.Пусть у w+ (х) и у cb (х) – ординаты верхней стенки внешнегоконтура и центрального тела (рис. 3.1). Если множитель k определить равенством−1⎛ yw +⎞k = ⎜ ∫ y ν−1ρudy ⎟ ,⎜y⎟⎝ cb⎠то ψ w+ ≡ ψ(х, у w+ (х)) = 1 при ψ cb ≡ ψ(х, у cb (х)) = 0.Введение функции тока и запись с её помощью интегралов(12) и (13) существенно упрощает исследование плоских и осесимметричных стационарных течений.
Для этого из пяти уравнений в частных производных остаются уравнение неразрывности(8), которое для дальнейшего перепишем в квазиплоской форме:ρv∂∂∇1 (ρU) + ( ν −1)= 0, U = iu + jv , ∇1 = i + j ,(14)y∂x∂yи одна из проекций записанного аналогично уравнения движения:123ρw 2(15)=0.yВ уравнениях (14) и (15) i и j – орты осей х и у, а U – проекцияполного вектора скорости V на меридиональную плоскость ху.Возвращаясь к общему случаю пространственного стационарного течения, преобразуем уравнение движения (2) к ещё одной, полезной для дальнейшего форме. Заменим в нём первоеслагаемое согласно известной формуле векторного анализа:V2( V∇) V = ∇− V × rotV2и учтем, что Tds = dh – (dp)/ρ, а следовательно, (∇p)/ρ == ∇h – T∇s. В результате придём к уравнению(16)V × rotV = ∇H − T∇s ,названному уравнением движения в форме Крокко (L.
Crocco).Умножив уравнение (16) скалярно на V, придём к равенству0 = V∇H − TV∇s .Затем, учтя уравнение энергии (4), придём к полученному ранееиным способом уравнению (3). Столь же легко из уравнения (16)следует другой результат, важный для изоэнергетических и изэнтропических течений. Для них в силу уравнения (16)V × rotV = 0 .Во-первых, такое возможно в тривиальном случае покоящегосягаза (V ≡ 0).
Во-вторых, если векторы rotV и V коллинеарны, т.е.rotV = λV, где λ – скаляр. Лет сто назад этот довольно специфический случай исследовался в работах И.С. Громеки. Наиболееобщей и интересной представляется третья возможность – безвихревое течение, в которомrotV = 0 .(17)Линейное уравнение (17) много проще нелинейного уравнения (2), однако важнее другое. При его выполнении существуетскалярная функция координат (потенциал) ϕ, такая, чтоV = ∇ϕ .(18)При применении аналитических методов работа с одной скалярной функцией ϕ подчас предпочтительнее работы с тремя компоρ( U∇1 )U + ∇1 p − j( ν − 1)124нентами вектора V в пространственном случае и даже с двумя егокомпонентами – в плоском и осесимметричном.Уравнение, определяющее потенциал, получается из уравнения неразрывности (1), предварительно преобразованного с использованием уравнений (4) и (3).
Перепишем его в форме1 dρ+ ∇V = 0(19)ρ dtи с учётом уравнения (4) перейдём к такой его записи1 dp+ a 2∇V = 0.ρ dtНо в силу уравнений движения (2) в декартовых координатах1 dp 1V2,= V∇p = − V (( V∇) V ) = − V∇2ρ dt ρи после вычитания из предыдущего уравнения получимa 2∇V − V∇(V 2 / 2) = 0.(20)Для оператора ∇, записанного в декартовых координатах, этоуравнение справедливо в общем случае неизоэнергетических инеизэнтропических стационарных течений. В цилиндрическихкоординатах хуφ для осесимметричных незакрученных теченийоно принимает видv(u 2 − a 2 )ux + uv u y + uvv x + (v 2 − a 2 )v y − a 2 = 0 .(21)yДля потенциальных течений в силу формулы (18) для VV2 V∇V = ϕ xx + ϕ yy + ϕ zz , V∇= ∇ ( ϕ2x + ϕ2y + ϕ2z ) =22= u ( uϕ xx + v ϕ xy + wϕ xz ) + v ( uϕ xy + v ϕ yy + wϕ yz ) ++ w ( uϕ xz + v ϕ yz + wϕ zz ) = u 2ϕ xx + v 2ϕ yy + w2ϕ zz ++ 2uv ϕ xy + 2uwϕ xz + 2v wϕ yz .Подстановка этих выражений в уравнение (20) даст(1 − M u2 )ϕ xx + (1 − Mv2 )ϕ yy + (1 − M 2w )ϕ zz − 2M u Mv ϕ xy −−2M u M wϕ xz − 2Mv M wϕ yz = 0, M u = u / a , Mv = v / a, M w = w / a.125(22)В уравнении (22) коэффициенты при производных – нелинейные функции первых производных от потенциала.
Действительно, компоненты скорости согласно уравнению (18) равныпервым производным от ϕ по соответствующим переменным.Скорость звука как функция V 2, т.е. суммы квадратов тех жепроизводных, определяется по известным полной энтальпии иэнтропии. Так, если за масштаб скорости взять определённуюв Гл. 3.2 критическую скорость, то для совершенного газаγ +1 γ −1 2a2 =−( ϕ x + ϕ2y + ϕ2z ) .22Условие непротекания, выполняющееся на поверхностях обтекаемых газом тел, – равенство нулю нормальной к поверхностисоставляющей скорости, в согласии с равенством (18), принимаетвид (n – вектор нормали к поверхности)∂ϕVn = V ⋅ n = n ⋅ (∇ϕ) == 0.∂nЗдесь д/дn – производная по нормали к поверхности.Заканчивая параграф, с помощью справедливого в общемслучае уравнения (20) сформулируем условие, которое характеризует влияние сжимаемости в стационарных течениях идеального газа.
Для этого в рассматриваемой точке потока направим осьх декартовых координат по вектору скорости V. В результате втакой точке u = V, v = w = 0, и уравнение (20) примет вид(1 − M 2 )ux + v y + wz = 0, M 2 = V 2 / a 2 .Если М2 << 1, то это уравнение сводится к ∇V = 0 – к уравнениюнеразрывности для несжимаемой жидкости.
Последнее, однако, вобщем случае не означает постоянства плотности в соответствующих областях потока. Из-за отличия на разных ЛТ Н и sплотность на них также может быть разной, оставаясь тем не менее практически постоянной вдоль каждой ЛТ. При этом первоеслагаемое в уравнении неразрывности, записанном в форме (19),равно нулю, и вновь ∇V = 0.Даже, если почти во всём потоке М2 << 1, течения идеального газа принципиально отличаются от течений идеальной несжимаемой жидкости. Например, при безотрывном обтеканииидеальной несжимаемой жидкостью сколь угодно малого выпук126лого излома скорость V обращается в бесконечность, а давление в«минус бесконечность». При безотрывном обтекании с М 0 << 1такого же излома идеальным газом перед изломом газ разгоняется до М = 1, а за изломом возникает небольшая МСЗ, в основномограниченная звуковой линией (ЗЛ).
ЗЛ выходит из излома, к нейпримыкает центрированная волна разрежения с центром в изломе. Снизу по потоку МСЗ частично ограничена «замыкающимскачком», который начинается внутри неё. Чем больше излом,тем больше при его безотрывном обтекании увеличение скоростии падение давления. В любом случае согласно интегралу (6) скорость не может превысить своего максимального значенияV М = (2H 0 )1/2, а давление – стать меньше нуля. Ещё раньше принекоторой величине излома неминуемо произойдёт отрыв потока.По той же причине при сколь угодно малом М 0 идеальныйгаз не может стационарно и безотрывно обтечь острую заднююкромку профиля.
Даже для нереально больших углов заострениязадней кромки (порядка 50°) обогнувший кромку поток разогнался бы до М >> 1 и давления, близкого к нулевому. Организоватьего стационарную встречу с дозвуковым потоком, обтекающимпрофиль сверху, не представляется возможным. На самом же деле (см. ниже), для совершенногогаза с γ = 1.4 максимальный уголповорота θМ ≈ 135°, и идеальный газ не может безотрывно обтечьникакую реальную заднюю кромку. Таким образом, для идеального газа единственная возможность – сход с задней кромки (приотсутствии МСЗ и УВ в них – по биссектрисе угла заострения).При околозвуковом обтекании, когда над профилем образуетсядостаточно большая МСЗ с интенсивным замыкающим скачком,поток будет сходить с задней кромки, касаясь нижнего контура.
Видеальной несжимаемой жидкости режим обтекания со сходом сзадней кромки отбирает условие Чаплыгина–Жуковского.Глава 3.2. Связи параметров на линии тока.Источник, сток, вихрьСокращения: ЗЛ – звуковая линия, ЛТ – линия тока, УВ – ударная волна.127В некоторой точке 1 пространственной линии тока возьмеммалую перпендикулярную ей площадку. Линии тока, проходящиечерез края площадки (рис. 3.2, а), образуют трубку тока. Расходгаза G, протекающий через трубку тока, постоянен.
Если F –площадь сечения трубки тока, а j = ρV – плотность тока, тоG = jF = const.(1)В силу уравнений (3.1.3) и (3.2.4) вдоль линии тока (ЛТ) сохраняется Н, а в подобластях непрерывности параметров – и s,т.е.2h + V 2 = const = 2 H , s = const = S.(2)В силу уравнений состояния h = h(p,S), ρ = ρ(p,S), a = a(p,S), … .Согласно этому и уравнениям (2) все термодинамические параметры – функции одного из них, например, давления, а оно, всвою очередь, – функция V. Поскольку Тds = dh – (dp)/ρ, а вдольлинии тока ds = 0, то dh/dp = 1/ρ. Учтя это и продифференцировавпервое уравнение (2) по V, найдём, что вдоль линии токаdp= −ρV .(3)dVВведённая в (1) плотность тока j = ρV определяет изменениеплощади поперечного сечения трубки тока.
В силу формулы (3) иопределения скорости звука: а2 = (др/дρ) s = dp/dρ найдёмdjd ρ dpV2(4)= ρ +V= ρ − ρ 2 = ρ(1 − M 2 ).dVdp dVaПо определению j = ρV ≥ 0, причём j = 0 при V = 0 и при V = VM,когда равна нулю плотность ρ. Следовательно, согласно (4), приМ = 1 плотность тока j = j ∗ максимальна. Поэтому в реальном илигипотетическом сечении перехода через М = 1 в силу формулы(1) сечение трубки тока минимально. Равенство числа Маха единице означает, что в таком критическом сечении V = a = a ∗ , гдеa ∗ – критическая скорость, введённая в Гл. 3.2. Далее «звездочка» метит критические параметры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
